2023年高三物理二轮复习常见模型与练习21 电磁组合场模型（解析版）

2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练

专题21电磁组合场模型

特训目标特训内容

目标1高考真题(ITTT)

目标2平面电磁组合场模型(5T-8T)

目标3空间电磁组合场模型(9T—12T)

目标4交变电磁组合场模型(13T—16T)

【特训典例】

一、高考真题

1.如图所示，M和N为平行金属板，质量为机，电荷量为q的带电粒子从M由静止开始被两板间的电场

加速后，从N上的小孔穿出，以速度V由C点射入圆形匀强磁场区域，经。点穿出磁场，CQ为圆形区域的

直径。已知磁场的磁感应强度大小为8、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力略不计。

(1)判断粒子的电性，并求M、N间的电压U；

(2)求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径厂；

(3)若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间％

MN

2

■一`.一，mvmvπιn

【答案】(1)正电，ɪ/=—;(2)r=-；(3)?=—

2qqB3qB

【详解】(1)带电粒子在磁场中运动，根据左手定则可知粒子带正电。粒子在电场中运动由动能定理可知

2

IV

qU=-mv2解得U=——

22q

(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力提供向心力，有g由=ME解得r=3

(3)设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为。，如图

依题意粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，由几何关系，得0=5设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周

期为T,有T=出带电粒子在磁场中运动的时间f=/7联立各式解得f=及

2.探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。龙轴上方存在垂直Xoy平面向外、磁感应强度大

小为2的匀强磁场。X轴下方的分析器由两块相距为乩长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于X

轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量

为加、电荷量为g的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为60;且各个方向均有速度大小连续分布在;%

和之间的离子射出。已知速度大小为％、沿），轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直轴射入孔

√2v0XCo

未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑

离子间的碰撞。

（1）求孔C所处位置的坐标与；

（2）求离子打在N板上区域的长度小

（3）若在N与“板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压；

（4）若将分析器沿着X轴平移，调节加载在N与"板之间的电压，求电流表示数刚为。时的电压S与孔

C位置坐标X之间关系式。

【答案】⑴翁⑵2d：⑶*⑷啮≤'≤誉时，U『嚓

【详解】（1）速度大小为%、沿），轴正方向射出的离子经磁场偏转后轨迹如图

由洛伦兹力提供向心力Bqv.=吟解得半径R=詈孔C所处位置的坐标/x°=2R=答

（2）速度大小为V的离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力BqV=咤解得半”嗫

若要能在C点入射，则由几何关系可得2R8s6=2R解得CoSe=H苧1如图

（3）不管从何角度发射外=-cos。由（2）可得口产匕由动能定理^^二《相片解得^产坐

2J2q

iγiγ,M/1

（4）孔C位置坐标xx=2rcos6其中「=y=R一联立可得x=2A—cos。，COSee-,1解得

BqV0VOL2J

!R≤X≤20R在此范围内，和（3）相同，只与O相关，可得明L=解得L=等由动能定理

2—?Lin

2

；〃M=UM解得S=孕匚

28/«

3.两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y

轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直XOy平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2

所示。板间。点放置一粒子源，可连续释放质量为〃2、电荷量为仪4>0）、初速度为零的粒子，不计重力及

粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求:

2TC∕77

(1)f=0时刻释放的粒子，在r=F时刻的位置坐标:

殂

C6πm

(2)在°~一1时间内，静电力对r=0时刻释放的粒子所做的功;

qB()

4τLEmπ2Em'C6πιn

(3)在Mo0点放置一粒接收器，在0~一「时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕

、湿，4qB；)qB0

获。

【详解】(1)在0~一丁时间内，电场强度为纥，带电粒了•在电场中加速度，根据动量定理可知

qB。

Lππmπm兀E八

qE°∙一^~=m匕解得粒子在上时刻的速度大小为匕=F-方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离

qB«qB0B0

r

1πm_/Eqtnπmɪ〜-λπ，…m2兀m

时间内，根据粒子在磁场运动的周期T=FuJ知粒子偏转180”，速度

x=5%∙夕为一2qB；TqBOMoqB

v2mv2πEm

反向，根据*=J可知粒子水平向右运动的距离为々=λ2钎2贰x=寸粒n子运动轨迹如图

2,X),即(簧，需)；

2πm3πrnʌCπm

(2)在F-----二时间内，电场强度为2E0,粒子受到的电场力竖直向上,在竖直方向>23-=mv2+mvi

qB0泡qBn

3兀In兀E-y+yτuιτι

解得F-时刻粒子的速度匕==δ方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为为=-4-^—=O

qB1>Bu2qB。

3πm4τrm-C2πEm

在F-----二时间内，粒子在水平方向运动的距离为*4=2?=2—f=—六a一此时粒子速度方向向下，大

qB*qBaqBnqB„

4πtn5πmCL4加5τrm

小为匕，在=-----『时间内，电场强度为3E。，竖直方向q∙3E"∙〒=，"匕+"匕解得粒子在一^-时刻的

qB。qB„qBllqB0

2π1琮m

电场力做正功;

(3)若粒子在磁场中加速两个半圆恰好能够到达M点，则释放的位置一定在0~死时间内，粒子加速度

1πm2πm

时间为4,在竖立方向」：4EOll=mvl'；yi'=-vλ'∙t^-----时间内粒子在水平方向运动的距离为

2qB"qti0

C,Cm%'2πm3兀mCLπm,,一乂'+%'πm

%=2々=2-^-在F----不时间内，在竖直方向/2心卞=〃叱+，阴；ʃɜ=―工在

qB«祖祖qB∖>2qB«

F——/时间内，粒子在水平方向运动的距离为引=2〃'=2—+接收器的位置为根

β

<7oqB。qB0qB-4qB；

ttπm

据距离的关系可知⅞+⅞=—解得G=vɪ此时粒了已经到达M点上方，粒子竖直方向减速至O用时

qB°IqB0

142F.γ.

△t,则％'=；%'•，竖直方向需要满足火-％'-%'4丁什解得4在一个电场加速周期之内，所以成立，

24两

TnnTrm

所以粒子释放的时刻为中间时刻F；若粒子经过一个半圆到达”点，则粒子在O~一了时间内释放不可

2qB“qB„

2πm3πm

能，如果在F-----b时间内释放，经过磁场偏转一次的最大横向距离，即直径，也无法到达M点，所以

qB。qBn

4πtn5πm\

考虑在F-----b时间内释放，假设粒子加速的时间为4,在竖直方向上q∙3E°∙γ=∕n匕"；y"=Lv".t'

<lti0MO2

5πmf)πm

之后粒子在F----二时间内转动半轴，横向移动距离直接到达M点的横坐标，即

qB。qB(>

,C〃CmM"4τrEjn2πm6πm1πm

七,=2々"=2—；=—ɪf解得Vt=W•一丁接卜来在一^——过程中粒子在竖直方向减速为O的过程U■

湿qB。3qBltqB∖>qB(>

qΛE0-M'=mvγ..%〃=1•△/粒子要在M点被吸收，需要满足χ''-%"≤q⅛代入验证可知∆f在一个

24悯

ATrm/乃〃?2TUn、13πm

周期之内，说明情况成立，所以粒子释放时刻为4∙F+（一Γ-∙Γ-Γ）=三∙一r.

qB<>qB03qBa3qBtt

4.中国"人造太阳"在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场

简化模型如图所示，在三维坐标系OXyZ中，0<Z）,4空间内充满匀强磁场I,磁感应强度大小为8,方向沿

X轴正方向；-3d,,z<0,y∙0的空间内充满匀强磁场II,磁感应强度大小为近8,方向平行于Xoy平面,

2

与X轴正方向夹角为45。；z<0,y≤0的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为“1、带电量为+4的

离子甲，从yθz平面第三象限内距y轴为L的点A以一定速度出射,速度方向与Z轴正方向夹角为夕，在yθz

平面内运动一段时间后，经坐标原点。沿Z轴正方向进入磁场I。不计离子重力。

（I）当离子甲从A点出射速度为%时，求电场强度的大小E;

（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度L；

（3）离子甲以察的速度从。点沿Z轴正方向第一次穿过Xoy面进入磁场I,求第四次穿过XOy平面的位

置坐标（用。表示）；

（4）当离子甲以缪的速度从。点进入磁场I时，质量为4加、带电量为+<7的离子乙，也从。点沿Z轴正

2m

方向以相同的动能同时进入磁场I,求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差加（忽略

离子间相互作用）。

【详解】（I）如图所示

将离子甲从A点出射速度为%分解到沿y轴方向和Z轴方向，离子受到的电场力沿y轴负方向，可知离子沿

Z轴方向做匀速直线运动，沿y轴方向做匀减速直线运动，从A到。的过程，有L=%cosp∙f;V0Sin/3=at

4=必联立解得八喇力小。SS

mqL

(2)离子从坐标原点。沿Z轴正方向进入磁场I中，在磁场I中做匀速圆周运动，经过磁场I偏转后从y轴

进入磁场II中，继续做匀速圆周运动，如图所示

y

由洛伦兹力提供向心力可得"8=牛，=¥可得4=√5∕;为了使离子在磁场中运动,

则离子磁

场I运动时，不能从磁场I上方穿出。在磁场Il运动时，不能XOZ平面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半

径需满足｛≤d,4≤3d联立可得UV幽要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速

m

度为幽；

m

(3)离子甲以察的速度从。点沿Z轴正方向第一次穿过Xoy面进入磁场I,离子在磁场I中的轨迹半径为

2"?

mvdr,_m一叵d

4'=F=7离子在磁场”中的轨迹半径为“一√2^2离子从0点第一次穿过到第四次穿过Xoy平

qB2q-B

2

面的运动情景，如图所示

离子第四次穿过XOy平面的X坐标为七=24'sin45。=d离子第四次穿过XOy平面的)，坐标为y4=2rt'=d

故离子第四次穿过Xoy平面的位置坐标为(d,d,0)o

⑷设离子乙的速度为人根据离子甲、乙动能相同，可得MWX4,小可得£=吴嗡离子甲、离

mvd4mv,

子乙在磁场I中的轨迹半径分别为/=两=5'%'==d=2j'离子甲、离子乙在磁场Il中的轨迹半

qB

_/WV_∖∣2d=4zn∙_JT_

径分别为G=0=F,22=07=21根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点

√∙-B4,二TB

22

从。点进入磁场到第一个交点的过程，有

T_2πm2πmKC∕τxπm,1丁,,IR,12π∙4ιn12π∙4m..ZIrτ.πm

加=T+A=F+—=(2+2√2)-⅛=-7]+-η=-×--+-X―y=-=(4+4√2)-

qB√2qB；222M2√2cqB

q-----Bq-----B

22

可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为ʌt=/乙-厢=Q+20）W

qB

二、平面电磁组合场模型

5.如图所示，平面直角坐标系M），中第一、二、四象限内存在磁感应强度大小为8的匀强磁场。第一、四

象限内磁场方向垂直纸面向里,第二象限内磁场方向垂直纸面向外。第三象限存在沿X轴正方向的匀强电场。

质量为加、电荷量为4（4＞。）的粒子甲从点$（-/，-/）由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点P（M））、质

量为W的中性粒子乙发生弹性正碰，碰撞过程中有一半电量转移给粒子乙。不计粒子重力及碰撞后粒子间

的相互作用，求:

（1）电场强度的大小E：

（2）甲乙两粒子碰撞后，粒子甲第”次经过y轴时甲乙粒子间的距离d；

（3）当乙粒子第一次经过y轴时在第二象限内施加一沿X轴负方向、电场强度大小与第三象限电场相同的

匀强电场，已知碰后两粒子在XO），平面内均做周期性运动，且在任一时刻，粒子沿y轴方向的分速度V，与

其所在位置的X坐标的绝对值成正比，甲离子的比例系数为M="，乙离子的比例系数为坛,=学且。求甲

2m2m

乙两粒子最大速度之比"。

y

×XX

XXX

XXX

XPXX

X×X

XXX

SL-/

X×X

XXX

【答案】⑴瑞⑵S八⑶貂

【详解】（1）对粒子在电场中有=L粒子在第四象限内的磁场中有qBv。=〃，察根据几何关系有&=/

2片）

解得E=遮

Im

（2）碰撞过程有机%=〃叫+：岭；1〃7片小匕*2后3解得K=";匕=当"碰后对甲粒子有

322232m2m

22τ_乙兀/乃一

WBW=机2,V'=?今解得号=1，6=/粒了圆周运动的周期∣=4%;T2=一生可知工=3岂

2N23用-Bqβ

2

当甲粒子第一次到达y轴（凹=/）时，乙粒子第二次到达y轴（，2=3/）,两粒子相距4=2/此后每次甲粒

子到达y轴时，乙比甲沿y轴多移动M=4/粒子甲第〃次经过y轴时甲乙粒子间的距离d=（4Λ-2）/

（3）由于只有电场力做功，当粒子X方向的位移最大时速度最大，此时X轴方向的分速度为零，沿），轴方

向的分速度即为合速度，则A=F由动能定理有弓Exnd=；向扁一〈加入="工一〈"；

ʌmZZZZZ3ZJ

解得%1=（&+1）葭2；[2=（丽+1）鲁则甲乙两粒子最大速度之比〃=俨=去'

6.如图所示，直角坐标系XOy所在的平面内，y轴的左侧存在大小为E=2X105N∕C,方向沿X轴负方向的足

够大的匀强电场区域。y轴的右侧存在三个依次相切的圆形磁场区域B/、B2、B3,且三个圆形磁场区域都与

y轴相切。已知小、上磁场区域半径为R=Q-6）m,磁感应强度大小为8尸上=21，方向均垂直纸面向里；

以磁场区域半径为号，磁感应强度大小未知，方向垂直纸面向里。一个质量为加，电荷量为口的带电粒子

以初速度丫。从4点竖直向下沿直径方向进入8/磁场区域，恰好沿0/03方向进入以磁场区域，然后从。点

进入电场。不计带电粒子的重力，带电粒子的比荷为Z=2χl05C∕kg,求：

m

（1）带电粒子的初速度必和在电场区域中运动的路程；

（2）磁感应强度员的大小和带电粒子最后离开磁场区域的位置坐标；

（3）带电粒子在电磁场中运动的总时间。

；(3)r=(2+4^-3^∙)×10^5s

【答案】(1)%=4xl()5m∕s,x=4m:(2)与=(6+4G)T,(2-√3):∣m,------m

336

【详解】（1）粒子在磁场中的运动轨迹如图

R--R

由几何知识易得Sine=-/一=3所以ND=6=30°所以粒子在8/磁场区域内运动的轨道半径

R+-R2

3

5

r=-ɪ-=Im又由牛顿第二定律qv0Bx=解得vo=4×10m∕s粒子沿半径方向飞入圆形磁场，必将沿半

tan15r

径方向飞出圆形磁场，故粒子进入电场时的速度方向沿X轴负方向，在电场力的作用下做匀减速直线运动。

l02

由牛顿第二定律Eq=ma得α==4×10m∕s以粒子在电场中的路程x=2x至=4m

m2a

（2）由几何知识易得NC=60。，故粒子在以磁场区域内的轨迹半径r'=3/?又由牛顿第二定律

3

伏。鸟=机∙⅛解得与=（6+4厉）T粒子回到磁场后将继续以必做匀速圆周运动，由运动的对称性可知，粒子

r

将从A点关于X轴的对称点A点离开磁场，所以X=R=（2-6）m：y=-（R+^）cosθ+R=-日m

即A位置坐标（2-√3）m,-^-m；

qvB=m—

联立可得T=等

（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，其运动周期由故在3/、史磁场区域内

T①Bq

V

A=»2=券4==AXl（Γ's在以磁场区域A=2x@=7；=幺"=竺二3fX10-5S粒子在电场中的

360l2B、q243360o33B、q18

运动时间％=2x%=2x10-s所以带电粒子在电磁场中运动的总时间

a

5

%=4+，2+4+K=（2+吧-3π）Xio-S

7.如图所示，在My平面内，有一以坐标原点O为圆心、R为半径的圆形区域，圆周与坐标轴分别交于小

b、c、”点。X轴下方圆弧bd与〃小两个半圆形同心圆弧，/M和b'd,之间的区域内分布着辐射状的电场，

电场方向指向原点。，其间的电势差为U;X轴上方圆周外区域，存在着上边界为y=2R的垂直纸面向里的

足够大匀强磁场，圆周内无磁场。圆弧〃〃上均匀分布着质量为小、电荷量为q的带正电粒子，它们被辐射

状的电场由静止加速后通过坐标原点。，并进入磁场。不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用，不考虑

粒子从磁场返回圆形区域边界后的运动。求:

（1）粒子进入磁场时的速度v；

（2）要使粒子能够垂直于磁场上边界射出磁场，求磁场的磁感应强度的最大值B。；并求出此时从磁场上边

界垂直射出的粒子在磁场中运动的时间/：

（3）当磁场中的磁感应强度大小为第（2）问中庆的且倍时，求能从磁场上边界射出粒子的边界宽度L。

2

【答案】（1）

【详解】（1）在电场中q。解得

（2）垂直磁场上边界射出的粒子的圆心0,必在磁场上边界上，作出轨迹如图所示

r,若磁感应强度达到最大值，则r有最小值。由于OO=√FI?

当r有最小值时，00'取最小值，。。'最小值为。点到磁场上边界的距离2R,根据几何关系有%.=KR

E解得B。=］、您口设此时粒子进入磁场时速度方向与y

粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有口叫=〃?

*RY3q

轴正方向的夹角为仇则tan°=(=6解得0=6°带电粒子在磁场中的运动周期7=小粒子在磁场中

运动的时间f=刍T=乃R

360

ιrιv

(3)当B=三用,时，带电粒子在磁场中的运动半径/=痴=2R由几何知识可知，当粒子从4点沿X轴正

方向进入磁场，粒子从磁场上边界射出点，为粒子能够到达的上边界的最右端，作出轨迹如图所示

设粒了•能够到达的卜.边界的最右端距y轴的距离为X/，则有用=R+，解得士=3R当粒了∙与磁场上边界相切

时，切点为粒子能够到达的上边界的最左端。设粒子能够到达的上边界的最左端距y轴的距离为X2,则有

七=解得W=√^?则粒子能从磁场上边界射出粒子的边界宽度+¾=(3+√5)/?

8.如图所示，在y>0的区域内存在两个匀强磁场。以坐标原点。为圆心，半径为R的半圆形区域内磁场

方向看直纸面向外，磁感应强度大小未知；其余区域的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小4。第四

象限内有沿y轴负向电场强度为E的匀强电场，一比荷为上的带电粒子在加速电场的下极板处无初速释放,

经加速后从坐标为(-2尺0)的“点进入磁场，恰能第一次从坐标为(2R,0)的b点离开磁场，且粒子经过各磁

场边界时的速度方向均与该边界线垂直。不计粒子的重力，求

（1）若粒子未进入半圆形区域内磁场，加速电场的电压多大；

（2）若粒子有进入半圆形区域内磁场，求这个区域内磁场的磁感应强度与；

（3）在（2）问中，从粒子由。点飞进磁场开始计时，求粒子以后第三次到达X轴的时间。

【详解】（1）当粒子在电场中加速，根据动能定理可得S=Tm诏当粒子速度较大时，粒子不进入半圆形区

域内磁场，在磁场Bi中直接从a点经半圆周到达b点，此时粒子运动的轨道半径为〃=2R根据洛伦兹力提

供向心力可得=加压联立解得。=2kBW

rx

（2）若粒子有进入半圆形区域内磁场，粒子运动的轨迹如图

设进入磁场⑸的半径为⑶则由几何关系可得2R=∕i+而IF解得4=3则tan。=擀：8=3T

粒子在B2中的运动半径为4=—==2R根据洛伦兹力提供向心力可得4%用=机％；qv°B,=m五

tan，3r2ri

9

联立解得巴=记4

24〃22τr∕7?

（3）粒子在磁场8/中运动的周期I=一不在磁场历中运动的周期（=一不从粒子由4点飞进磁场开始计

qB、qB2

时，粒子第•次到达X轴的时间…X舒177*静岂74解得公面3函47zr以后粒子进入下方的电场中，先做减

速运动，后做反向的加速运动，在电场中运动的时间"号=筌=号第二次回到X轴时需要的时间

347万2v

…+'=西瓦+谭π然后在上方磁场中做半个圆周运动,则第三次回到X轴时需要的时间

34742v0πm_509乃2v0

162kBι~kE加一1623~kE

三、空间电磁组合场模型

9.如图所示，截面半径为/的圆柱形空腔位于三维坐标系。孙Z中，分为I、II、川三个区域。0≤z≤"的

I区域内有沿y轴正方向的匀强磁场；√3∕≤z≤y+√3∕β<JIl区域内有沿y轴正方向的匀强电场”区域内同

时存在沿Z轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度与Il区域相等。现有一带电粒子从点尸(，,0,0),以大

小为%的速度垂直磁场进入I区域，经点Q(0,0,6。沿着Z轴进入Il区域，然后经过点M(O,gg∕+G∕]进

入川区域，粒子恰好未从圆柱腔的侧面射出，最终从右边界上点N(O,g,z)离开区域川。已知粒子的质量

为加，电荷量为+q,不计粒子重力，求：

(1)I区域磁感应强度的大小B；

(2)Il区域电场强度的大小E；

(3)Ill区域沿Z轴的宽度以

【答案】⑴即⑵鬻；⑴f*(〃=],2,")

【详解】(1)I区域内粒子在XOZ平面内做匀速圆周运动，轨迹如图

√3∕

Z

由几何关系得4=2/由牛顿第二定律得qv0B=生b解得8=篝

42qi

⑵Il区域内粒子在WZ平面内做类平抛运动，Z轴方向学=M,y轴方向(a=也

322m

联立解得E=常

16q∕

3

(3)进入图区域后做螺旋线运动，粒子在M点沿y轴方向的分速度为vʃ=研解得vy=→0粒子在χθy平面

内做圆周运动，轨迹如图

//Y3F2πr.πl

由几何关系可知I；J+]=(∕-4)UJ解得弓=副则粒子在Xoy平面内做圆周运动的周期T=L=工设由

M到N时间为匕，由于M、N两点y坐标相同，则有L=AIT(〃=1，2,3…)粒子沿Z轴的正方向做初速度为％的

匀加速直线运动，由运动学公式得工=%弓+；”以代入数据解得乙=〃6+2|9/(”=1,2,3…)

10.在如图所示的空间直角坐标系中，y轴正方向竖直向上，在XoZ平面上方存在匀强电场，方向沿y轴负

方向；在XoZ平面下方存在匀强磁场，方向可以调整。某时刻一质量为如带电量为4的带正电粒子自y轴

上的M点射出，初速度大小为%,方向沿X轴正方向。已知M点与坐标原点。的距离为“，粒子第一次到

达XoZ平面时与坐标原点。的距离也为d,XOZ平面下方磁场的磁感应强度大小始终为多,不计粒子的重

qd

力。

(1)求粒子第一次到达XOZ平面时的速度大小;

(2)若XoZ平面下方的磁场沿y轴正方向，要使粒子到达该区域后做直线运动，可以在该区域再叠加一匀

强电场，求该匀强电场电场强度的大小和方向；

(3)若X。平面下方的磁场沿Z轴正方向，求粒子运动轨迹与XOZ平面交点的X坐标;

(4)若XoZ平面下方的磁场沿X轴正方向，求粒子第N次到达XoZ平面时的坐标。

【答案】(1)V=V5v0；(2)E=一ɪ,沿Z轴负方向：(3)x=(l-2njd(n=0,1,23,)；(4)见解析

【详解】(1)粒子第•次在电场中运动的过程,沿X轴方向d=即°沿.y轴方向d=上j∕°粒子第•次到达工。

平面时的速度大小J=J片+耳,解得U=后%

2

(2)要使粒子在X。平面下方做直线运动，匀强电场强度方向应沿Z轴负方向qv0B=qE得电场强度E=誓

qd

V.2

(3)设粒子进入磁场时与X轴方向的夹角为。，则Sina=；=不

2

粒子在磁场中运动时4出=?每次在磁场中运动过程沿X轴负方向移动的距离为∆x1=2彳sinα=4√每次在

电场中运动的时间为2/。，沿式轴正方向移动的距离为例=32%=2d归纳得粒子运动轨迹与XoZ平面交点

的X坐标为X=(I-2∕ι)d("=0,1,2,3,.)

(4)粒子每次在电场中运动的时间为4,沿X轴正方向移动的距离为Ax?=32%=2d在磁场中垂直于X

mvπY∖πd

轴的平面上，粒子以大小为V,的速度做匀速圆周运动qvyB=—ɪ粒子每次在磁场中的运动时间t=,=亡

粒子每次进入磁场后沿X轴正方向移动的距离AV=W=温粒子每次进入磁场后沿Z轴正方向移动的距离

∆z=2^=4d归纳得，粒子到达XOZ平面时y坐标始终是0,X和Z坐标分别为

…V-I,\

①N=I、3、5、7、...时X=Nd+`2；z=（2N-2）d

②N=2、4,6,8、…时X=（N-I）d+万万d；z=2Nd

11.如图所示，“向和α262C'242-4Ac34分别是核长为α的立方体团和回，出点跟坐标原点O点

重合。在z20的空间内充满电场强度为E的匀强电场，在z≤0的空间内充满方向垂直于平面的Gq4向里

的匀强磁场，强度未知。某种带正电粒子（不计重力）从4点以速度%沿方向进入电场，恰好从平面

a2b2c2d2的中心点沿Z轴负方向进入立方体回，且恰好达到立方体团的体对角线“2C3。不考虑电场和磁场的边

缘效应，求：

（1）带电粒子的比荷，电场的方向与Z轴夹角的正切值；

（2）磁感应强度的大小和粒子离开立方体团时的坐标；

（3）若粒子进入立方体团后，z≥0的空间内的电场方向立刻变为竖直向下，场强大小保持不变。那么，要

使粒子能够垂直于C2C3边射出，在磁场方向不变在情况下，磁感应强度应调为多大？并求粒子从开始进入磁

场到从c2c,边上射出所用的时间。

【答案】⑴?=邈，tg。=在；⑵2√6(√3-l)g],4,_再/；(3)8(2w+l)半^(其

m2Ea&23%[\2J'3%

,、兀a4√30,,C、

l1=

∣:n—0)1,2,3>...),tl;----Hn----<其中：〃=0,1>2,3,...)

24%3%

【详解】（1）设带电粒子的电荷量为外质量为，小电场跟Z轴负方向的夹角为6,如图所示；粒子从《点

到的中心点历时为，

沿3方向应SieUi%；条fl沿Z轴方向向…解得tg。4

q=娓京

tn2Ea

（2）由（1）可得匕=0%设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r,由几何关系得

“设磁感应强度的大小为8,粒子在磁场中做匀速圆

周运动，由牛顿第二定律得二叱=,且解得B=2"（∙τ）E设粒子离开立方体回时,在Z轴负方向的坐标

r3%

-z,则由几何关系得

（3）要使粒子垂直于，2,3射出，其运动轨迹如图所示，设运动半径为R则由几何关系得

正g=R+2"R（其中：π=0,1,2,3,...）；B〃q匕=m上解得Bfj=（2"+1）斗亚■（其中："=0,1,2,

2^R3v0

3,…）设粒了•从开始进入磁场到从QG边上射出，在磁场中运动的时间为%则射3=（2〃+I）W解得“二券

24%

设粒子在电场中一个来回运动的时间为片，则由动量定理得目%=2加%解得％

3%

所以，运动的总时间为电=七+"G∣=^^—-+n-y^^~（其中：n=0,1>2>3,...）

4%3v0

12.如图所示，3yz为空间直角坐标系，在x<0的空间1内存在沿Z轴正方向的匀强磁场A。在O<χvd的

空间Il内存在沿），轴正方向的匀强电场E,在x>d的空间Il存在磁感应强度大小员=鬻、方向沿X轴正方

向的匀强磁场。现将一带负电的粒子从X轴上的A（XA=-6"）点以初速度%射入空间I的磁场区域，经