第四章振动和波教材

第四章振动和波振动是一种十分普遍的运动形式。其主要特征是物理量随时间作周期性变化。波是振动在空间的传播，同时也是能量的传播。尽管产生各类振动、波动具体机制不同，但可以分析研究它们的共同特征、波动方程和普遍性质。本章主要研究机械振动和机械波，但其中的很多规律都适用于其他波。第一节简谐振动振动一个物理量随时间t

作周期性变化：“周期性”是这种运动形式的典型特征机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。一、简谐振动(Harmonicvibration)的运动方程弹簧振子(springoscillator)的例子一根轻弹簧连接一个质点，置于光滑水平面上。k

为劲度系数(coefficientofstiffness)小幅振动满足胡克定律：物体所受的合外力与和位移成正比，方向始终指向平衡位置，称为线性回复力。

由牛顿第二定律：令微分方程的解即：或：这样的运动规律符合简谐函数形式，叫做简谐振动(simpleharimonicvibration)

。简谐振动的运动方程A—振幅(amplitude)离开平衡位置的最大位移三个重要的特征量

—角频率

（或称圆频率）(angularfrequency)在2π秒时间内完成全振动的次数单位:rad/s

—初相

(initialphase)反映初始时刻振动系统的运动状态振动的相位(phase)称为振动的相位，t=0时刻的相位为初相1、用“相位”描述物体的运动状态。2、用“相位”来比较两个同频率简谐振动的“步调”。频率f：1秒内完成全振动的次数，单位：Hz。周期T

：完成一次全振动所经历的时间,单位s。频率与周期(frequency&period)速度和加速度以上两式表明，速度和加速度随时间的变化也满足简谐运动的规律，但与位移有相位差：速度超前位移π/2，加速度与位移反相振动曲线xtoA-AT位移、速度、加速度与时间的关系简谐振动的动力学方程物体作简谐振动的动力学方程判别简谐振动的依据：1、运动表达式为，其中

A

、

和

是常数。2、作用力的形式为，k

为常系数。3、动力学方程可写成，为大于零常系数，其平方根即为角频率。

（或T）

决定于振动系统的动力学性质，叫做系统的固有角频率前述的弹簧振子例子：再回顾三个重要的特征量A

，

决定于系统的初始条件(t=0)在0~2π内为多值函数，注意取舍！yxP旋转矢量图法旋转矢量的模为A，t=0时，旋转矢量与x轴的夹角为

，旋转矢量的角速度为

。矢量端点在x

轴上的投影点作简谐振动！旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态例子：单摆(simplependulum)在小幅振动时：Ol

smgT例题

一个物体沿Ox轴作简谐振动，振幅A＝0.12m，周期T＝2s，当t=0时，物体的位移x=0.06m，且向x轴正方向运动，求（1）此简谐运动方程；（2）t=T/4时，物体的位置、速度、加速度；（3）物体从x=-0.06m向Ox轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需的时间。解（1）设这一简谐运动的表达式为：根据旋转矢量法：（2）由振动方程得：（3）当x=－0.06m时，向x负方向运动，所以相位为：当第一次回到平衡位置时，相位为：所以v二、简谐振动的能量振子动能振子势能——振子的总能量为常量！txtE1、简谐振动系统的机械能守恒。2、简谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比。EpEk三、简谐振动的合成一、同方向简谐振动的合成声源1声源2PP

点的运动就是两个同方向振动的合成1、两个同方向、同频率简谐振动的合成若两个x

方向的简谐振动的角频率都是

同方向、同频率简谐振动的合成仍是简谐振动：x合振动的振幅与初相x

相互加强与相互减弱1、若两振动同相2、若两振动反相合振幅最大合振幅最小例题两个同方向的简谐振动曲线（如图所示）

1、求合振动的振幅。2、求合振动的振动表达式。两个简谐振动同方向，同频率

=2π/T，反相合振动振幅：合振动初相：xxTt解合振动的振动表达式：一、机械波(mechanicalwave)的产生和传播两个条件：波源(wavesource)（振动）、弹性介质(elasticmedium)第二节简谐波机械波电磁波波动机械振动在弹性介质中的传播.交变电磁场在空间的传播.☆机械波的传播需有传播振动的介质;☆电磁波的传播不需介质。机械波和电磁波的不同之处两类波的共同特征☆都是振动状态的传播☆都是能量传播☆都能发生反射、折射、干涉、衍射质点的振动方向和波动的传播方向垂直，交替出现波峰和波谷。横波(TransverseWave)质点的振动方向和波动的传播方向平行，疏密相间。简谐波(HarmonicWave)介质中各质点都作简谐振动纵波(Longitudinalwave)机械波的传播特征1、波动是振动状态的传播。介质中各质点在平衡位置附近振动，并未“随波逐流”。2、波动是相位的传播。在波的传播方向上，各质点的振动相位依次落后。3、波动是能量的传播。xy波线：表示波的传播方向的直线波阵面：振动相位相同的点组成的面波前：某一时刻最前面的波阵面波线、波阵面、波前球面波波源波前波线u波阵面平面波波线波前u波阵面波长

：在同一波线上两个相邻的、相位差为2π的振动质点之间的距离。波长反映了波动在空间上的周期性xy

波的周期T：波前进一个波长的距离所需的时间。波的频率f：周期的倒数周期和频率反映了波动在时间上的周期性。二、波长、频率和波速波速u

：振动的传播速度。在一个时间周期T内波向外传播了一个空间周期λ，因此波速为：波速和波长由介质的性质决定，而波的频率与介质的性质无关，由波源决定。三、波动方程平面简谐波：波阵面为平面的简谐波。xyO设平面简谐波以速度u沿Ox方向传播。已知t=t0

时的波动情况，要给出波线上任意坐标x

处的质点P的位移y

随时间t

的变化规律——波动方程y(x,t)函数形式。uPt=t0

时刻设

O

点的振动表达式为：振动从

O

点传波到P

点需时间，所以：t时刻在x处的P点的振动情况与O点处的t－

t时刻的情况相同，因此P点的运动表达式应该为：xyOuPt=t0

时刻t+

t时刻沿

x轴正方向传播的平面简谐波的波动方程也可改用周期T、频率ν和波长λ表示：沿x轴负方向传播的平面简谐波的波动方程xyOuPt=t0

时刻u若已知x0

点的振动表达式同样可得在

x轴正方向传播的平面简谐波的波动方程：xyOPx0波动方程的物理意义1、体现波动在时间上和空间上都具有周期性2、分别用x=x1、x=x2

（定值）代入，得x1、x2

点的振动表达式在波的传播方向上，两定点x1和x2的振动相位依次落后，相位差为:在波线上，对应一个波长的间距，相位差为2π.（P.63)3、用t=t1（定值）代入，得t1

时刻的波形图：yxoλ

t1

t1+Δt

uΔtu例题已知

t=0时的波形曲线为Ⅰ，波沿x正向传播，在t=0.5s时波形变为曲线Ⅱ。已知波的周期T>1s，试根据图示条件求波动方程和P

点的振动表达式。（已知A=0.01m）y(cm)x(cm)123456ⅡⅠPOu解设坐标原点振动表达式：根据初始条件，y(cm)x(cm)123456ⅡⅠPOu因此O点振动表达式：所以，可得波动方程：P点振动表达式：四、波的能量机械波传播到弹性介质中某处，该点介质由不动到振动，因而具有动能，同时该点介质将产生形变，因而具有弹性势能。介质由近及远地振动，相应地，能量向外传播。设有一平面简谐波，以波速u在密度为ρ的均匀介质中传播。在介质中取体积为dV、质量为dm=ρdV的介质元，波传播到此体元时，体元具有动能Ek和势能Ep。

1、波的能量介质元的总机械能：介质元的总机械能随时间作周期性变化，表明对任意介质元，都在不断的接受和放出能量——波动传递能量，波是能量传播的一种形式。可以证明：平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值。机械波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方及介质的密度都成正比。2、能量密度(volumedensityofenergy)能量密度：单位体积内波的总能量。能流密度(energyfluxdensity)在单位时间内通过垂直于波线的单位面积上的波的平均能量，即为能流密度I，也叫波的强度：uuS它是表征波动中能量传播的一个重要物理量。单位时间内通过介质中某面积的能量称为通过该面积的能流。在图中垂直于波速u方向取面积S，单位时间内通过S面的能量，等于体积uS中的能量。则一个周期内通过S的平均能流为第三节波的衍射介质中波前上各点都可以当作独立的波源，发出球面子波（wavelet），在其后的任一时刻，这些子波的包络就形成新的波前。惠更斯（Huygens）原理O球面波的传播平面波的传播一、惠更斯原理1.子波小孔可看作是新波源，发出的波叫子波。2.惠更斯原理

1690年荷兰物理学家惠更斯

惠更斯原理：介质中波动传播到的各点，都可以看作是发射子波的波源,这些子波的包络就是新的波前。

图4-11小孔成为新的波源二、波的衍射1.波的衍射波在遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘继续前进。2.衍射条件障碍物或缝宽与波长相近，才能观察到明显的衍射现象。声波(波长约在0.02～20米之间)衍射显著无线电波中波波长有几百米衍射显著超声波，波长只有几毫米，衍射现象不显著3.衍射现象是波动的特征之一

无论机械波或者是电磁波都会产生衍射现象一、波的叠加原理(superpositionprinciple)几列波可以保持各自的特点（频率、波长、振幅、振动方向等）同时通过同一介质，即波的传播具有独立性。在叠加区域内，任一质点振动的位移是各列波单独存在时在该点产生的位移的合成。叠加过后原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样。第四节波的叠加原理波的干涉二、波的干涉(interference)干涉现象:几列波在相遇的叠加区域内，某些点的振动始终加强，而另有一些点的振动始终减弱。S1S2相干条件：1.波的振动频率相同，2.振动方向相同，3.振动相位相同或有恒定的相位差。能产生干涉现象的两列波叫做相干波（coherentwave）设有两相干波源S1、S2，振动方程为：两波在P点相遇，在P点的振动分别为：S1S2r2r1P两振动在P点的合成后的方程为：其中：注意到A的大小与

j

有关！当：合振幅最大：干涉加强！干涉加强条件对于初相相同的相干波源，上述条件可简化为：其中δ为波程差当：合振幅最小：干涉减弱！干涉减弱条件干涉加强条件从波程差δ=r1-r2角度考虑波的干涉：干涉减弱条件当两个初相相同的相干波源发出的波叠加时：波程差等于波长整数倍的各点，合振动振幅最大，干涉加强；波程差等于半波长奇数倍的各点，合振动振幅最小，干涉减弱。波的干涉是波的重要特征，在光学、声学、现代信息工程、近代物理等许多学科中有着重要的应用。第五节声波和超声波声波(soundwave)：频率范围20～20000Hz内的声振动。超声波(ultrasonic)：频率高于此范围。次声波(infrasound)：频率低于此范围。声波是机械振动在弹性介质中传播的纵波。

一、声强和声强级声强级公式：单位用分贝(decibel,dB)表示：声强：声波的能流密度。它是单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声波能量。即：。人耳是很灵敏的感觉器官，所能感受的声音的强度范围非常大，数量级相差1012倍。如：1000Hz声音，10-12W