数学-2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编16套之10

2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（十）

一、单选题

1.（2023上•广东•高三校联考阶段练习）已知函数尤）及其导函数尸（x）的定义域均为

a1

为偶函数，f-2,3/(x)cosx+/,(x)sinx>0,则不等式/了+^cosX-]＞0的解集为（）

717127171

A.4°B.C.T5?D.

【答案】D

7171

【解析】令g(x)=/(x)sin3x,xe,则

252

g'(%)=3/(x)sin2xcos%+/'(%)sin3x=sin2x\J>f(x)cos%+/'(%)sin%]

7171

因为尤e,则sinx>0,>3/(x)cosx+/r(x)sinx>0,

2,2

可知g'(x)>0,则g(x)在上单调递增,

又因为〃尤）为偶函数，f

可得g

4

，可得一工＜尤＜”，

62

注意到g[x+]sin3fx+-1-3

=/r+icosX,

1>o,等价于g(x+571〉g

不等式/卜+方cos3x-

2

可得一?＜尤+g＜5,解得一?＜了＜0,

o223

;＞。的解集为1g2兀，o].

所以不等式cos3x-

3

故选：D.

2.（2023上•广东•高三校联考阶段练习）己知函数/（x）=gsin2学+gsin0x-#（o＞O）,若/（x）在

兀3万

5'了上无零点，则。的取值范围是（）

°4828

A.—,+coB.jr

9

2Q28「1、

C.(叼」/D.9'9口收）

【答案】B

cox1.V3y/31一

【解析】因为/（%）=V5sin2-----}--smcf)x-(-g--->-0)=——(1-coscox)+—sin

222222

1.A/371

=—sms------cosa)x=sina)x----

223

...7137r„।CD7C71713①兀71

^-<X<—,则丁一—<CDX----<---------

2223323

3(071710)7171Tn

回<—=

23232CD

则刃241,又。>0,解得。VGKI.

7,(07171

K71<----------

23928

又,解得2k+—<co<—k+—(keZ).

八3(071£339

(k+1)4>—----

7

C72/2,8

2k+—<—k+—

33941

，解得—<k^―,kGZ,.,.左=。或一1.

亭+|>。32

282

当左=0时,—<CD<—；当上=—1时，0<G<1,可得

39

(228

团

39

故选B.

2卜。〉0）在区间71

3.（2023上•广东广州•高三广东广雅中学校考阶段练习）设函数/（"=sincox-，兀内

2

有零点，无极值点，则①的取值范围是（)

u14

A.D.

【答案】D

【解析】因为兀

因为函数在区间兀J内有零点，无极值点,

兀COTl71

故①兀一7一〈兀，角军得0<〃><2,

O26

.CD7171715兀兀711171

则n二片CDTI-----G

6~666'~6~

①71710)7171兀

------------€~T~6E5'"

26

要想满足要求，贝I」或,

兀713兀

①冗一CD71-—e7i,——

26I2

,1145

解得2<口<彳，或彳<0工彳，

6333

故外的取值范围是14

故选：D

已知函数/（%）='sinttfx-^-cos的零点是以g为公差的

4.（2023上•广东揭阳•高三校考期中）

222

等差数列.若/（力在区间［。,旬上单调递增，则a的取值范围为（）

（5兀

A•喋nB.吟C.D.吟

【答案】A

【解析】由题知/■（x）=；sins-告

coss=sincox--

I3

因为函数/（X）的零点是以T为公差的等差数列，所以（=］，即7=兀，

所以幺=兀,得0=2.所以〃x)=sin12尤-向.

0）

易知当一5+2也<2%-］<］+2而:（左£2）时，/（%）单调递增，

即〃X）在*+航，*E（%ez）上单调递增.

1.乙1.乙

JT5冗

又/（X）在区间［0,0上单调递增,所以［0,a仁,

所以0<。4当，即a的取值范围为（。,工,

12112」

故选：A.

1ie

5.（2023上•广东揭阳•高三校考期中）已知〃=In而，b=】据,c=log10242048,贝lj（）

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】因为。=ln重=l+lnl.l,b=^=e°」，c=log10242048==1.1,

10log21024

令/(无)=小一无，则/'(x)=ei-l,

令/(x)<0,解得x<l；令((x)>0,解得x>l；

则f(X)在(-*1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以了。)2/⑴=0,即(当且仅当x=l时等号成立).

令x=l.l,得e。」〉：!.：!，所以6>c；

11—Y

令g(x)=lnx+l-x,x>0,则g'(龙)=一-1=----,

令gG)>0,解得0<x<l；令g，(x)<0,解得X>1；

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+s)上单调递减，

所以gQ)<g(l)=O,即lnx+l<x(当且仅当尤=1时等号成立).

令x=l.l,得l+所以。<。；

综上所述：a<c<b.

故选：A.

6.(2023上•湖北武汉•高三华中师大一附中校考期中)若实数〃,瓦。满足/+a=lnb+>=G+c=sinl,则

〃,仇。的大小关系为()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

【解析】因为Ovsinlvl,当X>0时，设〃=则/'(%)=e"-l,易知当尤=0时，

r(O)=e°-l=O,当x>0时，/(元)单调递增,所以e』+l；(x>0)

所以sinl=e0+〃Na+l+。av0；

由已知可得匕>0,因为Ovsinlvl,所以OvZ?vl；lnZ?<0,所以Z?=sinl-lnb；

因为4c>0=>c>0所以c=sinl-\[c<b;

故avcv)；

故选：A

7.(2023上•湖北武汉•高三华中师大一附中校考期中)已知函数〃x)=sin5+Gcoss；3>0)在区间

籍上恰有两个极值点，且町)+/0=0,则0的值可以是()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】f(x)-sins+V§cosox=2sin[s+m]

当°=6时，/(%)=2sin(6%+=为由[兀+f)+2sin兀+三]=一6+卜6)"。,A选项错误；

/(无)=2sin17x+］了/=2sin［子+：］+2,由IT+：J=-2+(-1)w0,B选项错误;

当。=7时,

当°=9时，/(x)=2sin(9x++f=2sin(个+1J+2sin［苫+1］=-1+1=0,

7r7T冗111T297r(7TI

兀£,9x+—GJ(x)=2sin9x+f恰有三个极值点，D选项错误;

_oZJ3|_ooJ(5)

当0=8时J(%)=2sin=-+y/3=0,

兀兀c兀5兀13兀„/\_(石兀»__..n,,.,..

%£,8x+—e,/(x)=2sm8x+工恰有两个极值点，C选项正确;

_o2J3|_33」13J

故选:C.

-x2+2x,x>0

8.(2023上•山东济宁•高三统考期中)已知函数〃x)=/、1，则函数1]的零点

ln(-x)+—,x<0

个数是().

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】由已知丹〃引一1]=0,

令/(x)-1=/,即/⑺=0,

[~t~+2f=0

当时，得。=0或芍=2,

?>0

<1n(t)+-。时，明显函数g⑺=in(-r)+1在(-8,0)上单调递减，且

当

t<0'

g(-l)=-l<0,g(-2)=ln2-1=ln2-ln^>0,g(-l)g(-2)<0,

故存在,3e(-2,-l),使ln(-G)+；=。，

h

-x2+2x,x>0

画出〃x)=ln(r)+%<。的图象如下'

再画出直线y=r+i,其中fe{0,2，M，

y

观察图象可得交点个数为5个，

即函数>=/"(尤)-1］的零点个数是5.

故选：D.

9.(2023上•山东滨州•高三统考期中)已知函数=尸(x)是〃x)的导函数，则下列结论正确

的是()

A.VxeR,/(-%)=/(%)B.VxeR,y'(X)<O

C.若。<无］<%，则》/(菁)<//(%)D.若。<占<尤2，则，(与)+/(&)</(占+无2)

【答案】C

_11_r)x—1

【解析】对于A,函数定义域为R,/(_%)=土「=三=—2,所以/(-%)=-/(%),错误；

2111+2"2X+1

_1o7xIn7

对于B,因为〃同=q=1一一所以广。)=:、,由ln2>0知/(无)>0,错误;

'72'+12%+1(2+1)-

对于C,因为VxeR,/'(尤)>0,所以/(x)在(f,y)上递增，

x>0时，/(x)>/(0)=0,故对0<%<%,0</(^)</(%2),

由不等式的性质可得0<%/(不)</〃々)，正确；

22-1_332-14

对于D,/(2)/(3)

22+132+1-5

144

取芯=1,々=2,则玉+%=3,/(^)+/(%2)=—,/(^+^2)=-,

此时，/(x1)+/(x2)>/(x1+x2),错误.

故选：C

(x+l,x<0

10.(2023上•山东潍坊•高三统考期中)设函数则方程/(〃耳)=0的实根个数为

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】令t=/(x),则方程/(〃x))=。即/⑺=。，

当two时，?+1=0,.,.?=-i；当/>0时，4t-i=o,：.t=1；

当」=-1时,若xKO,则％+1=-1,/.1=-2,符合题意；

若x>0,贝!J=x=0,不合题意；

当，=1时，若贝!]尤+1=1,「.尤=。，符合题意；

若%>0,贝!J4-1=1,.二1=4,符合题意，

即方程/(/(%))=。的实根个数为3,

故选：B

兀3.5%12甘』

11.(2023上•山东潍坊•高三统考期中)已知cosa=—,sin+£=工，其中

~~54

)

C.-17D.17

713万,得71。£卜会71)所以4

aG0,sin[?一a

44425

7l.(71\.71A/2sina=7应,所以

cos——I-sin----asin—=------

H4<4J41010

tana=-7,

5

因为sin所以cos

口13

..1751[5»1.(5万、5〃(5万).5万7A/21772g、]

sin=

sin^^smH—+^J--=sin^—+^Jcos--cos^—+J^^-»coSy0=-^,所以

7

tanB=——,

17

~,tana…

所以10=T7.

tanp

故选：C.

12.(2023上•福建宁德•高三校联考期中)已知函数/(%)的定义域为RJ。-2%)为偶函数，/(九-1)为奇

函数，则()

A."0)=0B./(-2)=0

c./(-3)=0D.f(-5)=0

【答案】D

【解析】函数,3的定义域为R,由/(l-2x)是偶函数，＜/(l+2x)=/(l-2x),即/(2-元)=/(x),

由/"(xT)为奇函数，得了(-x-l)=_/(无-1),BPf(-2-x)=-f(x),显然八-1)=0,

因此/(2-幻=一/(一2-幻，即/(4+x)=T(x),有此0)=〃2)=-/(-2),

/(-3)=-/(1),/(-5)=-/(-1)=0,而/(0)"(1)的值都不确定，ABC错误，D正确.

故选：D

13.(2023上•福建莆田•高三校考期中)数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己

的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木

棍.下图是利用算筹表示数1〜9的一种方法.例如：3可表示为"三"，26可表示为"=，"，现有5根算

筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1〜9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和

为5的概率是()

一二三三|，，工

123456789

157

A.—B.—CD.—

312-I12

【答案】A

【解析】1根算筹只能表示1，2根算筹可表示2和6,3根算筹可表示3和7,4根算筹可表示4和8,5

根算筹可表示5和9,

因此5根算筹表示的两位数有14,18,41,81,23,27,32,72,63,67,36,76,共12个，

其中个位数与十位数之和为5的有14,41,23,32,共4个，

41

所以所求概率为尸=2=5

故选：A

14.(2023上•福建龙岩•高三校联考期中)现有下列不等式关系:

4

①31n2>21n3；②32cos；>31；(3)71<sin4+4；(4)flV>in|.

其中成立的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

ln2ln3ln4ln3

【解析】31n2>21n3o——>——o——>——

2343

jnI,1—InX、1,,c

构造函数y=—,则y=—2—,当x>e,y<。,

XX

故y=?在(e,+8)上单调递减，所以①错误.

由于y=x_sinx,y=l_cosx>0,所以y=%_sinx在单调递增，

故x—sinx>0,所以32cos；=321l-2sinq]>32xl-2xW=32-1=31,所以②正确.

由于4一兀£。，?），所以sin（4-兀）＜（4-兀）,

^sin4=sin(7i-4)=-sin(4-7i)>-(4-7i)=7t-4,7i<sin4+4,所以③正确.

设n(x)=ex-x-1,n!{x)=ex-1

当x>0,nXx)>0,n(x)单调递增，当xv0,"(%)<0,n(x)单调递减，

所以〃(%)之〃⑴=。,故炉之工+1,当且仅当x=0时等号成立.

设m(x)=Inx-x+1,,

则当%>1时研%)=,一1<0,制%)单调递减，

当0vxv1时,mr(x)>0,m(x)单调递增,

故当机(%)(1)=。，故lnx《x—l,进而可得ln(x+l)(x(x>-l),

当且仅当％=0时等号成立，

Y41

e5>1——=—>In1+-所以④正确.

55

故选：D

一AC-BC

15.（2023上•福建福州•高三福建省福州格致中学校考期中）ABC中，sin=cos2A,贝ntI"-------

的取值范围是（

J_212

2f33f3

【答案】B

【解析】sin=cosB=cos2A,

在一ABC中，A,Be(O,7i),故2A=5或2A+3=2兀，

当2A+3=2兀时，A+—=7t,故A+5>7t,不合要求，舍去，

2

以2A=B,C=TI—A—B=Ti—A—2A=兀一3A,

因为A3e(0,兀)，所以2Ae(O,兀)，即4<0,3，

因为C=7t—3Aw(O,7t),所以

ABBC

由正弦定理得告

smBsinCsinA

AC-BC_sinB-sinA_sin2A-sinA_2sinAcosA-sinA_2sinAcosA-sinA

故ABsinCsin（兀一3A）sin（2A+A）sin2AcosA+cos2AsinA因为，所

以sinAw0,

AC*—BC2cosA—12cosA—12cosA—1

口又AB2cos2A+cos2A4cos2A-l（2cosA-l）（2cosA+l），

因为Ac[。,]],所以2cosA—1>0,

AC-BC1

故--------=---------，

AB2cosA+l

因为Aw（。,；］,所以cosA^U,2cosAG（1,2）,2cosA+lG（2,3）,

,,AC-BC_1f11A

故AB--2cos4+1

故选：B

16.（2023上•福建三明•高三校联考期中）已知在正三棱锥A-BCD中，£为AD的中点，AB八CE,则正

三棱锥A-5co的表面积与该三棱锥的外接球的表面积的比为（）

6+^32+A/33+V33+A/3

A.-------------D.-------------L.-------------U.-------------

4万4万416万

【答案】D

【解析】正三棱锥A-BCD中，ABLCD,ABACE,EIAB1平面AC。，又AC,ADu平面AC。

HAB^AC,ABLAD,又三棱锥A-3C£）为正三棱锥，所以三条侧棱两两相互垂直，

设AB=a,:.a2+a2=BC2,:.BC=与,可得正三棱锥A-BCD的表面积为

3x；x/+'圭手设外接球的半径为R,则2尺=八2+/+以,R=,a,则外接球的

3+62_

表面积S=4万彦=3万后,所以两表面积的比为=3+布,

3万〃267r

故选：D.

D

17.（2023上,浙江杭州•高三统考期中）边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可围成一个正四棱

锥，则此正四棱锥的外接球的表面积的最小值为（）

R4岛

9

D.(8-2A/3)71

【答案】B

【解析】如图所示，设围成的四棱柱为尸-ABCD,

Pb为正四棱锥尸―ABCD的高，作FELBC交BC于E,连接尸E,

设FE=x,则=在直角三角形PFE中由勾股定理得=—用2="石,

又因为正四棱锥P-ABCD的外接球球心在它的高尸尸上，

记球心为。，半径为R,连接则尸8=缶，

贝！）在直角三角形OFB中OB°=OF。+FB°=（PF-OP?+FB?,

（1-2x）+1

即A?=(Ji-2x-R)+(j2x),解得R=J］；♦=

471-2%

令Jl-2x=r(0<f<l),则R=5,R'=^LA,

4/16产

令R=0解得/=,，所以R在，，3］上单调递减，在［表,1］上单调递增，

所以当r=等时反取最小值，所以R,n=(qL［='3

了

所以该四棱锥外接球的表面积的最小值为4<=#3兀

in—,

故选：B

sin（ezx+夕）［0>0,闸V曰］.若x=-］为函数“X）的

18.(2023上•浙江杭州•高三统考期中)设函数〃幼=

零点，》芳为函数〃x)的图象的对称轴，且在区间[5,万|上有且只有一个极大值点，则口的最大

值为()

333960

A.—B.—C.—D.12

447

【答案】A

71.

——G)+(p-Kx7l

【解析】由已知得3,(匕，匕eZ),,

71,71

—O)-¥(P=左2兀+—

[3(24+1)

则4，(匕/eZ),

ku71

(p=---1—

r24

r

其中k=k2-kx,k=kx+k2=2k2-k,

因为|。区或，

TV

当A7=—1时，cp=-],k=242+1,&£Z

IT

当女'=0时，(p=—,k=2k2,k2eZ,

因为“X)在区间(盘鼻)上有且只有一个极大值点，

所咤-徐女V27=竺

5CD

解得0VG<10,

即O<3(2"+l)vio,

4

137

所以-大人石,

3971..n，397149K41兀

当k=6时，〃>=——,(p=;，止匕时丁工+:£,此时有两个极大值点，舍去;

4444408

当上=5时，。=三夕一%止匕时中兀23兀31TI

X——G,此时有一个极大值点，成立;

4408

33

所以。的最大值为不

故选：A.

_V|,c°s>+A71="

19.（2023上•浙江金华•高三阶段练习）已知a,y0G(O,7l),tana+—，则

I3一2I63

cos(2cr-/?)=()

573R65G

A.rD

939-f

【答案】D

7171

【解析】因为cos（2a-尸）=cos|26Z4~—=sin2呜

2

=sin2(a+—)cos(/?+—)-cos2(a+—)sin(6+—).

3636

2tana+—

2sin(a+j)cos(a+jI32后

sin+]=2sin(a+y)cos(a+方)=

a+gj+l3

2271

cos((7+y)-sin(cr+g)1-tan26ZH-----

兀、冗、3

cos26Z+—-cos2(/a+1)-s.i2n(/a+—)=

I32/加、.2/兀、7I71|r3

cos(a+—)+sin(a+—)tan|cc+—\+1

3

cos\13+—\=

所以sin[£+V71=4,

6

故cos(2e_0)=

故选：D.

二、多选题

%一y

20.(2023上广东•高三校联考阶段练习)定义在(-U)上的函数满足〃=f,且当

1—xy

X£(-1,O)时，/(x)<0,则下列结论中正确的有()

A.尤)是奇函数B./(尤)是增函数

21

23I

【答案】ABC

【解析】对于选项A：因为=/

1—xy

令％=y=0,则/(。)一/(。)=/(。)，可得/(0)=0,

2x

令得:以X)—于(一x)=f

1+炉厂

—2x

再以一尤代X,得：/(-X)-/(%)=/

1+X2

2x-2x-2x2x

两式相加得:=0,即/

l+x2+f1+/1+x2\+x2y

2x

令g(x)=”(-1,1),则g'(%)=〉。对任意%£(-11)恒成立,

1+x22

可知g(X)在(Tl)上单调递增，且g(—1)=-1,g⑴=1,

所以g(x)在(TJ)内的值域为(Tl),

-2xlx

由/XG(-1,1),BP/(-X)=-/(%),XG(-1,1),

l+x21+rJ'

所以定义在(T，l)上的函数/(x)为奇函数，故A正确;

对于选项B：因为函数/(X)为定义在(-U)上的奇函数，且当xe(T,0)时，/(%)<0,

x-x

不妨设一1<玉<%<1,则l2

1-xYx2

V/门二(1+%)(1%2”0

因为-1<玉<1,则<0且

1-^21-砧1-x1x2

可知T<<0,所以了<0,

1-XxX2

则/(%)一/(马)<。，即/(%)</(%)，

故函数/(X)在(-L1)上为增函数，B正确;

对于选项c,令W，"3"小-y

孙

则僧-佃=佃，即佃+佃=佃，故C正确;

对于选项D：令x=4，y=4,且/(x)-/(y)=，F］，

21

因为,＜丁且函数/⑶在(TD上为增函数，可得了

即吗卜所以佃+4”()故D错误■

故选：ABC.

21.(2023上・广东广州•高三广东广雅中学校考阶段练习)在ABC中，内角AB,C所对的边分别为“,

b,c,且tanA=sm'+smC,则下列结论正确的是()

cosB+cosC

71

A.A4=—

6

B.若。为边BC上中点，且AT>=1,贝ija的最小值为2叵

3

Q

C.若。为边8C上一点，且AD=1,BD:DC=c:b,则k+cz的最小值为§

D.若ABC面积为1,则三条高的乘积的平方的最大值为3g

【答案】BCD

【解析】对于A项，

,.AsinB+sinCsinA.C，门.，一

由tanA=----------------=-------nsinBcosA+sinCcosA=sinAcosB+sinAcosC,

cosB+cosCcosA

即sin(B-A)=sin(A-C),

因为A、B、CI(0,7i),则B—AA-CG(-7U,7U),

若B—A+A—C=7i显然不符题意,或者3—4+>1—。=一兀也不符合题意,

jr

所以3—A=A-Cn2A=5+C=兀一A=>A=§,故A错误；

对于B项，由余弦定理及基本不等式可知〃=b2+c2-26ccOsA=62+c2—6c,

_24

又2AD=AB+ACn4AD=b2+c2+2bccosA=4=b2+c2+bc>3bcnZ?c<一,

3

所以〃2=b2+c2-be=4-2bc>—=>Q而=2代,

33

当且仅当6=c时，取得等号，故B正确；

cch

对于C项，由题意可知A。=A5+5Z）=-----BC=----ACH-----AB,

c+bc+bc+b

（be）4

平方得1=2上一+2—^—x&ccosA3b2c2=（b+cY>4bc=>bc>-,

\c+b）（c+b）'73

Q

又从当且仅当匕二。时，取得等号，故C正确；

对于D项，不妨设〃、b、c三边上的高分别九、为、k

又SABC=—besinA=1nbe=-j=,

nil,222/X26412

则4=一，旬=7,4=—n（卬&4）=2,22

abcabca

根据余弦定理知片=〃+c?-2bccosA=Z>2+C?-秘之儿二百4二^滔12^43省,

当且仅当6=c时，取得等号，故D正确.

故选：BCD

X

22.（2023上•广东广州•高三广东广雅中学校考阶段练习）已知直线丁=々与曲线y==相交于A,3两

e

Iny

点，与>=—相交于8,C两点，A,B,C的横坐标分别为不，巧，龙3，贝！1（）

X

ix22

A.x=lnxB.Xj=e3C.xx=xD.x+x>—

23r3223a

【答案】ACD

【解析】由>=妈（无>0）,可得了=上坟（尤>0）,

XX

.1-lnx八行、,口

令——=0,解之得x=e,

X

则Ovxve时，/>0,y=——(x>0)单调递增；

x

Iny

x>e时，y<0,y=——(x>0)单调递减，

x

故当尤=e时，、=妈(》>。)取得最大值」.

xe

丫,eA—xex1—x

由〉==，可得丁=丁丁二丁，

e(e)e

1—x

令一=0,解之得x=l,

e

x

则X<1时，y>0,y=W单调递增；