第八节 圆锥曲线的综合问题

第八节圆锥曲线的综合问题课标版文数1.直线与圆锥曲线位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同

时为0)与圆锥曲线r的方程F(x,y)=0联立,消去y(也可以消去x)得到一个关于变

量x(或变量y)的方程,即联立

消去y(或x)后得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).教材研读(1)当a≠0时,若①

,则直线l与曲线r相交;若②

,则直线l与曲线r

相切;若③

,则直线l与曲线r相离.(2)当a=0时,得到一个一次方程,则直线l与曲线r相交,且只有一个交点,此时,若r

为双曲线,则直线l与双曲线的④

平行;若r为抛物线,则直线l与抛物

线的⑤

平行或重合.2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题直线l:f(x,y)=0,圆锥曲线r:F(x,y)=0,l与r有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),则点A

的横、纵坐标与点B的横、纵坐标是方程组

的两组解,方程组消元Δ>0

Δ=0

Δ<0

渐近线对称轴

后化为关于x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0),判别式Δ=b2-4ac,

应有Δ>0,所以x1,x2(或y1,y2)是方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的两个根.由根与

系数的关系(韦达定理)得x1+x2=-

,x1·x2=

,以此结合弦长公式可整体代入求值.A、B两点间的距离|AB|=⑥

=

·

(其中k为直线l的斜率),也可以写成关于y的形式,即|AB|=⑦

=

·

(k≠0).特殊地,如果直线l过抛物线的焦点,抛物线方程以y2=2px(p>0)为例,那么|AB|=⑧

.x1+x2+p(1)已知AB是椭圆

+

=1(a>b>0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运用点差法求直线AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),∵A,B都在椭圆上,∴

两式相减得

+

=0,∴

+

=0,∴

=-

=-

,故kAB=-

.(2)已知AB是双曲线

-

=1(a>0,b>0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦中点M(x0,y0),则与(1)同理可知kAB=

.3.弦AB的中点与直线AB斜率的关系(3)已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦中点M(x0,y

0).则

两式相减得

-

=2p(x1-x2),∴(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),∴

=

=

,即kAB=

.1.过点

的直线l与抛物线y=-x2交于A、B两点,O为坐标原点,则

·

的值为

(

)A.-

B.-

C.-4

D.无法确定

答案

B由题意知直线l的斜率存在.设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线l的方程为y=kx-

,代入抛物线方程得2x2+2kx-1=0,由此得

∴

·

=x1x2+y1y2=x1x2+

=(k2+1)·x1x2-

k(x1+x2)+

=-

(k2+1)-

k·(-k)+

=-

.故选B.2.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是

(

)cA.

B.

C.

D.3

答案

A设直线4x+3y+m=0与抛物线y=-x2相切,联立两方程并消去y得3x2-4x-m=0.∵Δ=0,∴m=-

,∴所求最小值为

=

.3.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜

率为

,则

的值为

(

)A.

B.

C.

D.

c

答案

A设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),结合题意,由点差法得,

=-

·

=-

·

=-1,∴

=

.4.若双曲线

-

=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+2相切,则双曲线的离心率为

.

答案

3

解析由双曲线方程可知其渐近线为y=±

x,不妨取其中一条渐近线y=

x,由

得ax2-bx+2a=0,由题意知Δ=0,得b2=8a2,故c2=9a2,所以e=3.c5.若椭圆

+

=1(m>n>0)与曲线x2+y2=m-n无交点,则椭圆的离心率e的取值范围为

.

答案

解析由

得(n-m)x2-2mn+m2=0,∵两曲线无交点,则Δ=-4(n-m)(m2-2mn)<0,又m>n>0,则m<2n,则e=

<

,又0<e<1,∴0<e<

.c

圆锥曲线中的范围、最值问题典例1

(2015山东,21,14分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且点

在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:

+

=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求

的值;(ii)求△ABQ面积的最大值.

解析

(1)由题意知

+

=1,考点突破c又

=

,解得a2=4,b2=1.所以椭圆C的方程为

+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为

+

=1.(i)设P(x0,y0),

=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0).因为

+

=1,又

+

=1,即

=1,所以λ=2,即

=2.(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0,可得m2<4+16k2.

①则有x1+x2=-

,x1x2=

.所以|x1-x2|=

.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=

|m||x1-x2|=

=

=2

.设

=t.将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.

②由①②可知0<t≤1,因此S=2

=2

.故S≤2

,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2

.由(i)知,△ABQ面积为3S,所以△ABQ面积的最大值为6

.圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种

方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定

理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何量或代数表达

式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.1-1

(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点A(0,-2),椭圆E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为

,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方

程.

解析

(1)设F(c,0),由条件知,

=

,得c=

.又

=

,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为

+y2=1.c(2)当l⊥x轴时不合题意,设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入

+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>

时,x1,2=

.从而|PQ|=

|x1-x2|=

.又点O到直线PQ的距离d=

,所以S△OPQ=

d·|PQ|=

.设

=t,则t>0,S△OPQ=

=

.因为t+

≥4,当且仅当t=2,即k=±

时等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=

x-2或y=-

x-2.

圆锥曲线中的定点、定值问题典例2

(2015课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,点(2,

)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点

为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

解析

(1)由题意有

=

,

+

=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为

+

=1.c(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入

+

=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=

=

,yM=k·xM+b=

.于是直线OM的斜率kOM=

=-

,即kOM·k=-

.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.1.定点问题的常见解法(1)根据题意选择参数,建立一个含参数的直线系或曲线系方程,经过分析、整

理,对方程进行等价变形,以找出适合方程且与参数无关的坐标(该坐标对应的

点即为所求定点).(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.2.求定值问题常见的方法(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2-1已知椭圆C:

+y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:(x-3)2+(y-1)2=3相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P,Q两点,且

·

=0,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.

解析

(1)圆M的圆心为(3,1),半径r=

.由题意知A(0,1),设F(c,0)(c>0),则直线AF的方程为

+y=1,即x+cy-c=0,由直线AF与圆M相切,得

=

,c解得c2=2,所以a2=c2+1=3,故椭圆C的方程为

+y2=1.(2)解法一:由

·

=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1(k≠0),则直线AQ的方程为y=-

x+1(k≠0).将y=kx+1代入椭圆C的方程

+y2=1中,整理,得(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-

,∴P

,即P

,将上式中的k换成-

,得Q

.∴直线l的方程为y=

+

,化简得直线l的方程为y=

x-

,因此直线l过定点

.解法二:由

·

=0知AP⊥AQ,从而直线PQ与x轴不垂直,故可设直线l的方程为y=kx+t(t≠1),将其与椭圆方程联立得

消去y,整理得(1+3k2)x2+6ktx+3(t2-1)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

(*)由

·

=0,得

·

=(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=(1+k2)x1x2+k(t-1)·(x1+x2)+(t-1)2=0,将(*)代入,得t=-

.∴直线l过定点

.

圆锥曲线中的探索性问题典例3

(2015四川,20,13分)如图,椭圆E:

+

=1(a>b>0)的离心率是

,点P(0,1)在短轴CD上,且

·

=-1.(1)求椭圆E的方程;(2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数λ,使

得

·

+λ

·

为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.

解析

(1)由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b).又点P的坐标为(0,1),且

·

=-1,于是

解得a=2,b=

.所以椭圆E的方程为

+

=1.(2)存在.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分

别为(x1,y1),(x2,y2).联立

得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判别式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以,x1+x2=-

,x1x2=-

.从而,

·

+λ

·

=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)]=(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=

=-

-λ-2.所以,当λ=1时,-

-λ-2=-3.此时,

·

+λ

·

=-3为定值.当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD.此时,

·

+λ

·

=

·

+

·

=-2-1=-3.故存在常数λ=1,使得

·

+λ

·

为定值