非线性控制系统分析

关于非线性控制系统分析§7非线性控制系统分析

§7.1.1

非线性现象的普遍性非线性是宇宙间的普遍规律非线性系统的运动形式多样，种类繁多线性模型是实际系统在特定条件下的近似描述§7.1.2控制系统中的典型非线性特性

饱和死区(不灵敏区)

间隙继电特性§7.1概述第2页,共106页，2024年2月25日，星期天(1)饱和特性（2）死区特性式中a-线性区宽度

k-线性区特性的斜率第3页,共106页，2024年2月25日，星期天危害：使系统输出信号在相位上产生滞后，从而降低系统的相对稳定性，使系统产生自持振荡。（3）间隙特性第4页,共106页，2024年2月25日，星期天功能：改善系统性能的切换元件（4）继电器特性第5页,共106页，2024年2月25日，星期天特点：使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅速；而在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。(5)变增益特性第6页,共106页，2024年2月25日，星期天§7非线性控制系统分析§7.1.3非线性系统运动的特殊性

（1）不满足叠加原理—线性系统理论原则上不能运用（2）稳定性问题—不仅与自身结构参数，且与输入，初条件有关，平衡点可能不唯一

（3）自振运动—非线性系统特有的运动形式

（4）频率响应的复杂性—跳频响应，倍/分频响应，组合振荡(混沌)全数字仿真半实物仿真相平面法描述函数法波波夫法反馈线性化法微分几何方法§7.1.4非线性控制系统的分析方法

（1）小偏差线性化

（2）非线性系统研究方法

（3）

仿真方法第7页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法

§7.2.1相平面的基本概念

相平面：相轨迹：系统变量及其导数随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹。由系统某变量及其导数(如)构成的用以描述系统状态的平面。例1单位反馈系统相平面、相轨迹和相轨迹图相轨迹图：相平面

+

相轨迹簇第8页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法§7.2.2相轨迹的性质对于线性定常系统，原点是唯一的平衡点(3)相轨迹的运动方向上半平面:—向右移动下半平面:—向左移动顺时针运动(4)相轨迹通过横轴的方向(2)相轨迹的奇点

(平衡点)设非线性系统方程为：相轨迹上斜率不确定的点(1)相轨迹的斜率相轨迹以90°穿越

x轴第9页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法

例2设系统方程为，试绘制系统的相轨迹。解

—椭圆方程§7.2.3相轨迹的绘制

——

解析法第10页,共106页，2024年2月25日，星期天第11页,共106页，2024年2月25日，星期天第12页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法解例4系统方程,用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。系统方程等倾斜线方程等倾斜线

——相轨迹斜率为常数的曲线§7.2.3相轨迹的绘制

——等倾斜线法第13页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（5）

第14页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（6）

§7.2.4由相轨迹求时间解相轨迹A-B段的平均速度：

相轨迹A-B段所用的时间：

第15页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（7）

极点分布§7.2.5二阶系统的相轨迹奇点相迹图（演示）中心点稳定的焦点稳定的节点鞍点不稳定的焦点不稳定的节点极点分布奇点相迹图第16页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（8）

例4设系统方程为求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近相轨迹的性质。解令不稳定焦点线化特征方程鞍点§7.2.6非线性系统的相平面分析(1)非本质非线性系统的相平面分析第17页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（9）

例5设系统方程为，求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近相轨迹的性质。解令当特征方程线化中心点鞍点第18页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（10）

例1系统方程为，分析系统的自由响应。解特征方程稳定焦点鞍点奇点极点开关线(2)本质非线性系统的相平面分析第19页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（11）

例2系统方程为，分析系统的自由响应。解特征方程中心点奇点极点中心点开关线

——划分不同线性区域的边界线平衡线（奇线）

——不同区域的相轨迹相互影响而产生第20页,共106页，2024年2月25日，星期天1．基本概念实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。极限环内部（或外部）的相轨迹，总是不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部）。(3)非线性控制系统的相平面分析第21页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（17）

各类极限环极限环

——对应二阶非线性系统的周期运动稳定的极限环不稳定的极限环半稳定的极限环第22页,共106页，2024年2月25日，星期天（1）稳定极限环在极限环附近，起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛于该极限环。这时，系统表现为等幅持续振荡。第23页,共106页，2024年2月25日，星期天（2）不稳定极限环在极限环附近的相轨迹总是从极限环发散出去。在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无穷远。第24页,共106页，2024年2月25日，星期天（3）半稳定极限环如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于原点。第25页,共106页，2024年2月25日，星期天一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述。在相平面的不同区域内，代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的，因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹，仅在不同区域的边界上相轨迹要发生转换。区域的边界线称为开关线或转换线。2．非线性系统相轨迹因此，一般非线性系统相轨迹实际上就是分段线性系统相轨迹，我们只需做好相轨迹在开关线上的衔接工作。第26页,共106页，2024年2月25日，星期天（1）将非线性特性用分段的直线特性来表示，写出相应线段的数学表达式。（2）首先在相平面上选择合适的坐标，一般常用误差及其导数分别为横纵坐标。然后将相平面根据非线性特性分成若干区域，使非线性特性在每个区域内都呈线性特性。（3）确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。（4）在各个区域内分别画出各自的相轨迹。（5）将相邻区域的相轨迹，根据在相邻两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来，便得到整个非线性系统的相轨迹。（6）基于该相轨迹，全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性。用相平面法分析非线性系统的一般步骤：第27页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（9）

解开关线方程线性部分非线性部分综合点例3系统如右，已知,确定开关线方程,奇点位置和类型,绘制相轨迹图。第28页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（10）

中心点中心点区域运动方程奇点特征方程极点奇点性质奇点类型相轨迹以为中心的圆以

为中心的圆水平线响应第29页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（11）

开关线方程线性部分非线性部分比较点例4系统如右，，，分别讨论系统运动。整理在

I区：抛物线方程同理在

II区：当时，开关线为：解第30页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（12）

开关线(I)相轨迹图(II)系统方程第31页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（15）

非线性部分比较点例5系统如右，在平面上分析系统的自由响应运动。整理线性部分解第32页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（16）

等倾斜线等倾斜线第33页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（18）

非线性部分比较点例6系统如右，在平面上分析系统的自由响应运动。整理线性部分解第34页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（19）

第35页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（20）

例7系统方程为，绘制相轨迹图；分析系统的自由响应运动。解令值角第36页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.2

相平面法（21）

值角系统方程等倾斜线第37页,共106页，2024年2月25日，星期天例1.非线性系统方框图如图所示，试取其系统在输入信号作用下的相轨迹，并分析该系统的特性。初始状态-M-e0M第38页,共106页，2024年2月25日，星期天

第39页,共106页，2024年2月25日，星期天例2.非线性系统方框图如图所示，试取其系统在输入信号作用下的相轨迹，并分析该系统的特性。初始状态第40页,共106页，2024年2月25日，星期天解：死区特性的数学表达式为线性部分微分方程为而根据死区特性，系统可分为三个区I区Ⅱ区Ⅲ区故有第41页,共106页，2024年2月25日，星期天(1)I区Ⅱ区Ⅲ区三个区的微分方程分别为在I区奇点正好位于I，Ⅱ区分界线上;说明相轨迹是斜率为的直线或在Ⅱ区第42页,共106页，2024年2月25日，星期天同理在Ⅲ区，等倾线为起始坐标第43页,共106页，2024年2月25日，星期天(2)渐近线虚奇点实奇点第44页,共106页，2024年2月25日，星期天例3解：第45页,共106页，2024年2月25日，星期天I区Ⅱ区Ⅲ区衰减振荡，最终稳态误差为常值第46页,共106页，2024年2月25日，星期天例1求下列方程的奇点，并确定奇点类型解：奇点故奇点为中心点

令在奇点处，将进行泰勒(Taylor)级数展开故有特征方程第47页,共106页，2024年2月25日，星期天所以为不稳定焦点第48页,共106页，2024年2月25日，星期天课程小结

§7.1概述

7.1.1

非线性现象的普遍性

7.1.2典型非线性特性

7.1.3非线性系统运动的特殊性

7.1.4非线性控制系统的分析方法§7.2相平面法

7.2.1相平面的基本概念（相平面、相轨迹和相平面图）

7.2.2

相轨迹的性质（斜率，奇点，运动方向，垂直过横轴）

7.2.3相轨迹的绘制（解析法，图解法）

7.2.4由相轨迹求时间解（增量法）

7.2.5二阶系统的相轨迹（极点分布，奇点性质，相轨迹）

7.2.6非线性系统相平面分析（非本质/本质非线性，控制系统）第49页,共106页，2024年2月25日，星期天

§7.3描述函数法（1）§7.3.1描述函数基本概念(1)周期函数y(t)的富氏级数展开描述函数第50页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.3描述函数法（2）(2)描述函数定义输出基波：输入：描述函数N(A)的定义：理想继电特性的描述函数：演示第51页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.3.2非线性特性的描述函数一般继电特性的描述函数：

理想继电特性：死区继电特性：纯滞环继电特性：一般而言,描述函数N(A)是A的函数,与频率w无关非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0

第52页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.3.3用描述函数法分析非线性系统（1）

1

基本假设①

结构上：N(A),G(j

)串联

②N(A)奇对称,y1(t)幅值占优

③G(j

)低通滤波特性好2

稳定性分析例1理想继电特性的负倒描述函数3负倒描述函数的绘制及其特点不包围包围相交于则系统稳定不稳定可能自振第53页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.3.3用描述函数法分析非线性系统（2）例2纯滞环继电特性的负倒描述函数3

的绘制及其特点第54页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.3.3用描述函数法分析非线性系统（3）4

自振分析

(定性)穿入穿出相切于

不是自振点的点对应半稳定的周期运动是自振点第55页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.3.3用描述函数法分析非线性系统（4）自振分析

(举例)演示第56页,共106页，2024年2月25日，星期天课程小结(1)基本假设①

结构上：N(A),G(j

)串联

②N(A)奇对称,y1(t)幅值占优

③G(j

)低通滤波特性好(2)稳定性分析(3)自振分析不包围包围相交于则系统稳定不稳定可能自振穿入穿出相切于

不是自振点的点对应半稳定的周期运动是自振点1.描述函数的概念、定义2.描述函数分析方法第57页,共106页，2024年2月25日，星期天$3描述函数法一．本质非线性特性的谐波线性化1．谐波线性化：具有本质非线性的非线性元件在正弦输入作用下，在其非正弦周期函数的输出响应中，假设只有基波分量有意义，从而将本质非线性特性在这种假设下视为线性特性的一种近似。3．应用描述函数法分析非线性系统的前提a.非线性特性具有奇对称性b.非线性系统具有图a所示的典型结构c.非线性部分输出x(t)中的基波分量最强d.非线性部分G(s)的低通滤波效应较好第58页,共106页，2024年2月25日，星期天4.描述函数第59页,共106页，2024年2月25日，星期天b.非线性特性的描述函数的求取方法非线性元件的正弦输入为式中其非线性周期输出付立叶级数为第60页,共106页，2024年2月25日，星期天的基波分量为若非线性特性是奇对称的式中第61页,共106页，2024年2月25日，星期天二．典型非线性特性的描述函数（1）饱和特性的描述函数第62页,共106页，2024年2月25日，星期天第63页,共106页，2024年2月25日，星期天第64页,共106页，2024年2月25日，星期天（2）死区特性描述函数第65页,共106页，2024年2月25日，星期天第66页,共106页，2024年2月25日，星期天（3）间隙特性的描述函数第67页,共106页，2024年2月25日，星期天第68页,共106页，2024年2月25日，星期天第69页,共106页，2024年2月25日，星期天（4）继电特性描述函数第70页,共106页，2024年2月25日，星期天第71页,共106页，2024年2月25日，星期天第72页,共106页，2024年2月25日，星期天（5）变增益特性的描述函数第73页,共106页，2024年2月25日，星期天第74页,共106页，2024年2月25日，星期天第75页,共106页，2024年2月25日，星期天(6)典型非线性环节串联时的描述函数例1求取非线性环节的等效形式第76页,共106页，2024年2月25日，星期天例2

第77页,共106页，2024年2月25日，星期天三.非线性控制系统的描述函数分析(1)控制系统的稳定性分析特征方程为相当于非线性特性的负倒描述函数第78页,共106页，2024年2月25日，星期天Nyquist图上分析谐波线性化系统稳定的准则是第79页,共106页，2024年2月25日，星期天类型非线性特性描述函数

负倒描述函数曲线

理想继电器特性死区继电器特性第80页,共106页，2024年2月25日，星期天类型非线性特性描述函数

负倒描述函数曲线

滞环继电器特性

死区加滞环继电器特性第81页,共106页，2024年2月25日，星期天类型非线性特性描述函数

负倒描述函数曲线

饱和特性死区特性第82页,共106页，2024年2月25日，星期天类型非线性特性描述函数

负倒描述函数曲线

间隙特性死区加饱和特性第83页,共106页，2024年2月25日，星期天(2)－1／N(A)的绘制及特点负倒描述函数曲线－1／N(A)不是像（－1，j0）点那样的固定在负实轴的静止点，而是随线性系统运动状态变化的“动点”，当A改变时，该点沿负倒描述函数曲线移动。－1／N(A)的绘制步骤a.根据N(A)写出－1／N(A)的表达式b.令A从小到大取值c.在复平面上描点第84页,共106页，2024年2月25日，星期天(3)自振分析a.自振的确定自振是没有外部激励条件下，系统内部自身产生的稳定周期运动当与－1／N(A)相交时自振的必要条件第85页,共106页，2024年2月25日，星期天不稳定区域ecdfb.自振参数的确定例1设含理想继电器特性的系统方框图如图所式。试确定其自持振荡的振幅和角频率。－MM第86页,共106页，2024年2月25日，星期天第87页,共106页，2024年2月25日，星期天第88页,共106页，2024年2月25日，星期天第89页,共106页，2024年2月25日，星期天－MM继电特性的描述函数为这里，m=1第90页,共106页，2024年2月25日，星期天第91页,共106页，2024年2月25日，星期天第92页,共106页，2024年2月25日，星期天课程回顾(1)基本假设①

结构上：N(A),G(j

)串联

②N(A)奇对称,y1(t)幅值占优

③G(j

)低通滤波特性好(2)稳定性分析不包围包围相交于则系统稳定不稳定可能自振(3)自振分析穿入穿出相切于

不是自振点的点对应半稳定的周期运动是自振点2.描述函数分析方法1.描述函数的概念、定义第93页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.3.3用描述函数法分析非线性系统（4）自振分析

(举例)演示第94页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.3.3用描述函数法分析非线性系统（5）

4

自振分析

(定量)自振必要条件：例1

分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。解作图分析，系统一定自振。由自振条件：得：比较实/虚部：

要链接的文件/nonlinear6.mdl

第95页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.3.3用描述函数法分析非线性系统（6）

分析：可以调节K,t实现要求的自振运动。解代入比较模和相角得例2

系统如右，欲产生的周期信号,试确定K、t的值。

要链接的文件/nonlinear8.mdl

第96页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.3.3用描述函数法分析非线性系统（7）

例3

非线性系统结构图如右图所示，

已知：自振时,调整K使。求此时的K值和自振参数(A,w)以及输出振幅Ac。(2)定性分析K增大后自振参数(A,w)的变化规律。解(1)(2)依图分析：

第97页,共106页，2024年2月25日，星期天§7.3.3用描述函数法分析非线性系统（8）

例4非线性系统结构图如右图所示，

已知：时，系统是否自振？确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。