18.2.2 矩形的判定 人教版数学八年级下册教学设计

人教版初中数学八年级下册18.2.2矩形的判定教学设计一、教学目标：1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.二、教学重、难点：重点：矩形判定定理的运用.难点：矩形判定方法的理解及应用.三、教学过程：复习回顾忆一忆1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；

矩形的对角线相等.知识精讲想一想工人师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行：(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图①，使AB=CD，EF=GH；

(2)摆放成如图②所示的四边形，则这时窗框的形状是___________，根据的数学道理是______________________________________；

(3)将直角尺靠窗框的一个角，如图③，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图④，说明窗框合格，这时窗框是_____，根据的数学道理是__________________.工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？思考：我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.已知：四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.

求证：四边形ABCD是矩形.证明：∵四形边ABCD是平行四边形

∴AB=DC，AB∥DC

又AC=BD，BC=CB

∴△ABC≌△DCB(SSS)

∴∠ABC=∠DCB

∵AB∥DC

∴∠ABC+∠DCB=180°

∴∠ABC=90°

∴四边形ABCD是矩形矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.几何符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD

∴四边形ABCD是矩形想一想：对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗？为什么？典例解析例1.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC=12AC，OB=OD=1又OA=OD∴AC=BD∴四边形ABCD是矩形∴∠DAB=90°又∠OAD=50°∴∠OAB=40°【针对练习】如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4，求□ABCD的面积.解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AC=2AO，BD=2BO∵△OAB是等边三角形∴AO=BO=AB=4∴AC=BD=8∴四边形ABCD是矩形∴∠ABC=90°∴在Rt△ABC中，BC=AC2-AB2=8∴S□ABCD=AB×BC=4×43=163例2.已知在四边形ABCD中，作AE∥BC交BD于O点且OB＝OD，交DC于点E，连接BE，∠ABD＝∠EAB，∠DBE＝∠EBC．求证：四边形ABED为矩形．证明：∵∠ABD＝∠EAB，∴OA＝OB，∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵∠DBE＝∠EBC，∴∠AEB＝∠DBE，∴OE＝OB，∴OA＝OE，∵OB＝OD，∴四边形ABED是平行四边形，∵OA＝OB，OA＝OE，OB＝OD，∴OA＝OE＝OB＝OD，∴AE＝BD，∴平行四边形ABED为矩形．【针对练习】如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=BO=CO=DO，∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH，∴四边形EFGH是矩形.知识精讲思考：前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.几何符号语言：∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四边形ABCD是矩形典例解析例3.如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证:四边形EFGH是矩形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD∴∠ABC+∠BCD=180°∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD∴∠GBC+∠GCB=12(∠ABC+∠即∠G=90°同理∠E=90°,∠AFB=90°∴∠GFE=90°∴四边形EFGH是矩形【针对练习】已知：如图，P，B，C在同一条直线上，BD，BE分别是∠ABC与∠ABP的平分线，AE⊥BE,AP⊥BD，E，D为垂足．求证：四边形AEBD是矩形．证明：∵BD，BE分别是∠ABC与∠∴∠ABE=1∵∠ABP+∠ABC=180°∴∠ABE+∠ABD=1即∠DBE=90°，∵AE⊥BE,AP⊥BD，∴∠E=∠D=90°，∴四边形AEBD是矩形．例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝12∠BAC又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE＝12∠CAM∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝12(∠BAC＋∠CAM)＝又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四边形ADCE为矩形．例5.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若点P是CD上任意一点，如图①，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F．(1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出你的理由．(2)当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间的数量关系(3)当点P是DC上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出推理过程．（1）解：连接OP，如图，设点C到BD的距离为h1在RtΔBCD中，由SΔh1∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，由SΔ12化简得PE+PF=h（2）解：PE+连接OP，如下图：设点O到AD的距离为h2由（1）得OD=OA=5∵S∴1∴PE+PF=12（3）解：PE-连接OP、BP，如图．由S=S12化简得2PE=h即PE-PF=h课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。达标检测1.在数学活动课.上,老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是()A.测量对角线是否互相平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否为直角D.测量其中三个角是否为直角2.已知平行四边形ABCD中，下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD.其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是()A.①B.②C.③D.④3.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB.若AD=4，∠ABD=30°，则AB的长为()A.43B.23C.8D.834.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是()A.23B.43C.45D.255.如图，是四根木棒搭成的平行四边形框架，AB=8cm，AD=6cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB=_____时，□ABCD的面积最大，此时□ABCD是_____形，面积为______cm2.6.如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件___________时，四边形PEMF为矩形.7.如图，在矩形ABCD中AD=3，CD=4，点P是AC上一个动点(点P与点A，C不重合)，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF//BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为______.8.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD，点M，N，P，Q分别是AB,BC,CD,DA的中点．求证：四边形MNPQ是矩形．9.如图，一张矩形纸片ABCD，点E在边AB上，将△BCE沿直线CE对折，点B落在对角线AC上，记为点F．(1)若AB＝4，BC＝3，求AE的长．(2)连接DF，若点D，F，E在同一条直线上，且DF＝2，求AE的长．10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，动点P，(1)当t为何值时，四边形ABQP为矩形？(2)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？【参考答案】DBAA90°，矩，48AB=12128.证明：设AC与BD交于点O，AC与QM交于点F，BD与PQ交于点E，∵AB=AD，CB=CD，∴点A与点C都在BD的垂直平分线上，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵点M，N，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴MQ∥BD，∴四边形OEQF是平行四边形，又∠AOD=90°，∴四边形OEQF是矩形，∴∠MQP=∠AOD=90°，同理：∠QMN=∠MNP=90°，∴四边形MNPQ是矩形．9.（1）解：如图，矩形纸片ABCD中，∵AB＝4，BC＝3，故由勾股定理可得AC＝5．由折叠知：FC＝BC＝3，∠EFC＝∠B＝90°，BE＝FE．∴AF=AC-FC=5-3=2．设AE＝x，则BE=4-x=FE．在Rt△AFE中，22解得：x=5∴AE=5（2）如图，矩形纸片ABCD中，∵DC∥AB，∴∠DCE＝∠由折叠知：∠BEC＝∠FEC，∴∠DCE＝∠FEC，∴DC＝DE．又∵点D，F，E在同一条直线上，∠EFC＝∠B，∴∠DFC＝90°，∴∠DFC＝∠DAE＝90°，而CF＝CB＝DA，∴△CDF≌△DEA，∴AE＝DF＝10.（1）解：∵设运动时间为t秒，∴AP=t(cm)，如图1