18.2.1 矩形的性质 人教版数学八年级下册教学设计

人教版初中数学八年级下册18.2.1矩形的性质教学设计一、教学目标：1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.二、教学重、难点：重点：理解并掌握矩形的性质定理及推论，会用矩形的性质定理及推论进行推导证明.难点：会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算.三、教学过程：复习回顾平行四边形的定义，及其边，角，对角线都有哪些性质呢？定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.两组对边分别平行；即：AD∥BC，AB∥CD对边相等；即：AB=DC，AD=BC对角相等；即：∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠CDA对角线互相平分.即：AO=CO，BO=DO知识精讲现在来看一个平行四边形，当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生怎样的特殊情况.这时的图形是什么图形呢？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.【针对练习】下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、矩形的关系的是（）探究：如图，在平行四边形的活动框架上，用橡皮筋做出两条对角线，改变这个平行四边形的形状.随着∠α的变化，两条对角线的长度怎样变化？当∠α变为直角时，平行四边形成为一个矩形，这时它的其它内角是什么样的角？它的两条对角线有什么关系？作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，另外，矩形还有以下性质：

矩形的四个角都是直角；

矩形的对角线相等.几何符号语言：∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD你能证明矩形的这两个性质吗？求证：矩形的对角线相等.已知：如图，四边形ABCD是矩形.求证：AC=BD.证明：∵四边形ABCD是矩形

∴∠ABC=∠DCB=90°

又∵AB=DC，BC=CB

∴△ABC≌△DCB(SAS)

∴AC=BD

即矩形的对角线相等典例解析例1.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形对角线的长.解：∵四边形ABCD是矩形

∴AC与BD相等且互相平分

∴OA=OB

又∠AOB=60°

∴△OAB是等边三角形

∴OA=AB=4

∴AC=BD=2OA=8【针对练习】一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一个交角为120°，求这个矩形的边长.解：∵四边形ABCD是矩形

∴AC与BD相等且互相平分

∴OA=OB=OC=×AC=×8=4

∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°

∴△OAB是等边三角形

∴AB=OA=4

又∠ABC=90°

∴在Rt△ABC中，BC===∴矩形的边长分别是4和例2.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝12AC，BO＝12BD，AC＝∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.【针对练习】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ADF:∠FDC=3:2，DF⊥AC交BC于F，垂足为E，求解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AC=BD，CO=12AC∵∠ADF:∠FDC=3:2，∴∠FDC=2∵DF⊥AC，∴∠DEC=90°．∴∠DCO=90°-∠FDC=90°-36°=54°．∵AC=BD，CO=12AC∴CO=OD，∴∠ODC=∠DCO=54°，∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=54°-36°=18°．例3.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：DF=DC.证明：连接DE.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE,∴∠DFE=∠C=90°.又∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE,∴DF=DC.例4.如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3.又由折叠知∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5.∴S△BED＝12DE·AB＝12【针对练习】折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=16cm，BC=20cm，求：解：∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=16cm，BC=AD=20∠B=∠C=90°；∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，∴AF=AD=20cm由勾股定理得：BF∴BF=12cm∴CF=BC-BF=20-12=8(cm设EF=DE=xcm，EC=(16-x)在△EFC中，由勾股定理得：x解得：x=10，∴EC=16-10=6(cm知识精讲思考：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？BO=BD=AC直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.几何符号语言：∵在Rt△ABC中，OA=OC

∴OB=AC.典例解析例5.如图，已知BE、CF是△ABC的两条高，M、N分别为BC、EF的中点．求证：MN⊥EF解：如图，连接FM，EM，∵BE、CF是△ABC∴BE⊥AC，CF⊥AB，∴△BEC，△∵M为BC的中点，∴FM是Rt△BFC斜边BC的中线，EM是Rt△∴FM=12BC∴FM=EM，又∵N为EF的中点，∴MN⊥EF．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。达标检测1.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是()A.对角相等B.对角线互相平分C.对角线相等D.对边相等2.如图，矩形ABCD的对角线交于点O.若∠ACB=30°，AB=2,则OC的长为()A.2B.3C.23D.43.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG，则AG的长为()A.1B.43C.324.如图，O是矩形ABCD对角线的交点，∠AOD=120°，AE平分∠BAD，则∠EAC=______.5.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5,AD=12，则四边形ABOM的周长为______.6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点.若CD+EF=8,则CD的长为______.7.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF//BC,分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD.若AE=2，PF=8.则图中阴影部分的面积为_____.8.如图,在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE.求证:△ADE≌△BCE.9.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，对角线AC、BD相交于点O，且BE:ED=1:3，AD=6cm.求AE的长.10.如图，点E、F分别在矩形ABCD的边上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF=90°,AD+CD=10，AE=2，求AD的长.11.如图，在□ABCD中，E、F、G分别为AD、OB、OC的中点，且2AB=AC，求证:EF=GF.【参考答案】CAC15°204168.证明:在矩形ABCD中，AD=BC,∠A=∠B=90°∵E是AB的中点∴AE=BE∴△ADE≌△BCE(SAS)9.解:∵四边形ABCD是矩形∴BO=OD=12BD=12AC=OA，∠∵BE:ED=1:3∴BE=OE∵AE⊥BD∴AB=AO=BO∴∠ABO=60°∴∠ADE=90°-60°=30°∴AE=12AD=12×10.解:∵四边形ABCD是矩形∴CD=AB，∠A=∠B=90°∴∠ADE+∠DEA=90°∵△DEF为等腰直角三角形，∠DEF=90°∴DE=EF，∠BEF+∠DEA=90°∴∠ADE=∠BEF∴△ADE≌△BEF(AAS)∴AD=BE∵AD+CD=10，AE=2∴AD+AB=10，即AD+AE+BE=10∴2AD+2=10，解得，AD=411.证明:连接AF.∵四边形ABCD