高三数学一轮复习基础夯实练81：离散型随机变量及其分布列、数字特征

基础夯实练81离散型随机变量及其分布列、数字特征1.(2024·江苏镇江模拟)随机变量Y的分布列如下表,且E(Y)=3,则D(3Y-5)=()Y02aP1m1A.10 B.15 C.40 D.452.设0<a<1,随机变量X的分布列为X012P21b则当a在(0,1)内增大时()A.D(X)增大 B.D(X)减小C.D(X)先减小后增大 D.D(X)先增大后减小3.(多选题)已知投资A,B两种项目获得的收益分别为X,Y,分布列如下表,则()

X-102P0.2m0.6

Y012P0.30.4n

A.m+n=0.5B.E(2X+1)=4C.投资两种项目的收益期望一样多D.投资A项目的风险比B项目高4.一个不透明的盒子中有质地、大小相同的5个球,其中红球3个,黄球2个,每次不放回地随机从盒子中取1个球,当盒子中只剩一种颜色时,停止取球.(1)求盒子中恰好剩2个红球的概率;(2)停止取球时,记盒子中所剩球的个数为X,求X的分布列与均值.5.(2024·广东揭阳模拟)某大学为调研学生在A,B两家餐厅用餐的满意度,从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分为60分.整理评分数据,将分数分成6组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表:A餐厅分数的频

率分布直方图

B餐厅分数的

频数分布表

分数区间频数[0,10)4[10,20)6[20,30)10[30,40)30[40,50)80[50,60)70

定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下:分数[0,30)[30,50)[50,60)满意度指数345(1)在随机抽取的200人中,求对A餐厅评价的“满意度指数”为4的人数;(2)从该校在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查,试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”低的概率;(3)如果根据学生对餐厅评价的“满意度指数”从A,B两家餐厅中选择一家用餐,从期望的角度你会选择哪一家?并说明理由.6.(2024·山西太原模拟)对某地区过去20年的年降水量(单位:毫米)进行统计,得到以下数据:887939643996715838108292390111821035863772943103510228551118768809将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1000毫米及以上分别指定为降水量偏少、适中、偏多三个等级.(1)将年降水量处于各等级的频率作为概率,分别计算该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率;(2)根据经验,种植甲、乙、丙三种农作物在年降水量偏少、适中、偏多的情况下可产出的年利润(单位:千元/亩)如下表所示.你认为这三种作物中,哪一种最适合在该地区推广种植?请说明理由.年降水量偏少适中偏多甲8128乙12107丙710127.(2024·湖南雅礼中学模拟)2024年中非经贸合作座谈会议在长沙举行,拟在某单位招募5名志愿者,该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔,每个部门有3个小组,每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔,假设每名志愿者入选的机会相等.(1)求甲部门志愿者入选人数为1人的概率;(2)求所招募的5名志愿者来自三个部门的概率;(3)求某小组志愿者入选人数X的分布列及期望.

参考答案1.D解析由题意得16+m+13=1,得m=12,所以E(Y)=0×16+2×12+13a=3,解得a=6,所以D(Y)=(0-3)2×16+(2-3)2×12+(6-3)2×13=5,所以D(32.A解析根据随机变量分布列的性质可知2-a3+13+b=1,所以b=13a,所以E(X)=0×2-a3+1×13+2b=13(1+2a),所以D(X)=[0-13(1+2a)]2×2-a3+[1-13(1+2a)]2×13+[2-13(1+2a)]2×a3=-49a2+893.ACD解析依题意可得0.2+m+0.6=1,所以m=0.2,0.3+0.4+n=1,所以n=0.3,所以m+n=0.5,故A正确;所以E(X)=-1×0.2+0×0.2+2×0.6=1,则E(2X+1)=2E(X)+1=3,故B错误;E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1,所以E(X)=E(Y),故C正确;因为D(X)=(-1-1)2×0.2+(0-1)2×0.2+(2-1)2×0.6=1.6,D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6,即D(X)>D(Y),所以投资A项目的风险比B项目高,故D正确.故选ACD.4.解(1)因为恰好剩2个红球,所以第1次和第2次必是1个红球和1个黄球,第3次必是黄球,所以盒子中恰好剩2个红球的概率P=C(2)X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=C3P(X=2)=A3P(X=3)=A2所以X的分布列为X123P331E(X)=1×35+2×35.解(1)由对A餐厅分数的频率分布直方图,得对A餐厅评价的“满意度指数”为4的频率为(0.020+0.020)×10=0.4,所以,对A餐厅评价的“满意度指数”为4的人数为200×0.4=80(人).(2)设“对A餐厅评价的‘满意度指数’比对B餐厅评价的‘满意度指数’低”为事件C.记“对A餐厅评价的‘满意度指数’为3”为事件A1;“对A餐厅评价的‘满意度指数’为4”为事件A2;“对B餐厅评价的‘满意度指数’为4”为事件B1;“对B餐厅评价的‘满意度指数’为5”为事件B2.所以P(A1)=(0.003+0.005+0.012)×10=0.2,P(A2)=(0.020+0.020)×10=0.4,由频率估计概率得P(B1)=30+80200=0.55,P(B2)=70200=0.35.所以P(C)=P(A1B1+A1B2+A2B2)=P(A1)·P(B1)+P(A1)P(B2)+P(A2)·P(B2)=0.2×0.55+0.2×0.35+0.4×0.35=0所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”低的概率为0.32.(3)设对A餐厅评价的“满意度指数”为X,对B餐厅评价的“满意度指数”为Y,则随机变量X的可能取值有3,4,5,P(X=3)=0.2,P(X=4)=0.4,P(X=5)=0.4,所以对A餐厅评价的“满意度指数”X的分布列为X345P0.20.40.4所以E(X)=3×0.2+4×0.4+5×0.4=4.2.随机变量Y的可能取值有3,4,5,P(Y=3)=0.1,P(Y=4)=0.55,P(Y=5)=0.35,所以B餐厅评价的“满意度指数”Y的分布列为Y345P0.10.550.35所以E(Y)=3×0.1+4×0.55+5×0.35=4.25.因为E(X)<E(Y),所以如果根据学生对餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看,会选择B餐厅用餐.6.解(1)将过去20年的年降水量按照降水量等级分类,可知:降水量偏少有4年,概率可估计为420=0.降水量适中有10年,概率可估计为1020=0.降水量偏多有6年,概率可估计为620=0.3于是该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率分别为0.2,0.5,0.3.(2)设种植农作物甲、乙、丙一年后每亩地获得利润分别是随机变量X,Y,Z,X的分布列为X812P0.50.5故种植甲则每亩地获利的期望E(X)=8×0.5+12×0.5=10,Y的分布列为Y12107P0.20.50.3故种植乙则每亩地获利的期望E(Y)=12×0.2+10×0.5+7×0.3=9.5,Z的分布列为Z71012P0.20.50.3故种植丙则每亩地获利的期望E(Z)=7×0.2+10×0.5+12×0.3=10,所以E(Y)<E(X)=E(Z),即种植甲、丙的获利的期望值比乙更高,不考虑推广乙,又D(X)=0.5×(8-10)2+0.5×(12-10)2=4,D(Z)=0.2×(7-10)2+0.5×(10-10)2+0.3×(12-10)2=3,D(X)>D(Z),故