向量的数量积教案 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

向量的数量积的教案课型：【教材分析】（一）教材分析本节内容是平面向量的数量积运算运算，由功的概念导入，学习平面向量的数量积运算以及运算律这些知识点，同时根据将向量的线性运算与向量的数量积运算进行对比分析。【学情分析】（一）学情分析本单元是在学生已经学习了平面向量线性运算的基础上，以物理中功的概

念，引入向量“数量积”的概念.

向量的数量积运算结果是实数，它不仅满足交换律，而且对加法满足分配律.向量数量积可以刻画两个向量的夹角和向量的长度（可以看成两点间的距离），而距离和角又是刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量.因此，向量数量积在解决平面几何问题中发挥着独到的作用.【教学目标】（一）教学目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.【教学重难点】（一）教学重难点1.教学重点

平面向量的数量积的概念及其应用.

2.教学难点

对平面向量的数量积的概念的理解以及平面向量数量积的应用.【新课导入】（一）新课导入[问题1]我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果

是什么？[问题2]我们是怎么引入向量

的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

[问题3]当力F与运动方向成【新课讲解】（一）向量的数量积运算的运算律与向量垂直、夹角有关的问题[探究问题]1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？提示：a⊥b⇔a·b＝0.2．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？提示：|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|.当且仅当|cosθ|＝1，即cosθ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”，所以|a·b|≤|a||b|，cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).【例3】(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________．(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．思路点拨：(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同．(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a与b的夹角．(1)(0,1)∪(1，＋∞)[∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋keeq\o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.](2)[解]由已知条件得②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq\f(1,2).∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3).1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．[解]∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋keeq\o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0.当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“eq\f(π,3)”，求k的值．[解]由已知得|e1＋ke2|＝eq\r(e\o\al(2,1)＋2ke1·e2＋k2e\o\al(2,2))＝eq\r(1＋k2)，|ke1＋e2|＝eq\r(k2e\o\al(2,1)＋2ke1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq\r(k2＋1)，(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋keeq\o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k，则coseq\f(π,3)＝eq\f((e1＋ke2)(ke1＋e2),|e1＋ke2||ke1＋e2|)＝eq\f(2k,1＋k2)，即eq\f(2k,1＋k2)＝eq\f(1,2)，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝eq\f(4±\r(12),2)＝2±eq\r(3).向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①b在a的方向上的投影为|b|cosθ；②a在b的方向上的投影为|a|cosθ.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．思考：投影一定是正数吗？[提示]投影可正、可负也可以为零．【板书】（一）板书1.向量的夹角概念；

2.向量数量积的概念；

3.投影向