山西省阳泉市西潘中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

山西省阳泉市西潘中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则

B．若，则C．若，则

D．若，则参考答案：D略2.抛物线上一点P到轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(

)A.4

B.6

C.8

D.12参考答案：B3.在利用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是（

）A．假设是有理数 B．假设是有理数C.假设或是有理数 D．假设是有理数参考答案：D由于反证法假设时，是对整个命题的否定，所以命题“是无理数”是命题“是无理数”，即假设是有理数，故选D.

4.已知向量=（3，1），=（﹣2，5），那么2+等于（）A．（﹣1，11） B．（4，7） C．（1，6） D．（5，﹣4）参考答案：B【考点】平面向量的坐标运算．【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可．【解答】解：向量=（3，1），=（﹣2，5），那么2+=（4，7）．故选：B．【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．5.椭圆共同焦点为F1,F2，若P是两曲线的一个交点，则的值为（

）A.

B.84

C.3

D.21参考答案：D6.已知三条不同直线，两个不同平面，有下列命题：①，，∥，∥，则∥②，，，，则③，，，，则④∥，，则∥其中正确的命题是（

）A．①③B．②④C．③D．①②④参考答案：C略7.在长方体中，如果,，那么到直线的距离为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C8.直线的斜率为A.

B.

C.

D.参考答案：A9.已知复数，则|z﹣1|为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的乘法法则，化简即得．【解答】解：复数===﹣i，∴z﹣1=﹣i，∴|z﹣1|=，故选：A10.若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B． C． D．参考答案：B【考点】点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．【解答】解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线y=x2﹣lnx相切，设P（x0，x02﹣lnx0）则有k=y′|x=x0=2x0﹣．∴2x0﹣=1，∴x0=1或x0=﹣（舍去）．∴P（1，1），∴d==．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值________．参考答案：12.从个篮球中任取一个，检验其质量，则应采用的抽样方法为_______________。参考答案：略13.中，，则=

．参考答案：14.如右图算法输出的结果是_______.参考答案：15.已知绕原点逆时针旋转变换矩阵为，则其旋转角θ（θ∈上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为

．参考答案：【考点】CF：几何概型．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为：．16.执行右边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝.参考答案：417.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，则异面直线BD1与AC所成角的余弦值为．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与BD1所成角的余弦值．【解答】解：建立如图坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，∴D1（0，0，5），B（3，4，0），A（3，0，0），C（0，4，0），∴=（﹣3，﹣4，5），=（﹣3，4，0）．∴cos＜，＞==﹣．∴AC与BD1所成角的余弦值．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数在与时，都取得极值。（1）求的值；（2）若，求的单调区间和极值；（3）若对都有恒成立，求的取值范围。参考答案：解：（1）f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0．由题设，x＝1，x＝－为f′(x)＝0的解．－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2经检验得：这时与都是极值点．（2）f(x)＝x3－x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．∴f(x)＝x3－x2－2x＋1．∴

f(x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）．当x＝－时，f(x)有极大值，f(－)＝；当x＝1时，f(x)有极小值，f(1)＝－（3）由（1）得，f′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f(x)＝x3－x2－2x＋c，f(x)在[－1，－及（1，2]上递增，在（－，1）递减．而f(－)＝－－＋＋c＝c＋．f(2)＝8－2－4＋c＝c＋2．∴

f(x)在[－1，2]上的最大值为c＋2．∴

，∴

∴

或∴

或略19.（本小题满分12分）在中，，.（1）求的值；（2）设，求的面积参考答案：（1）∵在中∴

∴∴

∴（2）据正弦定理得又∴20.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点P（1，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，求△OAB的面积．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过点的坐标适合方程求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）过焦点F且斜率为2的直线l，设出直线方程，利用过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，联立方程组，利用韦达定理弦长公式以及点到直线的距离求出△OAB的面积．【解答】（本小题满分（13分），（Ⅰ）小问（5分），（Ⅱ）小问8分）解：（Ⅰ）由题意：4=2p，解得：p=2，从而抛物线的方程为y2=4x，准线方程为x=﹣1…（5分）（Ⅱ）抛物线焦点坐标为F（1，0），依题意可设直线y=2x﹣2…（6分）设点A（x1，y1），B（x2，y2）联立得：4x2﹣12x+4=0，即x2﹣3x+1=0…（8分）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理有：x1+x2=3，x1x2=1…（9分）则弦长…（11分）而原点O（0，0）到直线l的距离…（12分）故…（13分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法以及性质的应用，考查计算能力．21.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，，，BC=1，E，分别为A1C1，BC的中点.（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：在棱AC上存在一点M，使得平面C1FM∥平面ABE；（3）求三棱锥的体积．

参考答案：（1）由侧棱垂直于底面，平面，得，又，点，所以平面，从而平面平面；（2）取中点，连接，，由为的中点，知，平面，得平面，因为，，所以四边形为平行四边形，则，平面，得平面，而点，平面平面，即存在中点，使得平面平面；（3）点到底面的距离即为侧棱长，在中，，，，所以，，所以.22.已知，若函数（为自然对数的底数）在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围.参考答案：【分析】先