四川省德阳市中江县中学2022-2023学年高二数学理月考试题含解析

四川省德阳市中江县中学2022-2023学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线，直线与该抛物线交于A，B两点，则弦AB的长为（）A．24

B．20

C.16

D．12参考答案：B由，得：；设,;则∴；故选：B

2.对于曲线C：+=1，给出下面四个命题： （1）曲线C不可能表示椭圆； （2）若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜； （3）若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4； （4）当1＜k＜4时曲线C表示椭圆， 其中正确的是（） A．（2）（3） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）参考答案：A【考点】圆锥曲线的共同特征． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据曲线方程的特点，结合椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可． 【解答】解：（1）当，即k∈（1，）∪（，4）时，曲线C表示椭圆，∴（1）错误； （2）若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则4﹣k＞k﹣1＞0，解得1＜k＜，∴（2）正确； （3）若曲线C表示双曲线，则（4﹣k）（k﹣1）＜0，解得k＞4或k＜1，∴（3）正确； （4）当k=时，4﹣k=k﹣1，此时曲线表示为圆，∴（4）错误． 故选A． 【点评】本题主要考查圆锥曲线的方程，根据椭圆、双曲线的标准方程和定义是解决本题的关键． 3.不等式≥0的解集是(

)A.［2,+∞）

B.∪(2,+∞）C.(－∞,1)

D.(－∞,1)∪［2,+∞)参考答案：D4.已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于(

)Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.参考答案：C5.如果的三个内角的余弦值分别等于三个内角的正弦值，则

A．和都是锐角三角形

B．和都是钝角三角形C.是锐角三角形，是钝角三角形D．是钝角三角形，是锐角三角形

参考答案：C 略6.一般地，在两个分类变量的独立性检验过程中有如下表格：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.005k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879如图是两个分类变量X，Y的2×2列联表的一部分，则可以有多大的把握说X与Y有关系(

)

y1y2x1155x22020 A．90% B．95% C．97.5% D．99%参考答案：A考点：独立性检验的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：根据所给的观测值，把观测值同表格所给的临界值进行比较，看观测值大于哪一个临界值，得到说明两个变量有关系的可信程度．解答： 解：∵k2=≈3.43＞2.706，∴有90%的把握说X与Y有关系，故选A．点评：本题考查独立性检验，考查两个变量之间的关系的可信程度，考查临界值表的应用，本题是一个基础题，关键在于理解临界值表的意义．7.已知，则下列不等关系正确的是（A）

（B）（C）（D）参考答案：C8.已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.若，,则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：A10.已知点是函数的图像上一点，且，则该函数图象在点处的切线的斜率为（

）A． B． C． D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知可行域为及其内部，若目标函数当且仅当在点B处取得最大值，则k的取值范围是

.参考答案：12.右边程序输出的结果是

．参考答案：1013.（导数）函数的极小值是．参考答案：略14.已知函数.为的导函数，若，则实数a的值为__________.参考答案：2【分析】通过对原函数求导，代入1即得答案.【详解】根据题意，，所以，故.【点睛】本题主要考查导函数的运算法则，难度不大.15.一箱磁带最多有一盒次品。每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品带的概率是0.01。则一箱磁带最多有一盒次品的概率是

。参考答案：C（0.01）·(0.99)24＋C(0.99)2516.过点作曲线的切线，则切线斜率为

．参考答案：略17.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；51：函数的零点；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a=2代入可得f′（1）=﹣1，f（1）=，进而可得方程，化为一般式即可；（Ⅱ）可得x=为函数的临界点，分≤1，1＜＜e，，三种情形来讨论，可得最值；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，不合题意，当1＜a＜e2时，需，解之可得a的范围．【解答】解：（I）当a=2时，f（x）=，f′（x）=x﹣，∴f′（1）=﹣1，f（1）=，故f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）化为一般式可得2x+2y﹣3=0…..（Ⅱ）求导数可得f′（x）=x﹣=由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，解得x=，①若≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，因此，f（x）在区间的最小值为f（1）=．②若1＜＜e，即1＜a＜e2，在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间上的最小值为f（）=，③若，即a≥e2在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减，因此，f（x）在区间上的最小值为f（e）=．综上，当0＜a≤1时，fmin（x）=；当1＜a＜e2时，fmin（x）=；当a≥e2时，fmin（x）=．…．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则即，此时，e＜a＜．所以，a的取值范围为（e，）…..（13分）【点评】本题考查利用导数研究函数的切线，涉及函数的零点和闭区间的最值，属中档题．19.已知集合．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，，都有，则称S具有性质P．（1）当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由．（2）若时①若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由；②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.试题分析：（1）当时,,结合新定义的性质P可知集合不具有性质.集合具有性质.（2）当时,,①若集合具有性质,那么对于中的任意两个元素,存在成立,则对于中的任意两个元素成立,所以集合一定具有性质.②已知,设是中最小的元素,则,并且.可得集合中元素最多的理想状态是集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多出一整组（个）,即有组元素在集合中,组元素不在集合中,此时满足.很明显不存在满足上式的,理想状态不存在.接下来,令集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多个,讨论可得集合中元素个数的最大值是.试题解析：（1）当时,,,对于中的任意两个元素,不存在,所以集合不具有性质.,对于中的任意两个元素,存在,所以集合具有性质.（2）当时,,①若集合具有性质,那么对于中的任意两个元素,存在成立,集合{},则对于中的任意两个元素,一定存在成立,所以集合一定具有性质.②已知,设是中最小的元素,则有,并且,并且,以此类推,并且.因为要求集合中元素个数的最大值,不妨从集合中排除不满足条件的元素.令,则有,并且.故集合中的元素被分为两部分,从开始以个数为一组进行分组,第一组的元素在集合中,第二组的元素不在集合中,第三组的元素在集合中,第四组的元素不在集合中,以此类推,一直到集合中没有元素.所以集合中元素最多的理想状态是集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多出一整组（个）,即有组元素在集合中,组元素不在集合中,此时满足.因为是奇数,是偶数,所以为偶数,则有.然而是质数,不存在满足上式的,理想状态不存在.接下来,令集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多个,此时满足,即,此时显然越大,集合中元素越多.取,得,此时集合中元素最多,为.所以,集合中元素个数的最大值是.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.20.已知函数f（x）=+（2﹣b）x+1在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2．（1）证明a＞0；（2）若z=a+2b，求z的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；简单线性规划．【分析】（1）求出f（x）的导函数，因为函数在x=x1和x=x2取得极值得到：x1，x2是导函数等于0的两个根．表示出导函数，因为x＜x1函数为增函数，得到导函数大于0，根据不等式取解集的方法即可得到a的范围；（2）由0＜x1＜1＜x2＜2得到导函数在x=0、2时大于0，导函数在x=1时小于0，得到如图所示的三角形ABC，求出三个顶点的坐标即可得到相应的z值，得到z的取值范围即可．【解答】解：求出函数f（x）的导函数f'（x）=ax2﹣2bx+2﹣b．（1）由函数f（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，知x1，x2是f'（x）=0的两个根．所以f'（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）当x＜x1时，f（x）为增函数，f'（x）＞0，由x﹣x1＜0，x﹣x2＜0，得a＞0．（2）在题设下，0＜x1＜1＜x2＜2等价于，即，化简得．此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2﹣b=0，a﹣3b+2=0，4a﹣5b+2=0．所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：．z在这三点的值依次为．所以z的取值范围为．【点评】本题考查学生会利用导数研究函数的极值，会利用数形结合法进行简单的线性规划．在解题时学生应注意利用数形结合的数学思想解决问题．21.（本小题满分13分）已知函数在处取得极小值，其导函数的图象经过点与(1)求，的值；

(2)求及函数的表达式.参考答案：解：（1）……………2分过点与，故得…………5分

（2）由（1）得……………6分

由

或……………8分

而当时，；

当时,

当时,

；

故是的最小值……………10分

从而有，……………11分

由，解得……………12分略22.设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由实轴长可得a值，由焦点到渐近线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦