2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（解析版）

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（二十

三）

一、单选题

1.（2023•江苏徐州•徐州市第七中学校考一模）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量

为例，引入数列：1,123,5,8,...,该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和，即递推关系式为

4+2=%+i+eN*,故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系

式的数列｛%｝的通项公式为外,=A.

比如兔子数列中弓==1代入解得A=｝,2=一A.利用以上信息计算

尺］y

=（）.（［尤］表示不超过尤的最大整数）（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【解析】解:由题意可令A=8=l,

所以将数列｛4,｝逐个列举可得：

%=1,2=3,%+%=4,%=/+〃2=7,%=&+〃3=11,

故选:B

123/4

2.（2023•江苏徐州•徐州市第七中学校考一模）已知b=2册,c=2詈

（其中e为自然常数），贝I］。、b、c的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

iir\In2—__—

【解析】"=前=不=京=启，》=2血=?,,=正=5

—inz_4—

223

设〃x)=G(x>0),则-(x)=e"-xje*=e*(x-l),

XXX

令广(无)>0,得龙>1,令尸(x)<0,得O<X<1,

所以/'(x)在(0,1)上为减函数，在(1,收)上为增函数，

£

11e2ln2

因为0<Z<ln2<l,所以/()>/(ln2),即匕7=丁〉Je=。，

22_In2

2

24

因为8%,所以2>”2，所以ln2〉§,所以ln4>：>l,

所以/(In4)>/(1),即川n4)>/($=c,

ln442

因为/(ln4)=—=所以"c,

In421n2ln2

综上所述：b>a>c.

故选：D

3.（2023•河北衡水•衡水市第二中学校考模拟预测）某同学连续抛掷一枚硬币若干次，

若正面朝上则写下1,反面朝上则写下0,于是得到一组数据.记命题〃：“这组数据的中位

数是3"，命题q：“这组数据的标准差为3"，则p是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据某同学连续抛掷一枚硬币若干次，若正面朝上则写下1,反面朝上则写下0,

于是得到一组数据，

若想这组数据的中位数是《，

则必须抛偶数次，且正反次数相同,

则此时这组数据的平均数丁4

则这组数据中%-7=土;，

则这组数据的标准差学龙T）2」,

即？是4的充分条件;

设某同学连续抛掷一枚硬币〃次，其中正面朝上则写下1的有机次,

则此时这组数据的平均数元=生，

n

若这组数据的标准差是

解得*]

n2

则这位同学连续抛掷一枚硬币"次，其中有一半为正面朝上，一半为反面朝上,

则这组数据的中位数是

2

即。是4的必要条件；

综上所述：〃是q的充要条件,

故选：c.

4.（2023•河北衡水•衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数尤,y,z>。，满足

z41

孙+—=2,则当一+-取得最小值时，y+z的值为（）

xyZ

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】D

7

【解析】因为实数x,y,z>0,满足孙+二=2,

X

所以孙+三=222dxy义三=21ynyzW1,当且仅当z=y%2时，yz=l,

41

所以一4+—122[j—4x1—=21』~4一~221、4；=4,当且仅当一二—且乃=1时，等号成立;

yz\yzyyzylyz

4141

所以当yz=i且一=一时，一+一取得最小值4,

yZyz

y=2

)5

此时解得＜1^y+z=-

z=-2

I2

故选：D.

5.（2023•河北衡水•衡水市第二中学校考一模）某正六棱锥外接球的表面积为16元，且

外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长/可代”，则其体积的取值范

围是（）

【答案】B

【解析】如图所示:

设该正六棱锥的高侧棱长为。，设该正六棱锥外接球的半径为,,

因为正六棱锥外接球的表面积为16K,所以有16兀=4m2=r=2,

因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，

所以/后2,

设NOPB=e,

在正六边形ABCDEF,因为正六边形边长为所以48=/,

在△OPB中，由余弦定理可知cos。=4+"一一4=3,

2-2a4

在直角三角形sO/B中，cos0--,所以有cosd=或=qna2=4/7,

aa4

由勾股定理可知后+尸=/n/+尸=即70尸=町7一为2,

因为/e[省,2],所以/e[3,4],因此有3V4〃-炉<4=>lV/z<3,

而22,所以24643,

该正六棱锥的体积丫=96*；././.孝./1=¥(4〃-〃2)力=孝(4/22一//3),

V'(h)=%8h-)=-手h(h-1),

QQ

当2V/7<1时，V'(/7)>0,V(/7)单调递增，当tv/z—时，2(〃)<04(/7)单调递减,

所以V(3max=V(|)=^^，因为V(2)=47IU3)=券，V(2)<V(3),

所以丫(/0*=4百，因此该正六棱锥的体积的取值范围是46,与回：

故选：B

6.(2023•河北衡水•衡水市第二中学校考一模)若则

201

()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【解析】由于a=In1.01=ln(l+0.01),c=/T5I-1="1+0.01x2-1,

故设函数/(x)=ln(l+x)—Jl+2x+l,(x>0),

।,.11Jl+2x—(1+x)

则nrr(无)=；-----^==--,—,x>o,

l+xJl+2x(l+x)Jl+2x

由于G/l+2x)2-(l+尤)2=-/<0,所以(Jl+2尤)2<(l+x)2,

BPA/1T2^-(1+X)<0,即/'(x)<0,

故/(x)=ln(l+x)-Jl+2x+l,(x>0)为单调递减函数，

故/(》)</(。)=。，即ln(l+x)<Jl+2x-1,(x>0),

令x=0.01,则ln(l+0.01)<J1+2x0.01—1,即a<c；

又Q=lnl.01=ln(l+0.01)/=2=3i221,

2012+0.01

2九

令g(x)=ln(x+l)-汇,(x>。),

>0,(%>0),

771—(％+2)2—(尤+1)(尤+2)2

2x

即gMlg+D-W?。〉。）为单调递增函数,

2尤

故g(x)>g(O)=。，即ln(x+l)>；；一,(%〉0),

2+x

2x0.012

令尤=0.01,贝UIn1.01>即，

2+0.01201

故b<a<c,

故选：B

7.（2023•河北衡水•衡水市第二中学校考一模）已知

〃尤）=2tan（0x+e）,>0,|同<^,/（0）=~~，周期?了彳）［了°）是八”的对称中

心，则的值为（）

2^/3

A.一6B.73C.乂

3

【答案】D

【解析】因为〃x)=2tan(s+0)[0>O,[d<9),

由/(0)=2个可得2tancp=2fntancp=,.H.|^>|<—,所以。=%",

又因为住,。］是〃x）的对称中心，故+5，获Z

<0）662

解得。二3左一1,左£Z

713兀TT7T34

且下£,即<巳兀

了74G43

所以，当左=1时，3=2

即了⑴=2tan（2x+力，

所以佃=2tan（2x9+£|=一竿

故选:D

8.（2023•重庆•统考一模）已知a,b为非负实数，且20+%=1,则生+口的最小

a+\b

值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】2a+b=l,且a,b为非负实数，b^O,

贝！Ja20,Z?>0

则/?=1—2a>0,角军得0Va</,2〃=1—Z?20,解得0VZ?41,

.2/j2+l_2(a+l)2—4(a+l)+2।-+1

a+1ba+1b

212121

=2(Q+1)—4+——+力+—=(2Q+Z?—2)+——+—=——+——1

Q+1ba+1ba+1b

21411「°c、714J_

------+—=--------+—=—1(2〃+2)+”・

a+1b2a+2b3L」2a+2b

\(4b2a+2、1=c2a+2.

=-5+--------+-------->-5+2.------------------=3,

312a+26J3(\2a+2b)

当且仅当‘4^b=三2a+上2即2〃+2=2&,2a+b=l时，即》=L〃=。时等号成立,

2a+2b

故选：B.

9.(2023•重庆•统考一模)已知函数及其导函数/'(x)的定义域为R,记

g(尤)=r(x),/(2x+l)和g(尤+2)为偶函数，则()

A./(1)=/(2)B./(1)=/(3)C./(1)=/(4)D./(D=/(5)

【答案】D

【解析】因为/(2x+l)是偶函数，所以/(-2x+l)=/(2x+l),即/(-x+l)=/(x+l),/(x)

关于x=l对称，

两边求导得一2广(一2x+l)=2-(2x+l),即一r(-2x+l)=r(2x+l),

所以g(2x+l)=-g(-2x+l),即g(x)=-g(-x+2),g(x)关于(1,0)对称

令x=l可得g⑴=-g(D,即g⑴=0,

因为g(x+2)为偶函数，所以g(x+2)=g(r+2),即g(x)=g(4-x),g(x)关于尤=2对

称，g(x)的周期为412T=4,

又因g(4-x)=-g(-x+2),所以煎l)=g(3)=。，/(x)关于x=3对称，/(》)的周期为

2|3-1|=4,BP/(1)=/(5).

故选：D.

10.(2023•辽宁沈阳•东北育才学校校考模拟预测)惰性气体分子为单原子分子，在自由

原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，

则彼此能因静电作用产生极化(正负电荷中心不重合)，从而导致有相互作用力，这称为范

德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电

荷量为q,这两个相距为R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能

------一一—-一]，其中(为静电常量，七，居分别表示两个原子

R+XX-X2火+玉R—X2J

负电中心相对各自原子核的位移，且上|和同都远小于R，当N远小于1时，

(l+x)-1a]-x+x2,则U的近似值为()

C(成尤也左42占尤2

-R3-F-

【答案】B

【解析】根据题意，U=

7

因为M和㈤都远小于R,当W远小于1时，（l+x）TB1—%+/,

111

i+izA[+2

RRR)

2

石工2।

R-4R

222

（占一尤2）

X]x1x2x2

R2示一充一示一充

故选：B

11.（2023•辽宁•辽宁实验中学校考模拟预测）若a=200,Z?=lg(101)",c=1011g99,

则。、b、c的大小关系为（）

A.a>c>bB.c>a>b

C.c>b>aD.a>b>c

【答案】B

【解析】ia/(x)=(100-x)lg(100+x),XG[-1,1],

当九目一1,1]时，:⑺=_lg（lOO+x）+]00+Jge,

令g（x）=7g（l°°+x）+际则8（龙”一际康-记了丘＜。,

所以函数g（x）在区间上单调递减，

ini3

所以g（T）=Tg99+~^~lge=lge99-1g99,

又e熊＜e2＜99,所以＞'（x）=g（x）＜g（T）＜。,

所以函数f（x）在区间上单调递减，

所以/(-l)=1011g99>/(0)=1001gl00=200>/(l)=991gl01=lg(101)",

故c>a>6.

故选：B.

12.(2023•辽宁•辽宁实验中学校考模拟预测)过圆锥内接正方体(正方体的4个顶点在

圆锥的底面，其余顶点在圆锥的侧面)的上底面作一平面，把圆锥截成两部分，下部分为

圆台，已知此圆台上底面与下底面的面积比为1:4,母线长为布，设圆台体积为匕，正

方体的外接球体积为力，则?=()

A7A/3R2n「7指八向

9939

【答案】A

【解析】设圆台的上下底面半径为小也，

r1

由圆台上底面与下底面的面积比为1:4,得圆台上底面与下底面的半径比为，=彳，

r22

由题意知正方体的棱长为白、24=四个

如图，设AP为圆台的一条母线，AA为正方体的一条棱，

Q，C为圆台上下底面的中心，

在RtZkAA/中，AP=&,42=弓一外=耳，^A=5/2,5,

2

即(#)=/]+(42^),解得々=0，r2=2A/2,

则Vt=；兀忘。片+径+r；)=jTtx2x(2+4+8),

正方体的外接球半径为尺=当4=竽=6，故匕=g兀(6了=4年,

28兀

所以匕=上=友，

%4扃9

故选：A

13.(2023•辽宁•辽宁实验中学校考模拟预测)已知函数了(无)为定义在R上的偶函

数，当xe(O,M)时，r(x)>2x,/(2)=4,则不等式犷(x—1)+2f+彳的解集为

()

A.(-1,0)u(3,+8)B.(-1,1)(3,+oo)

C.(f,T)一(0,3)D.(-1,3)

【答案】A

【解析】因为/'(x)>2x,所以尸(x)-2x>0,

构造函数/(无)=/(彳)-炉,当xe(0,+8)时，F'{x)=f'(x)-2x>0,

所以函数尸(x)在区间(0,+8)内单调递增,且产(2)=0,

又Ax)是定义在R上的偶函数，所以"X)是定义在R上的偶函数，

所以尸(乃在区间(一甩0)内单调递减，且/(-2)=0.

不等式xf(x-1)+2x2>尤3+x整理可得：xf{x-1)+2x°—尤3-x>0,

即x"O-l)-(x-l)2]>0,当x>0时，/(x-l)-(x-l)2>0,则x—1>2,解得x>3；当

尤<0时，/(x-l)-(x-l)2<0,贝

解得一1<X<1,又x<0,所以一l<x<0.

综上，不等式#(x-l)+2f>尤3+彳的解集为(_1,0)"3,+8).

故选：A.

22

14.(2023•辽宁•校联考模拟预测)己知双曲线C:「-当=1(a>0,b>0)的左、右

a2b2

焦点分别为Fz,M,N在C上，且|孙卜|凡耳卜|百FlF2+2FlN=MN,则C的离

心率为()

A.2+6B.3-V3C.D.

32

【答案】D

【解析】由1孙卜|咐卜1耳鸟।可知，点B是知叫的外心，

由RF2+2RN=MN得RF?+RN=MN+NF1=-RM,即F；E+£N+EM=0,

所以点B是，MA怎的重心，所以肱阳是等边三角形，

由对称性可知MNLFIF2.且I耳M卜|RN|=2c,NMF、N=120°,

不妨设M在第二象限，所以点M的横坐标为-C-2c・cos60o=-2c,纵坐标为

2c与1160。=后，故点/卜2°,&).

22

又点M在双曲线二一与=l(a>0,人>0)上，

ab

所以一26=1，即一2---2T=l，整理得4c4—8，4+々4=0,

abac-a

两边同时除以/可得4e4-8/+l=0,解得/=%亘，所以e=&l,

22

又e〉l,所以e=正1.

2

故选：D

15.(2023•辽宁沈阳•东北育才学校校考模拟预测)在平面直角坐标系中，定义忖+词称

为点尸(x,y)的“5和”，其中。为坐标原点，对于下列结论：(1)“5和”为1的点尸(X,y)的

轨迹围成的图形面积为2；(2)设尸是直线2x-y-4=o上任意一点，则点P(x,y)的“5和”

的最小值为2；(3)设P是直线双-'+6=0上任意一点，则使得“5和”最小的点有无数

2

个”的充要条件是“=1;(4)设尸是椭圆V+匕=1上任意一点，贝-5和”的最大值为6.

2

其中正确的结论序号为()

A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)

C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)

【答案】B

【解析】(1)当|x|+|y|=l时，点尸(x,y)的轨迹如图，其面积为2,正确；

(2)P是直线2x-y-4=0上的一点，，y=2x-4,

4-3x,x<0,

.,.N+H=W+|2x-4]=<4—x,0<x<2,可知，x<0,0<x<2时递减，x»2时递增，故

3%-4,x>2,

W+|y|的最小值在X=2时取得，(W+而1A=2,正确；

(3)同(2),\^\+\y\^\x\+\ax+b\,可知当a=±l时，都满足，和”最小的点有无数个,

故错误；

x=cos6,

(4)可设椭圆参数方程为尸缶in/"",I=|cos^|+|V2sin^|,

易知其最大值为6,正确.

故选：B.

16.(2023•辽宁沈阳•东北育才学校校考模拟预测)已知“<0,不等式VM.e，+alnxNO

对任意的实数x>l恒成立，则实数。的最小值为()

A.---B.—IeC.——D.-e

2ee

【答案】D

【解析】不等式变形为xe，2x-a(-alnx),

即xe">Inxa-^x°，设/(x)=旄*(x>1),

则不等式尤”+Le，+alnx20对任意的实数x>l恒成立，

等价于f(x)>f(iny)对任意x>1恒成立，

r⑺=(尤+1)，>0,则/(X)在a收)上单调递增，

/.X>In,即无之—aln%对任意元〉1恒成立，

/一〃恒成立，BP-6Z-f~r~］，

令g(加自，则g'(x)=R导(尤>1)，

当l<x<e时，g'(x)<0,g(x)在(l,e)上单调递减,

当x>e时,g<x)>0,g(x)在(e,+oo)上单调递增,

，x=e时，8(工)取得最小值8(6)=6,

—a<e,a>—e,

的最小值是-e.

故选：D

二、多选题

17.(2023•江苏徐州•徐州市第七中学校考一模)如图，在边长为2的正方体

ABCQ-AgGQ中，P在线段8,上运动(包括端点)，下列选项正确的有()

A.APVB.C

B.PD1BC

C.直线尸&与平面A8C2所成角的最小值是:

4

D.PC+PD的最小值为

【答案】AD

【解析】对于A项，连接4。，曲，在正方体ABC。-中，BORD

\D±ADt

<AlD±AB=>4。，平面48。，又因为尸eBQ.^.A尸u平面A8。，故

ABcADX=A

APIAD:.APLB.C

故A正确.

对于B项，假设尸3c成立，又因为BCJ_D2，并且PDDD、=D

所以3C1平面明显BC不垂直BO,假设不成立，故B不正确.

对于C项，连接Z)GRC=。，再连接尸。，

在正方体ABCD-A,耳£2,易得G。，平面BCD.A

所以NCQP即为直线尸C与平面”皿所成角，

在RrC/。中，tan/GPO=*=需，当点尸与点3重合时尸。［最大，最大值为指，

CQ夜夜百

直线PC,与平面A.BCD,所成角的最小值是tanZCPON1,故C不正

t①一瓦一/一

确.

对于D项，把BC，往上翻折到与平面BDR共面，

又因为.BCD}BBR,即,BCD,往上翻折成，BDDy,

即在四边形瓦汨石中，求(尸耳+尸0mto,易得最小值为。耳=2g,所以D正确.

故选：AD

18.(2023•江苏徐州•徐州市第七中学校考一模)已知/(x)=d+加+x+d,b,deR,下

列说法正确的是()

A.存在瓦d使得人＞)是奇函数

B.任意/?、4/(%)的图象是中心对称图形

C.若不，尤2为了⑴的两个极值点，则才+考＞1

D.若/(九)在R上单调，则-由工人工百

【答案】ABD

【解析】对于A,当6=d=0时,/(工)=/+%为奇函数，故正确；

对于B,设函数的对称中心为(孙江则有f(2m-x)=2n-f{x},

又因为

/(2m-x)=(2m-x)3+b(2m-x)2+(2m-x)+d

=—+(6m+fe)x2—(^12m2+4mZ?+l)x+8m3+4m2Z7+2m+＜7,

2n-f(x)=-x3-bx2-x+2n-d,

b

6m+b=-b

所以{12病+4滋+1=1,解得＜-3

2b3+9b+21d

8m3+4m2b+2m+d=2n-d

.,,,,、、rb2Z?3+9Z?+27d),..

所以/(%)的对称中心为一------------,故正确；

I32/)

对于C,因为/'(A:)=3^2+2ZZX+1,

又因为斗，尤2为的两个极值点，

i2

所以卒2=晨才+君＞2'=三所以C错误；

对于D,若单调，则有尸（力=31+次+120恒成立，

所以A=462-12V0,

解得-石《6＜石，选项D正确.

故选：ABD.

19.（2023•江苏徐州•徐州市第七中学校考一模）已知A,3是抛物线C：产=以上两

动点，尸为抛物线C的焦点，则（）

A.直线AB过焦点/时，最小值为2

B.直线A8过焦点尸且倾斜角为60。时（点A在第一象限），|"|=2忸同

C.若AB中点/的横坐标为3,则|钿|最大值为8

D.点A坐标（4,4）,且直线AT,A3斜率之和为0,AF与抛物线的另一交点为。，则直

线班）方程为：4x+8y+7=0

【答案】CD

【解析】对于A项，过点A,8分别作准线—一1的垂线，垂足分别为小耳，过点A,B分别

作x轴的垂线，垂足分别为4,当，准线与％轴的交点为C,设直线AB的倾斜角为凡画

根据抛物线的定义：|A4j=|AF|=〃，从图可知|四|=他。="，|CF|=p=2

\CF\+\FA^=\AA\=n,在Rt4理中，|%|="cosd,

22

所以ncos0+2=n:.n=-------,同理根=-------

1—cos。l+cos<9

774

贝ljA5=\AF\+\BF\=----------+-----------=―z—

.............................l-cos6>l+cos6>sin26>

^G[0,7i).*.sin0G[0,l],故当sin°=l时(sijg]=4

故最小值为4,所以A不正确.

2?

对于B项，由A可知，尸［="=―^―=-_r―7=4,

1—cos"1-cos60

忸刊=根=七万烹鼠=3

所以|A同=3忸同，故B不正确.

对于C项，\AB\<\AF\+\BF\=XA+XB+2^2X3+2=8

所以|AB|最大值为8,故C正确.

对于D项，由4(4,4),b(1,0),知心尸二3,所以勉=一

44

所以直线"的方程为y(尤-1),直线A3的方程为y=-"+段

联立<>解得x或4,所以芍-1

y=4x44

428

V=-x~\4949

联立,33解得—7或4,所以无B==,%=-7

y2=4x44

所以直线8。的方程为>+1=“一力

T-4

即4x+8y+7=0,故D正确.

故选：CD

22

20.(2023•河北衡水•衡水市第二中学校考模拟预测)双曲线H：宏一方=1(°,6>0)的

离心率e>0，»的两条渐近线分别记为4，4,其中4经过第一，三象限，尸是H右支上

一个动点，过尸作直线叫，4交4于A，交6于耳；过尸再作牡，4交6于4,交4于

B2,记尸与坐标原点。连线的斜率为％p.则下列说法中，正聊的有()

A,若%/力£,则A，耳，4，星四点彼此相异

B.设P的纵坐标为方,记1M1=〃％),则〃%)是关于%的偶函数

c.在尸变化的过程中，恒有4用-8=0

D.若陷f+|P4「=|O尸「,则|降|=1

【答案】ACD

fv?b

【解析】由已知双曲线"泊】的渐近线4的方程为片”渐近线4的方程为

b

y=一兀,

a

22

设户（4,九），贝工一"=1,直线码的方程为y-%=-：（*-无。），直线色的方

abb

程为y_%=*_/），

b

联立直线色，4的方程可得4［也后”也］,同理可得

IcC）

22

（abyQ+C^XQby0+abx0（axQ—ab%〃也一/％）

1

1’--a2_b2y21，y

1

-abyQb%-abxQ

假设A，B，重合，则。勿。t。飞=a飞一06%,化简可得比=2,即坛.=2,与已知矛

ca-bxoaa

盾，

假设4,用重合，则味二出。="飞+修。,化简可得&=-2,即屹2,与已知矛

222

ca-bx0aa

盾，

因为％所以直线犯，加2与直线0P不重合，故直线犯，"4都不过原点，

故A，BI,A2,2四点彼此相异，A正确；

设P（x0,几），直线4的方程为丫=：苫，又〃％）=|尸局

所以〃％）」/"?,4-4=i-所以〃）=正海；一晒,

扬+/ab-JWc

所以/（_%）=或+/：；+朝。,当为NO时，“为声

故了（%）不是关于%的偶函数，B错误；

所以4瓦=［宁爷，烹等J,又OP=（x。,%）,所以用用。尸=0,C正确;

因为|PA「+|P4『=|af，\P^f+\o^^\OP^,\PA^+\OA^^opf,

所以|0<+|。阕2=|。叶，又4勺包,今皿；,6皆如,4”皿］

所以2产学+片+北,

所以2伊北+）=（片+乂）,

所以（/一⑹君二尤年—⑹，所以％J=l,口正确；

故选：ACD.

21.（2023•河北衡水•衡水市第二中学校考模拟预测）已知｛4｝是等比数列，公比为心

若存在无穷多个不同的"，满足44+1，则下列选项之中，可熊感主的有（）

A.q>0B.4<0

C.|^|>1D.|^|<1

【答案】ABC

【解析】当4>。时，则有：

①当4=1,则｛4｝为非零常数列，故%+2=%=。向，4=1符合题意，A正确；

②当qwl,则｛%｝为单调数列，故。"+2工风工。”+|恒不成立，即4>。且4*1不合题意；

当q<0时,可得4%+1=吊/〃-1<0,则有：

①当4=-1,若为>。,“为偶数时，贝1J。“+2=%<。<4+1；

若％<0,〃为奇数时，则an+2=a„<0<an+l；

故4=-1符合题意，B正确；

②当4<-1,若%>0,"为偶数时，则见+2，%<0,%+i>0,且/+2-凡=a"（/—l）<0,即

氏+2<a„<an+l-

若为<0,〃为奇数时，贝5]a“+2，a“<0,。用>0,且a.+2-q,=a“（，-l）<0,即

a

«„+2<,,<；

故4<-1符合题意，C正确；

<2,9—d—a“（q——1）40

③当一1<”0,若4+小。％，可得；/，

4一凡+1=凡（1—4）4。

.[a>0

•••一1<夕<0,则/一1<0,1一q>。，可得〃贝|见=0,这与等比数列相矛盾，

以V0

故和0<q<l均不合题意，D错误.

故选：ABC.

22.（2023•河北衡水•衡水市第二中学校考模拟预测）已知三棱柱ABC-4用6的体积为

—,底面A3C满足ZAC3=90,AB=2,BC=\,若G在底面ABC上的投影E恰好在

直线AB上，则下列说法中，正确的有（）

A.恒有GE=g

B.C4与底面ABC所成角的最大值为:

6

C.恒有

D.三棱锥用-ABC外接球表面积的最小值为9最兀

【答案】BC

【解析】对于A,ZACB=90，AB=2,BC=1,AC=43,

_cC.E。_=6_CEa_=退

S.ABC=]AC,BC=KBC-AB1cl=SABC,1'~^2'

解得：GE=I，A错误；

对于B,过E作跳〃AG且Eb=AG，连接ARCb,作直线〃/AB,如下图所示,

四边形跖为平行四边形，.•.AJ〃GE,"=GE,

.•.A/L平面ABC,A尸=1；

^\CF即为CA,与底面ABC所成角，：.tanZA.CF="=!，

CFCF

直线4片在平面ABC内的投影为直线I,G在平面ABC内的投影为E,

点E到直线/的距离即为点G到直线A蜴的距离，即为点C到直线AB的距离,

又点E到直线I的距离即为直线AB与I间的距离，

点C到直线/的距离为点C到直线距离的2倍；

点C到直线A8距离d=吆叵=立，:.2d=m，

22

则当时，C/取得最小值行，止匕时tan/ACF取得最大值3，

3

.­.(Z4CF)max=5，即CA与底面A3C所成角的最大值为2,B正确；

v/max66

对于C,又AC工BC,BC//B©得:AC±B,C1；

GE_L平面ABC,ACu平面ABC,.〔GE_LAC,

又4GCE=G，瓦G，GEu平面EgC],.：AC1平面E4G，

E4u平面班lG，.♦.E4，AC,C正确；

对于D,作CHLAB,垂足为尸，则ca=立，AH=4AC2-CH，=',

22

取AB中点G,设三棱锥片-ABC的外接球球心为0,连接OG,OB,。片，

ABC是以A8为斜边的直角三角形，「.G为ABC的外心，

.•.OG_L平面ABC,

以H为坐标原点，H3,印7正方向为左,丫轴，作2轴〃GE,可建立如图所示空间直角坐标

系，

设OG=〃2(m>0),EH=n[n>0),则一;,0,±〃z),Q(±n,0,l),

CB=C1B1=U,-^,0

fl百)

当4—+n,--—,0时，

(22)

2222

OB=OBX,.•.l+WI=(l+n)+|+(l-«j),整理可得：m=1(n+l)+|；

7113

72>O,，机1nM=(，••・外接球半径收=。序=1+相2277,此时外接球表面积

o64

5=4兀代>11^

16

(1百)

当4-一—-,0时，

(22J

OB=OB1,.•/+川=(1_〃)2+：+(〃L1)2,整理可得：m=1(n-l)2+|；

373

则当〃=1时，.•.外接球半径斤=0笈=1+加22二,此时外接球表面积

o64

5=4兀Q3

16

综上所述：三棱锥瓦-ABC外接球表面积的最小值为7名3兀，D错误.

16

故选：BC.

23.(2023•河北衡水•衡水市第二中学校考一模)已知抛物线C：/=2px(p>0)过点

(1,2),/是C准线/上的一点，尸为抛物线焦点，过M作C的切线与抛物线分别

切于A、8,则()

A.C的准线方程是x=-lB.\MF^=\F^\FB\

C.\AM\i=\AF\\AB\D.MA-MB^O

【答案】ABC

【解析