山东省肥城市2023年高二数学第二学期期末考试试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在公差为△的等差数列｛%｝中，“d>1”是“｛%｝是递增数歹（1"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假

币的概率是（）

332

A.—B.—C.—D.以上都不正确

353817

曲线左支交于A,5两点，若△户Mb是等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A.y/3

C.0一1D.V3+1

4.ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知Z?=c,"=2〃（1一sz九4）,则A=

3771„7171

A.—B.-C.—D.一

4346

5.在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为1c加的小正方体，全部放入不透明的口袋中,

搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（）

4

9

6.已知，若/（X）=X”为奇函数，且在（0,+8）上单调递增，则实数。的值是（

A.—1,3B.—,3C.—1,—,3D.—,—,3

3332

7.“%>1”是“复数2=/-1+0-1）兀16/?）在复平面内对应的点在第一象限”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.若二项式（f-2）”的展开式中二项式系数的和是6%则展开式中的常数项为

x

A.-240B.-16（）C.160D.240

9.下列说法正确的个数有（）

—

①用收=1-3-------二一刻画回归效果，当W越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好;

之（凹-》

/=1

2,,

②命题“玉€火，V+x-ivo”的否定是“VxeR,x+x-l>0；

③若回归直线的斜率估计值是2.25,样本点的中心为（4,5）,则回归直线方程是（=2.25X-4；

④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”。

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.已知函数/（x）=xsinx+cosx,则/'（］）的值为（）

71

A.—B.1C.-1D.0

2

11.一个质量均匀的正四面体型的骰子，其四个面上分别标有数字1,2,3,4,若连续投掷三次，取三次面向下的数字

分别作为三角形的边长，则其能构成钝角三角形的概率为（）

3391

A.—B.—C.—D.—

64326432

12.下列函数为奇函数的是（）

A.B.dsmxC.2cosx+1D.%2+2"

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若直线1：22*-6丫+2=0俗>0/>0）与*轴相交于点人，与y轴相交于B,被圆x?+y?+2x-4y+1=0截得

的弦长为4,则|0A|+|0B|（0为坐标原点）的最小值为.

14.设随机变量X服从正态分布N（0,l）,如果P（X<1）=0.8413,贝!|P（-l<X<0）=.

15.已知函数/（x）=ln（2x+l）,则f（x）在％=0处的切线方程为,

16.直三棱柱ABC-AB'C中，ZABC=90\AB=4,BC=2,B"=小,则异面直线AC'与B'C所成角的

余弦值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知在等比数列｛4｝中，a2

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

⑵设d=nan,求数列也｝的前〃项和T„.

18.(12分)已知函数/(》)=111%-版+43,/?€10.

(1)讨论函数/(X)在(1,+8)上的单调性；

(\\(1>

(2)当人=1时，若/—=/—=0(无产%)时，求证：%>2-超.

19.(12分)已知复数z满足|3+4i|+z=l+3i.

⑴求之;

⑵求(1+J(3+旬的值.

Z

22

20.(12分)已知椭圆C：[+与=1(。>8>0)的左焦点厂(—2,0)左顶点4(-4,0).

arb'

(I)求椭圆C的方程；

(H)已知P(2,3),Q(2,—3)是椭圆上的两点，A，8是椭圆上位于直线P。两侧的动点.若NAPQ=NBPQ,试

问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由.

2L(12分)已知函数「㈤=d"nt+：

I求一、的单调区间；

IJ人引

n设的最小值为M,证明：

1，f(x)Hxinx-点Me

22.(10分)“学习强国”APP是由中宣部主管，以新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC

端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，2019年1月1日上线后便成为了党员干部群众学习的“新助手”.

为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况，研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查，将他们某两天在

“学习强国”APP上所得的分数统计如表所示：

分数[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数601002020

频率0.30.50.10.1

(1)由频率分布表可以认为，这200名党员这两天在“学习强国”APP上的得分Z近似服从正态分布N(〃,cr2),

其中〃近似为这200名党员得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，b?近似这200名党员得分

的方差，求P(57.4<Z<83.8)；

(2)以频率估计概率，若从该地区所有党员中随机抽取4人，记抽得这两天在“学习强国”APP上的得分不低于80

分的人数为X,求X的分布列与数学期望.

参考数据：A/5«2.2,V6«2.4,V7«2.6,若X则<X+=0.6827,

一2b<X<//4-2cr)=0.9545,P(ju-3b<X<〃+3cr)=0.9973.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

试题分析：若d>l,则V〃eN*，an+i-an=d>l>0,所以，｛叫是递增数列；若｛%｝是递增数列，则V“eN*，

用一4=d>°，推不出d>l，贝！是“｛4｝是递增数歹U”的充分不必要条件，故选A-

考点：充分条件、必要条件的判定.

2、A

【解析】

设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，

则所求的概率即P(A|B).

又P(AB)=*A)=*,P(8)=与萼

。20。20

由公式P(48)=勺黑)=:=:=卷.

P(B)C；+C：C；66+4x1635

本题选择A选项.

点睛：条件概率的求解方法：

n(AB)

(1)利用定义，求P(A)和P(A6),则P(B|A)=+#.

〃(A)

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数〃(A),再求事件A与事件5的交事件中包含

n(AB)

的基本事件数〃(4B),得P(B|A)=)?.

〃(A)

3、D

【解析】

连接A耳，利用三角形边之间的关系得到2c=2|442"=(G—1)|A制，代入离心率公式得到答案.

【详解】

连接A耳，依题意知:

\AF2\=^3\AF.\,2户忻闾=2|/,

所以2a=|A图—|A"|=(G—1)|然|

e，.2|相|

=G+i.

a(G-l)|狗

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率，利用三角形边之间的关系和双曲线性质得到a，c的关系式是解题的关键.

4、C

【解析】

试题分析：由余弦定理得：a2=b2+c2-2Z?ccosA=2Z?2-2b2cosA=2Z?2(l-cosA),因为a2=2/??(1-sinA),

所以cosA=sinA,因为cosA/O,所以tanA=l,因为4G(0,万)，所以A=(,故选C.

【考点】余弦定理

【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此

类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.

5、C

【解析】

由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，

有6种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一

个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，

可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表

面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，所以所求概率为三=堤.

279

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答根据几何体的结构特征，得出基本事件的总数和所求

事件所包含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

6、B

【解析】

先根据奇函数性质确定。取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.

【详解】

因为f(x)=x"为奇函数，所以ae卜1,3,；｝

因为“X)在(O,y)上单调递增，所以。《，累

因此选B.

【点睛】

本题考查幕函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.

【解析】

根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案.

【详解】

x-x>0

若复数z=/-x+(x-l)i(xeR)在复平面内对应的点在第一象限，贝卜

x-l>0

解得x>l,故“x>l”是“复数Z=£-x+(x-l)i(xeR)在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.

故选C.

【点睛】

本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题.

8、D

【解析】

由二项式定义得到二项展开式的二项式系数和为2"，由此得到〃，然后求通项，化简得到常数项，即可得到答案.

【详解】

由已知得到2"=64,所以"=6,

所以展开式的通项为却=。：(*2严(__)，=2(-2)，/-3r,

X

令12-3r=0,得到厂=4,所以展开式的常数项为G=(-2)4=240,故选D.

【点睛】

本题主要考查了二项展开式的二项式系数以及特征项的求法，其中熟记二项展开式的系数问题和二项展开式的通项是

解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

9、C

【解析】

分析：结合相关系数的性质，命题的否定的定义，回归方程的性质，推理证明即可分析结论.

详解：①代为相关系数，相关系数的结论是：片越大表明模拟效果越好，反之越差，故①错误；②命题

2,,

“玉eE,/+%-1<0”的否定是“VxeE,x+x-l>0；正确；

③若回归直线的斜率估计值是2.25,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程是;=2.25X.4；

根据回归方程必过样本中心点的结论可得③正确;④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执

果索因”。根据综合法和分析法定义可得④的描述正确；故正确的为：②③④

故选C.

点睛：考查命题真假的判断，对命题的逐一分析和对应的定义，性质的理解是解题关键，属于基础题.

10、D

【解析】

求出/(X)的导函数，代入即得答案.

【详解】

根据题意，/'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,所以/'(5)=0,故选D.

【点睛】

本题主要考查导函的四则运算，比较基础.

11、C

【解析】

三次投掷总共有64种,只有长度为234或223的三边能构成钝角三角形，由此计算可得答案.

【详解】

解：由题可知：三次投掷互不关联，所以一共有4x4x4=43=64种情况：

能构成链角三角形的三边长度只能是：234或者是223

所以由长度为234的三边构成钝角三角形一共有：耳=6种：

由223三边构成钝角三角形一共有：C；=3种：

能构成钝角三角形的概率为生=6+3=_9_.

436464

故选:C.

【点睛】

本题考查了古典概型的概率求法，分类计数原理,属于基础题.

12、A

【解析】

试题分析：由题意得，令〃x)=2、—/，则/("=2-*-，=5—2'=—(2'-《)=一〃可，所以函数

〃无)=2，—《为奇函数，故选A.

考点：函数奇偶性的判定.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3+2近

【解析】

先求得圆的圆心与半径，可知直线一定过圆心得”+匕=1.又

|OA|+|OB|=，+?,由均值不等式可求得最值.

ab

【详解】

由题意可得（%+1）2+（丁—2）2=4的圆心为（-1,2）,半径为2,而截得弦长为4,所以直线过圆心得。+匕=1,又

《一则砸目,

所以|OA|+|OB|=1+|=&+口(4+a2(1+0丁=3+20

当且仅当〃=也以时等号成立.

【点睛】

本题综合考查直线与圆，均值不等式求最值问题，本题的关键是由弦长为4,判断出直线过圆心.

14、0.3413

【解析】

根据随机变量符合正态分布和正态分布的曲线关于％=0对称，得到一对对称区间的概率之间的关系，即可求得结果

【详解】

随机变量X服从正态分布N（o,l）

二曲线关于直线x=0对称

P（X<1）=0.8413

p（-l<X<0）=P（X<1）-0.5=0.3413

故答案为0.3413

【点睛】

本题主要考查的知识点是正态分布，解题的关键是正态分布和正态分布的曲线关于尤=0对称，属于基础题。

15、y=2x

【解析】

求导数，令x=0,可得/（0）,求出/（0）,即可求出切线方程。

【详解】

2

广（幻

2x+1

r(o)=2.

又/(0)=0;

/（X）在x=0处的切线方程为y-0=2（x—0）,即y=2x；

故答案为：y=2x

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题。

1

16、—

15

【解析】

连接BC,C3',交于E,取AB中点F,连接EF,推出EF〃AC',/FEC或其补角为所求，在三角形FEC运用余弦定理

求解即可

【详解】

连接CB',交于E,则E为为中点，取AB中点F,连接EF,故EFAC',则/FEC或其补角为所求，又

EF=-AC'=-,FC=44+4=2yf2,CE=-，B'C=-,

2222

在三角形EFB中，COS/FEC=T

故答案为3

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，熟记异面直线所成角定义，熟练找角，准确计算是关键，是基础题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

“、⑴U⑵7>,泊)|

【解析】

(1)求出公比后可得｛4｝的通项公式.

(2)利用错位相减法可求

【详解】

(1)设等比数列｛q｝的公比为

,11组21

由出=y。3a4=2]87,得=9得anq--9

2187~2187

所以g3=，，解得4=J

n2

故数列｛《,｝的通项公式是aH=a2q-=f-l.

=邛+3x邛+(〃-噌+〃@

313J13J

力唔)+2x0+3x(J+...+(1)>+"J,②

【点睛】

数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等

比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有

规律的出现，则用并项求和法.

18、(1)当公0时，函数f(x)在(1,"。)上单调递增；当5.1时，函数/(x)在―)上单调递减；当。＜人＜1时,

函数/(X)在上单调递增，在+8)上单调递减；(2)证明见解析.

【解析】

(1)对/(力求导后讨论〃的范围来判断单调性；

(2)构造函数g(x)=/d=lnL—L+a,借助“得到&二五=m三，设，=三〉1,使得

(xjXXx,x2X,X|

A

2------Int/2—i

2t，设〃Q)=^---lnr(/＞l),根据该函数性质即可证明

vIv-G__S_________________/

Inr

【详解】

(1)由题意可知，f(x)=--b,XG(l,+oo),

X

(i)当生0时，/''(x)=L-b〉o恒成立，

X

所以函数在(1,y)上单调递增；

(ii)当。>0时，令/'(x)=,一8=0,Hx=-,

xb

①当0<』=1,即621时，尸(幻<0在(1,y)上恒成立，

b

所以函数fM在(1,4W)上单调递减；

②当L〉l,即0<6<1时，

b

在［1］］上，f'(x)>0,函数f(x)在(1,/)上单调递增；

在上，/。)<0,函数/(X)在［3，+=o］上单调递减.

综上所述，当”,0时，函数/(X)在(l,y)上单调递增；

当机.1时,函数/(X)在(L+C。)上单调递减;

当时，函数/(幻在［

0<bvl1,(上单调递增，在上单调递减.

(2)证明：令g(x)=.f

XX

由题意可得g(xJ=g(X2)=0，不妨设0<%<%2・

所以a='+lnX|=」-+lnx2,于是上~—=In.

X]x2玉/x]

X.Tt—1t—1

令f=y?>l,lnt=——，贝i]%=——，

司tx}tint

(e-\\

,,、f2-l2----Inr

x,+x1=x.(/+1)=------,2t

-tint%+”2=^--------------上

\nt

/—1

令h(t)=-----Int(t>1),

则“（r）=gj>o,力«）在（L”）上单调递增,

因为，>1,所以的）>力。）=0,且lnf>0,

所以一2>0,即玉>2—/.

【点睛】

本题考察（1）用分类讨论的方法判断函数单调性；（2）多变量不等式要先化为单变量不等式，利用综合法证明猜想

19、（1）-4-3;；（2）2

【解析】

（1）先求出为|3+倒=5，即可求出z,再根据共轨复数的定义即可求出N；（2）根据复数的运算法则计算即可得出

结论.

【详解】

⑴因为|3+4i|=5,

所以z=l+3i-5=-4+3i,所以z'=-4-3i.

'J；--4+3>f-4+3D-i*

【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共转复数

这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后

的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

22

20、（1）工+二=1；（II）答案见解析.

1612

【解析】

分析：（I）根据条件依次求得C和6,从而可得方程；

（H）当NAPQ=NBPQ,则PA、PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为-k,PA的直线方程为

y-3=k（x-2）,PB的直线方程为y-9=-k（x-2）,由此利用韦达定理结合已知条件能求出AB的斜率为定值J.

详解：（I）由题意可得，a=4,c=2由。2=〃+。2,得〃=42一2?=12

22

所以椭圆。的方程为土+匕=1.

1612

（D）当NAPQ=N8PQ时，AP,BP的斜率之和为。，设直线24的斜率为攵，则直线的斜率为—设

A（3,yJB（x2,y2）,PA的方程为>-3=攵（％-2）.

_y-3=Z:（x-2）

联立/y2消），得

—+—=1

1612

（3+4左2）》2+8（3左_女2）》+4（4々2+9—12女）-48=0.

所以2+3=噜U

同…金

16抬-12一48表

所以玉+W=x}-x2-

3+4后23+4/

%（大+%2）-4Z1

所以勉

x,-x22

所以A3的斜率为定值上

2

点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常利用

a*,c,e的关系，确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础，通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组，应用一

元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变

形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

21、(1)：,在o+8]上单调递增(2)见解析

【解析】

(I)求出函数的导数，根据导函数的单调性判断即可；

(II)求出函数的导数，结合函数的零点以及函数的最值确定M的范围即可.

【详解】

(I.，设，

)g'(x)=1nx+1+-h(r)=lux+l+yhf(x)=平

所以：在I上单调递减，在...上单调递增

=即所以仪幻在(p.4co)上单调递增

(n)f(x)="7+tax+r设F[x)="7*lnx+r

G1/=e-1二”所以G，,,严〔0-，上单调递增