江苏省宿迁市沭阳如东中学高三上学期阶段测试数学试卷（一）

2021届沭阳如东中学高三年级阶段测试（一）（数学）第I卷一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6，7}，集合M＝{x|x∈B且x∉A}，则M＝（）A．{1，2} B．{3，4} C．{5，6，7} D．{3，4，5，6，7}2．函数y＝ln（x2﹣1）的图象大致是（）A． B． C． D．3．在平面直角坐标系xOy中，点，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，则点Q的坐标是（）A． B． C． D．4．已知函数，若f（f（﹣1））＝18，那么实数的值是（）A．0 B．1 C．2 5．已知点（m，8）在幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c6．正三角形ABC中，D是线段BC上的点，AB＝6，BD＝2，则•＝（）A．12 B．18 C．24 7．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足，当x∈[1，2]时，，若方程在（0，+∞）上恰好有两个实数根，则正实数a的值为（）A． B． C． D．28．设的内角所对的边分别为，且，，则的最大值为（）A． B． C． D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知不等式对任意的x∈R恒成立，则满足条件的整数a的可能值为（）A． B． C． D．10．已知函数，则下列说法中正确的是（）A．函数f（x）的图象关于点（ B．函数f（x）图象的一条对称轴是C．若，则函数f（x）的最小值为D．若0＜x1＜x2＜π，则f（x1）＜f（x2）11．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的的是（）A．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个 B．f（x）＝x3可以是某个圆的“优美函数” C．正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“优美函数” D．函数y＝f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形12．已知函数f（x）的定义域为，图像关于轴对称，导函数为，且当时，，设，则下列大小关系正确的是（）A．B．C．D．第II卷三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为O，其始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则＝．14．已知命题p：“∃m∈R，关于的方程4x+2x•m+1＝0有实数解”．若命题p为真命题，则实数m的取值范围是．15．已知函数，则＝；关于x的不等式＞4的解集为．16．已知函数，若存在x0，使得，则实数a的值为．四．解答题（共6小题）17．在①b2+ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB＝2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，A＝，b＝．（1）求角B；（2）求△ABC的面积．18．已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）求在上的最小值及取最小值时的的集合．19．某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x（x≥10）万元之间满足：，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．（1）求f（x）的解析式；（2）求该景点改造升级后旅游利润的最大值.（精确到0.1，参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6）20．设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上任意两点，点M（x0，y0）满足＝（+）．（1）若x0＝，求证：y0为定值；（2）若x2＝2x1，且y0＞1，求x1的取值范围，并比较y1与y2的大小．21．已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为，离心率为，P是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值．22．已知函数，．（1）设函数与有相同的极值点．（i）求实数的值；（ii）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围（2）时，设函数，试判断在上零点的个数．2021届沭阳如东中学高三年级阶段测试（一）参考答案题号12345678答案CADCCDCA单选题：二，多选题：（错选，不选得0分，漏选得3分）题号9101112答案ABBCABCAD填空题：（15题第一空2分，第二空3分）13、；14、；15、，；16、四、解答题：（第17题10分，第1822题每题12分，合计70分）备注：参考求解过程网络，若有错误请勘误，其它解法酌情判分。17．【解答】解：（1）若选①b2+ac＝a2+c2，由余弦定理可得，cosB＝＝，故B＝，若选②acosB＝bsinA，由正弦定理可得，sinAcosB＝bsinBinA，因为sinA≠0，所以sinB＝cosB，即tanB＝，因为B为三角形的内角，故B＝，③由sinB+cosB＝2可得2sin（B+）＝2，所以sin（B+）＝1，因为B为三角形的内角，故B＝；（2）由正弦定理可得，，所以a＝＝，所以S△ABC＝＝＝．18．【解答】解：f（x）＝cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x＝cos2x﹣sin2x﹣sin2x＝cos2x﹣sin2x＝，（1）令，解可得，，k∈Z，故函数的单调递增区间[]，k∈Z，（2）∵，∴，∴当＝π即x＝时，函数取得最小值﹣．故f（x）在上的最小值及取最小值时的x的集合{}19．【解答】解：（1）∵旅游增加值y万元与投入x（x≥10）万元之间满足：y＝f（x）＝ax2+x﹣blnx+bln10，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元，∴，解得a＝﹣，b＝1，∴f（x）＝﹣+﹣ln（x≥10）．（2）由题意知：T（x）＝f（x）﹣x＝﹣+﹣ln，（x≥10），∴T′（x）＝＝﹣，令T′（x）＝0，则x＝1（舍），或x＝50，当x∈（10，50）时，T′（x）＞0，T（x）在（10，50）上是增函数，当x∈（50，+∞））时，T′（x）＜0，T（x）在（50，+∞）上是减函数，∴x＝50为T（x）的极大值点，又T（50）＝﹣+51﹣ln5＝24.4，∴该景点改造升级后旅游利润T（x）＝f（x）﹣x的最大值为24.4万元．20．【解答】解：（1）证明：由可知，，即x1+x2＝1，故为定值，即得证；（2）由x2＝2x1，y0＞1，可得，则，即，解得，此时由，可得，故，即y1＜y2．21．【解答】解：（1）设椭圆的方程为+＝1，由题意可得b＝，＝，即a＝c，∵a2﹣c2＝2∴c＝，a＝2∴椭圆方程为+＝1∴焦点坐标为（0，），（0，﹣），设p（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）则＝（﹣x0，﹣y0），＝（﹣x0，﹣﹣y0），∴•＝x02﹣（2﹣y02）＝1∵点P在曲线上，则+＝1∴x02＝，从而﹣（2﹣y02）＝1，得y0＝，则点P的坐标为（1，）（2）由（1）知PF1∥x轴，直线PA，PB斜率互为相反数，设PB的斜率为k（k＞0），则PB的直线方程为y﹣＝k（x﹣1），由得（2+k2）x2+2k（﹣k）x+（﹣k2）﹣4＝0设B（xB，yB），则xB＝﹣1＝，同理可得，则，yA﹣yB＝﹣k（xA﹣1）﹣k（xB﹣1）＝所以AB的斜率kAB＝＝为定值．22．【解答】解：（1）（i），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数单调递增，x∈（1，+∞），f′（x）＜0，函数单调递减，故x＝1时，函数取得唯一的极大值，故x＝1也是g（x）的极值点，，由g′（1）＝1﹣a＝0可得a＝1，经检验x＝1是g（x）的极小值点，故a＝1，（ii）由（i）知a＝1，由于f（）＝﹣2﹣，f（1）＝﹣1，f（3）＝2ln3﹣9，显然f（3）＜f（）＜f（1），故x时，f（x）min＝2ln3﹣9，又g（）＝e+，g（1）＝2，g（3）＝，故g（1）＜g（）＜g（3），所以当x时，g（x）min＝2，g（x）max＝，①当k＞1时，问题等价于f（x1）﹣g（x2）≤k﹣1，所以k≥f（x1）﹣g（x2）+1恒成立，即k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1，∵f（x1）﹣g（x2）+1≤﹣1﹣2+1＝﹣2，∴k≥﹣2，故k＞1适合题意，②当k﹣1＜0即k＜1时，问题等价于f（x1）﹣g（x2）≥k﹣1即k≤f（x1）﹣g（x2）+1恒成立，即k≤[f（x1）﹣g（