6.4生活中的圆周运动（讲义）

6.4生活中的圆周运动TOC\o"13"\h\u知识点1：火车转弯 201火车和飞机倾斜转弯模型 4知识点2：汽车转弯 602汽车和自行车在水平面的转弯模型 7知识点3：拱形桥和凹形路面 803拱桥和凹桥模型 9知识点4：竖直平面内绳（或杆）约束的圆周运动 1104绳球模型及其临界问题 13知识点5：航天器中的失重现象 1505杆球模型及其临界问题 16知识点6：离心运动 1806航天器的失重现象 1907物体做离心或向心运动的条件 2108离心运动的防止和应用 23【基础练·强化巩固】 24【拓展练·培优拔高】 32课堂目标关键词会分析生活中的各种圆周运动现象，体会模型构建的方法，会用牛顿第二定律解决生活中的圆周运动问题。知道航天器中的失重现象。知道离心运动及其产生条件，了解离心心运动的防止和应用。①火车转弯②拱形桥凹形路面③失重现象④离心运动知识点1：火车转弯【问题情景】下图为火车转弯的情景，从图中能看出火车转弯时有何特点吗?(穿道半径较大，火车倾料)火车车轮的结构特点火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上沿直线运行时，凸出轮缘的一边在两轨道的内侧，如图所示。这种结构特点，有助于火车在轨道上稳定运动(不脱轨)。火车转弯时向心力的来源两轨道等高：火车在弯道上运动时，做圆周运动需要向心力。如图所示，如果内外轨道一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯时的向心力。但火车质量太大，靠这种办法获得向心力，将会使轮缘与外轨间的相互作用力太大，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。两轨道不等高：实际情况是在转弯处外轨略高于内轨，并根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当调整内、外轨的高度差，使转弯时所需向心力完全由重力mg和支持力F的合力提供，如图下所示。火车转弯时的速度如上图所示，若车轨间距为L，两轨高度差为h，转弯半径为r，火车的质量为m，由三角形边角关系知，，对火车受力分析可得上，因为0角很小，可以取，故，所以向心力。又因为，所以车速拓展：火车以不同的速度行驶时，轮缘侧向受力情况讨论：假设火车转弯处规定速度为，火车以不同的速度行驶时，轮缘所受侧向压力情况如下：①当火车行驶速率时，火车相对于轨道有向外运动的趋势，轮缘对外轨有挤压，则外轨对轮缘有向内的侧压力。②当火车行驶速率时，火车相对于轨道有向内运动的趋势，轮缘对内轨有挤压，则内轨对轮缘有向外的侧压力。③当火车行驶速率时，内、外轨对轮缘均无侧压力。01火车和飞机倾斜转弯模型【典例1】火车转弯时，如果铁路弯道的内、外轨一样高，则外轨对轮缘（如左图所示）挤压的弹力F提供了火车转弯的向心力（如图中所示），但是靠这种办法得到向心力，铁轨和车轮极易受损。在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨（如右图所示），当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，以下说法中正确的是（）A．该弯道的半径B．当火车质量改变时，规定的行驶速度也将改变C．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压D．按规定速度行驶时，支持力小于重力【答案】C【详解】A．令弯道处的坡度倾角为θ，当火车以规定的行驶速度转弯时，由垂直于坡面的支持力与重力的合力提供向心力，如图所示则有：解得：，故A错误；B．根据上述，解得：可知，规定速度与火车质量无关，即当火车质量改变时，规定的行驶速度不会改变，故B错误；C．当火车速率大于v时，垂直于坡面的支持力与重力的合力已经不足以提供向心力，此时，外轨将受到轮缘的挤压，故C正确；D．根据上述，解得：，可知，按规定速度行驶时，支持力大于重力，故D错误。故选C。【变式11】如图所示，质量为m的飞机以角速度在空中水平盘旋，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为。则空气对飞机的作用力大小为（）A． B．mgC． D．【答案】D【详解】飞机做圆周运动的向心力为：因空气对飞机的作用力和重力的合力提供做圆周运动的向心力可知，空气对飞机的作用力：故选D。【变式12】（多选）如图所示，当列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道时，乘客发现在车厢顶部悬挂玩具小熊的细线与车厢侧壁平行。同时观察放在桌面上水杯内的水面，桌面与车厢底板平行。已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为，则下列判断正确的是（）A．列车转弯时的向心加速度大小为B．列车的轮缘与轨道均无侧向挤压作用C．水杯受到指向桌面外侧的静摩擦力D．水杯内水面与水平面平行【答案】AB【详解】AB．设玩具小熊的质量为，则玩具受到的重力、细线的拉力的合力提供玩具小熊随车做水平面内圆周运动的向心力，如图所示则有：可知，列车在转弯时的向心加速度大小为：则列车的向心加速度由列车的重力与轨道的支持力的合力提供，故列车的轮缘与轨道均无侧向挤压作用，故AB正确；C．同理可知，水杯的向心加速度为：由水杯的重力与桌面的支持力的合力提供，水杯与桌面间的静摩擦力为零，故C错误；D．在杯内水面取一微小质量元，此微元受到的重力与支持力的合力产生的加速度大小为可知，水杯内水面与水平方向的倾斜角等于，即水杯内水面与桌面平行，故D错误。故选AB。知识点2：汽车转弯水平路面上行驶如图所示，汽车在水平路面上转弯时，摩擦力提供向心力(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，即，当摩擦力达到最大值时，汽车转弯的速度达到临界值，因，则临界速度倾斜路面上行驶倾斜路面：高速公路、赛车赛道的转弯处设计得外高内低，目的是减小由于转弯产生的摩擦力对车轮的损坏，使汽车的重力与支持力的合力提供车辆转弯时所需的向心力，如下图所示。特别提示：曲线运动的条件特别提示：曲线运动的条件①路面倾斜，但汽车做圆周运动的轨道面是水平的。②向心力在水平面内，但摩擦力的方向与路面平行。③汽车在倾角为θ的路面上做半径为r的圆周运动时，若速度，路面与汽车间恰无摩擦力；当时，静摩擦力沿路面斜向下；当时，静摩擦力沿路面斜向上。02汽车和自行车在水平面的转弯模型【典例2】如图所示，高速公路转弯处弯道半径，汽车的质量，重力加速度g取10m/s2。（1）当汽车以的速率行驶时，其所需的向心力为多大？（2）若路面是水平的，已知汽车轮胎与路面间的动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所允许的最大速率vm为多少？【答案】（1）1500N；（2）20m/s【详解】（1）由题意得：，故汽车所需向心力为1500N。（2）当以最大速率转弯时，最大静摩擦力提供向心力，此时有：由此解得最大速率为：vm＝20m/s故汽车转弯时不发生径向滑动所允许的最大速率为20m/s，当超过最大速率时，外力提供向心力不足，汽车将做离心运动，有翻车的危险。【变式21】骑行是一项深受人们热爱的运动，如图是场地自行车比赛的圆形赛道．路面与水平面的夹角为，圆周的半径为，某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，已知，，则下列说法正确的是（

）A．该运动员在骑行过程中，所受合外力为零B．该运动员在骑行过程中，所受合外力沿路面向下C．若该运动员以的速度骑行，则其不受路面给的侧向摩擦力D．若该运动员以的速度骑行，则其不受路面给的侧向摩擦力【答案】C【详解】AB.该运动员在骑行过程中在该赛道上做匀速圆周运动，所受的合外力提供向心力，指向圆心，故AB错误；CD.当其不受路面给的侧向摩擦力，重力和路面的支持力提供向心力，有：得：，故C正确，D错误。故选C。知识点3：拱形桥和凹形路面汽车在经过拱形桥面、平直形桥面和凹形桥面时，请问：为什么在经过拱形或凹形桥面时都不宜高速行驶呢?汽车过拱形桥面如图所示，汽车通过拱形桥最高点时，重力mg和支持力的合力提供向心力，由，得支持力，根据牛顿第三定律知，汽车对桥面的压力。由上式可知，汽车的速度v越大，汽车对桥面的压力越小。当汽车的速率等于时，汽车对桥面的压力为0，汽车在桥顶运行的速度小于；若，汽车将从桥顶飞出做平抛运动。汽车过凹形路面如图所示，汽车通过凹形路面最低点时，重力mg和支持力F的合力提供向心力，由牛顿第二定律得，解得。根据牛顿第三定律，汽车对路面的压力，可知，汽车的速度v越大，汽车对路面的压力越大，这也是汽车通过凹形路面时容易爆胎的原因。03拱桥和凹桥模型【典例3】竖直平面内光滑圆轨道外侧，一小球以某一水平速度v0从A点出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，不计空气阻力。下列说法中正确的是（）A．在A点时，小球对圆轨道压力等于其重力 B．水平速度C．经过B点时，小球的加速度方向指向圆心 D．A到B过程，小球水平加速度先增加后减小【答案】D【详解】AB．小球在A点时，根据牛顿第二定律得，可得，可得，可知小球受到的支持力小于其重力，即小球对圆轨道压力小于其重力，故AB错误；C．由题意可知小球在B点刚离开轨道，则此时小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，加速度方向竖直向下，故C错误；D．小球在A点时合力沿竖直方向，则此时水平方向的加速度为0；在B点时合力也沿竖直方向，则此时水平方向的加速度也为0；但在中间过程某点支持力却有水平向右的分力，则小球具有水平向右的加速度；所以A到B过程，小球水平加速度先增加后减小，故D正确。故选D。【变式31】如图所示，当汽车通过拱形桥顶点的速度为10m/s时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，对桥面的压力为零，则汽车通过桥顶的速度应为（）A．15m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s【答案】B【详解】当汽车以10m/s通过拱形桥顶点时，mg=m对桥面的压力为零时，mg=m，解得，v2=20m/s故选B。【变式32】如图所示，一汽车过半径均为50m的圆弧形凹桥和凸桥，在凹桥的最低处和凸桥的最高处的速度大小均为10m/s，取重力加速度大小g=10m/s2，则在凸桥的最高处和凹桥的最低处汽车对桥面的压力大小之比为（）A．3:2 B．2:3 C．2:1 D．3:1【答案】B【详解】在最高点，根据牛顿第二定律，在最低点，根据牛顿第二定律，解得，故选B。知识点4：竖直平面内绳（或杆）约束的圆周运动1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等），称为“绳（环）约束模型”；二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管）约束模型”。2.绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球受力特征绳或圆轨道只能踢动指向圆心的力杆或管道既能提供指向圆心的力，也能提供背离圆心的力受力示意图过最高点的临界条件由得，由小球恰能做圆周运动时，得：讨论分析①若，则：，绳、轨道对小球有弹力；②若，则②若，则小球不能过最高点①当v=0时，，FN为支持力，沿半径背离圆心②当时，，背离圆心，随v的增大而减小③当时，FN=0④当时，，FN指向圆心，并随v的增大而增大特别提示特别提示(1)轻绳模型和轻杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是轻绳不能提供支持力，而轻杆可以提供支持力。(2)对轻杆模型，在无法确定位于最高点时对物体提供的是支持力还是拉力的情况下，可用假设法列方程，然后根据结果的正负再确定力的方向。3.非特殊情况下的圆周运动图示运动情况小球先沿圆轨道滑下小球自高处滑下后进入圆轨道轨道特点沿圆轨道外侧运动沿圆轨道内侧运动运动分析某点时，若mgsinθ恰好提供向心力：小球在此点离开圆弧做斜下抛运动在某位置时，若重力在指向圆心方向的分力恰好提供向心力，轨道对小球的弹力为0，此后，小球将向斜上方抛出竖直面内圆周运动问题的解题思路04绳球模型及其临界问题【典例4】运动员趴在雪橇上从山坡沿截面为圆弧型的冰道快速滑降至水平面上的大圆轨道上。雪橇和运动员（可视为质点）的总质量为m，以速度v在大圆轨道上做匀速圆周运动。圆弧型冰道截面半径为R，雪橇离圆弧型冰道最低点的竖直高度为h=0.4R。忽略摩擦和空气阻力，重力加速度为g。其中R未知，求：（1）圆弧型冰道对雪橇的支持力；（2）雪橇的向心加速度；（3）大圆轨道的半径r。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）雪车和圆弧圆心O连线与竖直方向的夹角为α，圆弧型冰道对雪橇的支持力，（2）由牛顿第二定律，得，（2）由向心加速度公式，，得，【典例41】如图甲所示，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针方向的匀速圆周运动，可简化为图乙所示的模型。可视为质点的衣物经过的最高位置和最低位置分别为A、B，已知此时滚筒转动的周期为T，滚筒半径为R，衣物的质量为m，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（）A．衣物的线速度大小为B．衣物的向心加速度大小为C．衣物在位置A受到的合力大小为D．衣物在位置B时处于失重状态【答案】B【详解】A．衣物的角速度大小为，A错误；B．衣物的向心加速度大小为，B正确；C．衣物在位置A受到的合力提供向心力，大小为，C错误；D．衣物在位置B时加速度向上，所以处于超重状态，D错误；故选B。【典例42】飞飞老师心灵手巧，用生活中常见的细绳和塑料容器制作“水流星”模型。如图所示，球形容器中盛有质量为m的清水，然后使其在竖直平面内做半径为L的圆周运动（不考虑细绳和容器质量，重力加速度为g）。则下列说法正确的是（

）A．“水流星”通过最高点时，绳子张力不可以为零B．“水流星”通过最高点时，清水恰好不流出来的速度是0C．假如“水流星”可在竖直面内做匀速圆周运动，则“水流星”通过最低点和最高点，细绳的张力差为D．假如“水流星”可在竖直面内做匀速圆周运动，则“水流星”通过最低点和最高点，细绳的张力差为【答案】D【详解】AB．“水流星”通过最高点，当绳的张力恰好为零时，对水和容器整体，根据牛顿第二定律解得，所以“水流星”通过最高点时，绳子张可以为零；清水恰好不流出来的速度是，故AB错误；CD．假如“水流星”可在竖直面内以速度做匀速圆周运动，在最低点，根据牛顿第二定律得，解得在最高点，根据牛顿第二定律得，解得，，则，，故C错误，D正确。故选D。知识点5：航天器中的失重现象航天器的运动特点航天器由航天运载器发射送人宇宙空间，长期处在高真空、失重的环境中绕地球做椭圆或圆运动，如果没有特别说明，我们认为航天器的运动轨迹都是圆。大部分航天器不载人，载人航天器的轨道半径往往比较小。对失重现象的认识航天器及航天器内的物体所受地球的作用力F完全提供向心力，都处于完全失重状态，，物体间自由状态下不会相互挤压，没有弹力。特别提示特别提示①航天器中的物体处于完全失重状态，并不是说物体不受重力(引力)，只是重力全部用来提供物体做圆周运动所需的向心力，使得物体所受支持力为0，相互间的作用力为0。②完全失重状态下，一切涉及重力的现象均不再发生，如天平、重垂线、体重计等无法使用。05杆球模型及其临界问题【典例5】（多选）如图所示，轻杆长为，在杆的A、B两端分别固定质量均为的球A和球B，杆上距球A为处的点装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动，在转动的过程中，忽略空气的阻力。某时刻若球B运动到最高点，且球B对杆恰好无作用力，重力加速度为，则下列说法正确的是（）A．此时球B在最高点时的速度为B．此时球B在最高点时的速度为C．此时杆对水平轴的作用力为D．此时杆对水平轴的作用力为【答案】BD【详解】AB．当球B运动至最高点时恰好对杆无作用力，则可知此时恰好由重力充当向心力，由牛顿第二定律有解得，故A错误，B正确；CD．由于球A与球B为同轴转动，根据可知，此时A、B两球的线速度之比即为半径之比，由此可知此时A球的线速度为设此时杆对A球的作用力为，则对A球由牛顿第二定律有，解得由于此时B球对杆恰好无作用力，则仅有A球对杆有作用力，因此此时球对杆的作用力大小为，则此时杆对水平轴的作用力为，故C错误，D正确。故选BD。【典例51】如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，质量为M，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，质量为m，小球在管道内做圆周运动，已知M>m，下列说法正确的是（

）A．小球通过管道最低点时，管道对地面的压力为(m＋M)gB．小球通过管道最高点时，管道对地面的压力可能大于(m＋M)gC．小球通过管道最高点时，管道对地面的压力不可能为零D．小球通过管道最高点时，管道对地面压力可能为Mg【答案】D【详解】A．小球通过管道最低点时，具有向上的向心加速度，系统超重，故系统对地面的压力一定大于，故A错误；B．小球通过管道最高点时，具有向下的向心加速度，系统失重，故系统对地面的压力一定小于等于，故B错误；C．小球在最高点时，对管道受力分析，若小球给管道的力向上等于Mg，则管道对地面无压力，故C错误；D．当小球在最高点时，运动的速度等于时，管道对小球无作用力，对管道受力分析可知，管道对地面的压力为Mg，故D正确。故选D。【典例52】如图所示，两个小球A、B固定在长为2L的轻杆上，球A质量为2m，球B质量为m。两球绕杆的端点O在竖直面内做匀速圆周运动，B球固定在杆的中点，A球在杆的另一端，不计小球的大小，当小球A在最高点时，OB杆对球B的作用力恰好为零，重力加速度为g。若两小球经过O点正下方时，B的速度大小为，重力加速度为g，轻杆AB段和OB段的拉力大小之比为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】A在最低点时，A与B角速度一样，则A的速度为2，对A，对B：解得，故选B。知识点6：离心运动如下图所示，洗衣后脱水筒绕中心轴转动，水滴会快速脱离衣物，你知道其物理原理吗?(外力不足，水滴离开原来的位置做离心运动)离心运动的概念做圆周运动的物体，在合力突然消失或合力不足以提供所需的向心力时，物体沿切线飞出或逐渐远离圆心的运动叫作离心运动。如运动员带动链球旋转做圆周运动，松手后，链球沿切线方向抛出的情形。离心运动的实质物体逐渐远离圆心的运动，本质是物体惯性的体现，从受力情况看是外力不足。特别提示特别提示①物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于外力不足以提供所需的向心力，“离心力”是不存在的。②离心运动是物体运动半径越来越大或沿切线方向飞出的运动，不是物体沿半径方向飞出。合力与向心力的关系物体在光滑的水平面上运动，物体在外力作用下的曲线运动讨论：若或，即“供”“需”平衡，物体做匀速圆周运动；若或，即“供”>“需”，物体做半径变小的向心运动；若或，即“供”<“需”，外力不足以拉到圆轨道上，而做离心运动；若，则物体沿切线方向做匀速直线运动。06航天器的失重现象【典例6】如图，在轨运行的空间站内宇航员将小球用不可伸长的细线系住，细线另一端系在固定支架上O点处，进行如下两次操作，第一次操作：拉开细线一个小角度后由静止释放小球；第二次操作：拉直细线给小球一个垂直于细线的速度，则A．第一次操作中，小球绕O点做往复运动B．第一次操作中，小球朝向O点做直线运动C．第二次操作中，小球绕O点做匀速圆周运动D．第二次操作中，小球相对O点做匀变速曲线运动【答案】C【详解】AB.在轨运行的空间站内所有物体都处于完全失重状态，故第一次操作中小球保持静止，AB错误；CD.在轨运行的空间站内所有物体都处于完全失重状态，故第二次操作中小球仅受绳的拉力而做圆周运动，C正确，D错误；故选C。【变式61】在绕地球的圆形轨道上飞行的航天飞机上，将质量为m的物体挂在一个弹簧秤上，若轨道处的重力加速度为g'，则下面说法中正确的是()A．物体所受的合外力为mg'，弹簧秤的读数为零 B．物体所受的合外力为零，弹簧秤的读数为mg'C．物体所受的合外力为零，弹簧秤的读数为零 D．物体所受的合外力为mg'，弹簧秤的读数为mg'【答案】A【分析】在绕地球的圆形轨道上飞行的航天飞机上，物体处于完全失重状态，根据牛顿第二定律分析弹簧秤的读数。【详解】在绕地球的圆形轨道上飞行的航天飞机上，物体所受的合外力等于重力mg′，根据牛顿第二定律，物体的加速度为g′，物体处于完全失重状态，弹簧秤的读数为零，A正确，BCD错误。【点睛】在轨道运动的航天飞机处于完全失重状态，在地面上由于重力产生的现象消失，弹簧称不能用来测量物体的重力。【变式62】“神舟十号”飞船绕地球的运行可视为匀速圆周运动，神舟十号航天员在“天宫一号”展示了失重环境下的物理实验或现象，下列四个实验可以在“天宫一号”舱内完成的有(

)A．用台秤称量重物的质量 B．用水杯喝水C．用沉淀法将水与沙子分离 D．给小球一个很少的初速度，小球即可以竖直平面内做圆周运动【答案】D【详解】A．重物处于完全失重状态，对台秤的压力为零，无法通过台秤测量物体的质量，故A错误；B．水杯中的水处于完全失重状态，水不会因重力而倒入嘴中，故B错误；C．沙子处于完全失重状态，不能通过沉淀法与水分离，故C错误；D．小球处于完全失重状态，给小球很小的初速度，小球在拉力作用下在竖直平面内做匀速圆周运动，故D正确。故选D。07物体做离心或向心运动的条件【典例7】（多选）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（）A．此时绳子张力为3μmgB．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内C．此时圆盘的角速度为D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动【答案】AC【详解】ABC．两物体A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2rB的半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细绳拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，有相对圆盘沿半径指向圆内的运动趋势，根据牛顿第二定律得，FT－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r解得FT＝3μmg，ω＝故A、C正确，B错误；D．烧断细绳瞬间A物体所需的向心力为2μmg，此时烧断细绳，A的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A做离心运动，故D错误。故选AC。【变式71】（多选）如图所示，两个可视为质点的相同物体a和b放在水平圆转盘上，且物体a、b与转盘中心在同一条水平直线上，物体a、b用细线连接，它们与转盘间的动摩擦因数相同。当圆盘转动到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两物体的运动情况是（）A．物体b仍随圆盘一起做匀速圆周运动 B．物体a发生滑动，离圆盘圆心越来越远C．两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动 D．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远【答案】AB【详解】设两个物体刚好还未发生滑动时细线的弹力为F，则对b物体列牛顿第二定律可得，对a物体列牛顿第二定律方程可得，当烧断细线瞬间，拉力下瞬间变为零，而物体的速度不会突变，故物体b所受的静摩擦力立即由最大静摩擦力减小且为b物体提供向心力，而a所受静摩擦力小于其所受的向心力，故b仍随圆盘做匀速圆周运动，a做离心运动；故选AB。【变式72】如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F的作用下做匀速圆周运动，若小球到达B点时F突然发生变化，下列关于小球的运动的说法不正确的是（）A．F突然消失，小球将沿轨迹Ba做离心运动 B．F突然变小，小球将沿轨迹Ba做离心运动C．F突然变大，小球将沿轨迹Bc做向心运动 D．F突然变小，小球将沿轨迹Bb做离心运动【答案】B【详解】A．F突然消失，物体受力合为零，将沿切线方向做匀速直线运动，沿轨迹Ba做离心运动，故A正确；BD．F突然变小，小球将沿轨迹Bb做离心运动，故B错误，D正确；C．F突然变大，小球将沿轨迹Bc做向心运动，故C正确。本题选不正确的，故选B。08离心运动的防止和应用【典例8】下雨天有几个同学在操场上旋转雨伞观察从雨伞边缘甩出的小水滴的运动。撑开的雨伞绕着竖直方向的伞轴旋转，俯视图如图所示，有一小水滴从伞边缘O点处飞出，对于小水滴飞出的方向及离开雨伞边缘后的运动，下列说法正确的是（）A．沿OA方向飞出，落地前做曲线运动 B．沿OB方向飞出，落地前做曲线运动C．沿OB方向飞出，落地前做直线运动 D．沿OC方向飞出，落地前做直线运动【答案】B【详解】雨滴在最高处离开伞边缘，沿切线方向飞出，由于受重力的作用，雨滴的轨迹向下偏转，为曲线运动。故选B。【变式81】洗衣机脱水工作时，其中有一段时间滚筒内的衣物随滚筒在竖直面内做匀速圆周运动，脱水工作的一张相关照片如图所示，在匀速圆周运动的过程中，下列说法正确的是（

）A．衣物加速度始终不变 B．衣物速度与加速度的夹角随时间而变化C．脱水效果最好的位置在圆周运动的最低点 D．衣物在向下运动中始终处于失重状态【答案】C【详解】A．匀速圆周运动加速度大小不变，方向变化，是变速运动，选项A错误；B．速度方向始终与加速度方向垂直，选项B错误；C．在圆周运动在最低点时所需弹力最大，故脱水效果最好，选项C正确；D．从最高点向下运动过程中加速度的竖直分量先向下后向上，则先失重，后超重，选项D错误。故选C。【变式82】如图所示是杭州第19届亚运会链球比赛的场景。运动员双手握住柄环，经过预摆和圈连续加速旋转后用力将链球掷出，把链球整个运动过程简化为加速圆周运动和斜抛运动，忽略空气阻力。下列说法正确的是（

）A．链球圆周运动过程中受到的拉力不指向圆心B．链球运动中，掷出瞬间的速度一定最大C．链球掷出后运动过程中加速度的方向不断变化D．链球掷出瞬间的速度越大，运动的水平距离越远【答案】A【详解】A．链球做加速圆周运动，链球的速度越来越大，则拉力沿切线方向有分力，则拉力的方向并不是指向圆心，故A正确；B．链球运动中，落地瞬间的速度最大，故B错误；C．链球掷出后运动过程中，只受重力作用，加速度为重力加速度，方向不变，故C错误；D．运动的水平距离与速度的大小和方向都有关，故D错误；故选A。【基础练·强化巩固】一、单选题1．如图所示，光滑水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是（）A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pb做离心运动 B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做近心运动 D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动【答案】D【详解】A．若拉力突然消失，小球做离心运动，因为水平方向不受力，将沿轨迹Pa运动，故A错误；BD．若拉力变小，拉力不足以提供所需向心力，小球将做半径变大的离心运动，即沿Pb运动，故B错误，D正确；C．若拉力变大，则拉力大于所需向心力，小球将沿轨迹Pc做近心运动，故C错误。故选D。2．如图所示，一同学表演荡秋千，已知秋千的两根绳长均为，该同学质量为，绳和踏板的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，踏板速度大小为，此时每根绳子平均承受的拉力最接近（）A．100N B．200N C．330N D．350N【答案】D【详解】表演荡秋千的同学做圆周运动，对该同学进行受力分析，在最低点处，代入数据，解得每根绳子平均承受的拉力，故选D。3．链球运动员用链子拉着铁球旋转做匀速圆周运动，在此过程中，运动员的手和链球的运动轨迹都可以近似为圆，不计空气阻力。关于手和球的位置关系，下面四幅图中正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】用链子拉着铁球旋转做匀速圆周运动，链子拉力提供向心力，应指向轨迹圆心，则手、球、轨迹圆心应在同一直线上。故选B。4．如图是某游乐场的惯性列车（翻滚过山车）的轨道图，它由倾斜轨道和半径为R的圆轨道组成。一节车厢（连同人质量为m，可视为质点）在圆轨道内侧做圆周运动，设这节车厢恰好能以最小安全速度通过圆轨道的最高点，则该车厢通过最高点时的最小速度和对圆轨道的压力分别为（不计运动中的一切阻力）（

）A．0，0 B．0，mg C．，0 D．，0【答案】D【详解】这节车厢恰好能以最小安全速度通过圆轨道的最高点，此时轨道对车厢支持力为0，根据牛顿第三定律，车厢对圆轨道的压力为0。车厢做圆周运动的向心力由重力提供，即，解得故选D。5．摩托车沿水平的圆弧弯道以不变的速率转弯，则它（）A．受到重力、弹力、摩擦力和向心力的作用 B．所受的地面作用力恰好与重力平衡C．所受的合力可能不变 D．所受的合力始终变化【答案】D【详解】A．摩托车沿圆弧弯道以不变的速率行驶时，受到重力、弹力和摩擦力的作用，向心力是合力的效果，不是实际受力，故A错误；B．地面的作用力是摩擦力和支持力的合力，方向不沿竖直方向，故与重力不平衡，故B错误；CD．摩托车做匀速圆周运动，合力方向始终指向圆心，所以所受合力始终变化，故C错误，D正确。故选D。6．如图所示，A、B、C三个物体放在旋转台上，动摩擦因数均为，A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴的距离为R，C离轴的距离为2R，则当圆台旋转时（设A、B、C都没有滑动）（）A．C的向心力最大 B．B的向心加速度最小C．当圆台转速增大时，A比B先滑动 D．当圆台转速增大时，C将最先滑动【答案】D【详解】AB．根据向心加速度公式，可知A、B、C都没有滑动，角速度相等，A、B离轴的距离为R，C离轴的距离为2R，所以A、B的向心加速度大小相同根据向心力公式，可得，，，可知A、C的向心力大小相同，故AB错误；CD．当A、B、C的摩擦力均达到最大时，各自的临界角速度分别为，解得＞可知当圆台转速增大时，C将最先滑动，A与B后滑动且一起滑动，故C错误，D正确。故选D。二、填空题7．游乐转椅是一个半径约为3m的直圆桶，如图所示，乘客背靠圆筒壁站立在踏板上，当圆筒转速达到至少每分钟30转时，乘客脚下的踏板突然脱落，但人随筒一起转动而不掉下来。乘客随圆筒一起转动的速度为m/s，要保证乘客的安全，乘客与圆筒壁之间的动摩擦因数至少为。（）【答案】9.420.34【详解】[1]乘客随圆筒一起转动的角速度为则乘客随圆筒一起转动的速度大小为[2]水平方向根据牛顿第二定律可得，竖直方向根据受力平衡可得，又联立可得，可知要保证乘客的安全，乘客与圆筒壁之间的动摩擦因数至少为。8．如图所示，小球质量为m，在竖直放置的半径为r光滑圆形轨道内做圆周运动，当地重力加速度为g，则小球通过最高点的最小速度是，小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管道壁对小球（填“一定有”或“可能有”或“一定没有”）弹力的作用。【答案】0一定有【详解】[1]因为内壁有支撑，所以小球通过最高点的最小速度是0；[2]小球在水平线ab以下管道中运动时，小球做圆周运动，外侧管道壁对小球一定有弹力。9．如图所示为天车示意图。设钢丝绳长为3m，用它吊着质量为2.7吨的铸件，天车以2m/s的速度匀速行驶，当天车突然刹车时，钢丝绳所受的拉力为N。【答案】【详解】根据，可得10．如图，一辆质量为1600kg的汽车驶过凹凸形路面。汽车驶过顶端P和底部Q两点时对路面的压力大小分别为NP、NQ，则NPNQ（选填“大于”“小于”或“等于”）。若已知汽车驶过P点时速度大小为10m/s，P点处圆弧半径为40m，重力加速度大小g=10m/s2，则NP=N。【答案】小于1.2×104【详解】[1]汽车驶过顶端P点有解得车驶过底部Q点有解得可知，NP小于NQ；[2]若已知汽车驶过P点时速度大小为10m/s，P点处圆弧半径为40m，根据上述解得11．如图所示，已知质量为m的小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动。重力加速度为g，不考虑一切摩擦。小球做圆周运动过程中，若小球和O点间用细线相连，则在最高点细线对小球的拉力为；若小球和O点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的支持力大小为。【答案】0mg【详解】[1]依题意，若小球和O点间用细线相连，小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动。则有又联立，解得[2]若小球和O点间用轻杆相连，小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动。则有解得12．一辆质量为1000kg的汽车，为测试其性能，在水平地面上沿半径r=50m的圆，以10m/s的速度做匀速圆周运动，汽车没有发生侧滑，对汽车提供向心力，此力大小为N。【答案】侧向摩擦力2000【详解】[1][2]汽车做匀速圆周运动时，侧向摩擦力对汽车提供向心力；大小为13．阅读教材，并回答：观察教材图6.4­1，图6.4­2，图6.4­3分析（1）如果内、外轨是等高的，那么火车转弯时是如何获得向心力的？（2）火车转弯时的转弯半径为R，弯道的倾斜角度为α，火车转弯时的速度v0为多大时，才不至于对内、外轨道产生挤压？（3）讨论：①若火车速度小于v0，是内轨还是外轨对火车轮缘有侧向弹力？②若火车速度大于v0，是内轨还是外轨对火车轮缘有侧向弹力？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）如果内外轨道是等高的，则由外轨对轮缘的弹力提供火车转弯时的向心力；（2）当内外轨都不受力时，火车受到的重力和斜面的支持力的合力提供了向心力，此时有mgtanθ=m解得v0=（3）①若火车速度小于v0，则内轨对火车轮缘有侧向弹力；②若火车速度大于v0，则外轨轨对火车轮缘有侧向弹力。三、解答题14．如图所示，一轻质细绳与小球相连，一起在竖直平面内做圆周运动，小球质量，球心到转轴的距离，取重力加速度，不计空气阻力。（1）若小球在最高点不掉下来，求其在最高点的最小速率；（2）若小球在最高点的速率，求绳子的拉力大小。【答案】（1）；（2）【详解】（1）以小球为研究对象，在最高点恰好不掉下来，重力提供其做圆周运动所需的向心力则所求的最小速率为（2）设小球运动到最高点对绳的拉力为F，则重力和拉力共同提供向心力，根据牛顿第二定律解得15．“水流星”是中国传统民间杂技艺术，杂技演员用一根绳子兜着装有水的两个碗，迅速地旋转着绳子做各种彩表演，即使碗底朝上，碗里的水也不会洒出来。假设碗中水的质量均为m，绳子长度为2L，绳子的长度远大于碗的大小，重力加速度为g，不计空气阻力。现杂技演员手拿绳子的中点，让两碗在竖直平面内做圆周运动（如图甲所示），若碗通过最高点时，正上方碗内的水恰好对碗无压力。求：（1）图甲中两碗线速度的大小；（2）图甲中正下方碗内的水对碗的压力；（3）若两只碗绕的中点在水平面内做匀速圆周运动（如图乙所示），已知绳与竖直方向的夹角为θ，求碗和水的角速度大小。【答案】（1）；（2）2mg，方向竖直向下；（3）【详解】（1）碗通过最高点时，重力恰好提供向心力，此时两碗线速度大小相同，设线速度为v对上方碗中的水解得（2）设正下方碗对水的支持力大小为，水所受的合力提供向心力，对下方碗中的水解得由牛顿第三定律，正下方碗内的水对碗的压力大小为2mg，方向竖直向下。（3）设碗的质量为M，绳的拉力为F，竖直方向：水平方向：其中联立可得【拓展练·培优拔高】一、单选题1．下列有关生活中的圆周运动的实例分析，正确的是（）A．图甲中自行车正常行驶时大齿轮上A点和后轮上C点的线速度大小相同B．图乙为演员表演竖直“水流星”节目，当小桶恰好通过最高点时可以不受绳子拉力C．图丙中火车在倾斜路面上转弯时车轮轮缘与内轨间一定会有侧向挤压D．图丁为洗衣机脱水桶，其脱水原理是水滴受到的离心力大于向心力，从而被甩出【答案】B【详解】A．图甲中自行车正常行驶时大齿轮上A点和后轮上B点的线速度相同，后轮上B点的角速度与C点的角速度相同，由可知，A点和C点的线速度大小不同，A错误；B．图乙为演员表演竖直“水流星”节目，当小桶恰好通过最高点时重力提供向心力，绳子拉力为零，B正确；C．图丙中火车在倾斜路面上转弯时，车轮轮缘与内轨间只有当火车的重力和支持力的合力不足以提供所需向心力时才会有侧向挤压，C错误；D．图丁为洗衣机脱水桶，其脱水原理是水滴提供的向心力小于需要的向心力，从而被甩出，D错误。故选D。2．如图所示，某乘客在慧如公园乘坐摩天轮，设乘客到摩天轮中心的距离为，摩天轮做匀速圆周运动，重力加速度为，下列说法正确的是（）A．在最低点时乘客对座椅的压力比座椅对乘客的支持力大B．乘客的加速度不变C．在最高点时乘客线速度可以小于D．运动中处在与圆心等高的点时乘客处于平衡状态【答案】C【详解】A．在最低点时乘客对座椅的压力与座椅对乘客的支持力是一对作用力与反作用力，大小相等，故A错误；B．摩天轮做匀速圆周运动时，乘客也做匀速圆周运动，加速度的大小保持不变，但方向是改变的，故B错误；C．在最高点时，由重力和支持力的合力提供向心力，合力向下，则有可以看出当支持力大于零时，有，故在最高点时乘客线速度可以小于，故C正确；D．在与圆心等高的点时，乘客做圆周运动，处于不平衡状态，重力等于支持力，合力充当向心力，故D错误。故选C。3．如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时（）A．若圆环光滑，则角速度B．若圆环光滑，则角速度C．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等D．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等于【答案】D【详解】AB．小球在图示位置时的受力分析如图所示则小球所受合外力提供向心力，即，以上两式联立，解得，故AB错误；CD．若小球在A点时，则圆环对小球的支持力提供向心力，圆环对小球的静摩擦力与重力等大反向，即，联立，解得，故C错误，D正确。故选D。4．货车司机常说的“饿死不拉卷”是因为钢卷的重量很大，如果车速过快，急刹车时，驾驶舱后的钢卷容易发生滚动，从而与驾驶舱相撞造成交通事故。有人在高速路上拍下卡车运载钢卷的情景如图甲所示，半径为R的圆形钢卷没有采用其他的固定方式，只在钢卷的前、后各用一块三角尖楔顶在钢卷下端，三角尖楔与钢卷接触点距离水平车面高度为h，如图乙所示。若尖楔相对车面不滑动，重力加速度为g，钢卷与尖楔的摩擦力不计，在突发情况下，为了保证钢卷不离开车面，则卡车的刹车加速度大小不能超过（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设钢卷的质量为m，三角尖楔对钢卷弹力N的方向与竖直方向的夹角为，钢卷不向前滚出的临界条件是后面一块尖楔对钢卷的弹力恰好为零且车面对钢卷的支持力也为零，对钢卷受力分析如图所示即又由几何关系可知，解得，，所以卡车的刹车加速度大小不能超过。故选A。5．如图所示，两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（）A．角速度相同 B．线速度大小相同C．向心加速度大小相同 D．受到的向心力大小相同【答案】A【详解】A．设细线与竖直方向的夹角为，根据合力提供向心力根据几何关系解得，所以它们的角速度相同，故A正确；B．两个小球的角速度相同，根据，两个小球的圆周运动半径不同，所以线速度大小不同，故B错误；C．设细线与竖直方向的夹角为，根据合力提供向心力，解得因为细线与竖直方向的夹角为不同，故向心加速度大小不同，故C错误；D．设细线与竖直方向的夹角为，根据合力提供向心力因为细线与竖直方向的夹角为不同，故向心加速度大小不同，故D错误。故选D。二、填空题6．如图所示，有一个中心轴线竖直的锥形漏斗，内壁光滑，内壁上有两个完全相同的小球甲和乙，各自在不同水平面内做匀速圆周运动，则它们的运转周期（选填“大于”“小于”或“等于”）；小球甲、乙运转所需的向心力（选填“大于”、“小于”或“等于”）。【答案】大于等于【详解】[1][2]设锥体顶角为2，则小球甲、乙运转所需的向心力为根据，可知甲的半径较大，则周期较大。7．如图两绳张紧时与杆的夹角分别是45°和30°，求小球转动的角速度在范围内，两绳都张紧，已知AC长为L，（重力加速度为g）【答案】【详解】当B绳恰好拉直，但B绳上的拉力为零时，设细杆的转动角速度为ω1，则有，联立解得当A绳恰好拉直，但A绳上的拉力为零时，设细杆的转动角速度为ω2，则有，联立解得故要使A、B两绳始终张紧，角速度ω的范围为8．如图所示，水平面上有一半球形碗，O1为球心，在半径为R的半球形碗口（位置1）处放一个可视为质点的小木块，木块与碗的动摩擦因数为。小木块随碗一起绕竖直轴O1O2匀速转动，碗转动角速度大小至少为。若换一光滑可视为质点的小木块放在位置2，小木块到圆心O1的竖直距离为，小木块仍随碗一起绕竖直轴O1O2匀速转动，则碗转动的角速度大小为。（已知重力加速度为g）【答案】【详解】[1]小木块在位置1时，由牛顿第二定律可得小木块在竖直方向平衡，则有解得角速度大小至少为[2]小木块在位置2时，受重力和支持力，如图所示，对小木块，在竖直方向则有由牛顿第二定律可得，其中联立解得角速度大小为，9．如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴匀速