2024年初中升学考试模拟测试湖南省怀化市中考数学三模试卷

第1页（共1页）2023年湖南省怀化市中考数学三模试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项最符合题意。）1．（4分）的相反数是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．2．（4分）对称美是和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）《2022年国务院政府工作报告》回顾了2021年取得的成就，工作回顾中提到“十四五”实现良好开局，人民生活水平稳步提高，脱贫攻坚成果得到巩固和拓展，新开工改造城镇老旧小区5.6万个，惠及近千万家庭．这个数5.6万用科学记数法表示为（）（数据来源百度百科《2022年国务院政府工作报告》）．A．5.6×103 B．0.56×104 C．5.6×104 D．56.0×1034．（4分）下列计算正确的是（）A．x3﹣x＝x2 B．（﹣2x2）3＝﹣6x5 C．（x+2）2＝x2+4 D．（2x2y）÷（2xy）＝x5．（4分）以下调查中，最适合采用抽样调查的是（）A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 B．了解全班50名同学每天体育锻炼的时间 C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试 D．为保证飞机正常飞行，对其零部件进行检查6．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝35°，∠2＝90°，则∠3的大小是（）A．25° B．35° C．45° D．55°7．（4分）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）A．四边形ABCD周长不变 B．AD＝CD C．四边形ABCD面积不变 D．AD＝BC8．（4分）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．69．（4分）“盈不足问题”作为我国数学的古典问题，在2000多年前的《九章算术》一书中就有很详尽而深刻的阐述．书中记载：今有人买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何？意思是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？若设鸡的价钱是x文钱，根据题意列一元一次方程正确的是（）A． B． C． D．10．（4分）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）Noe的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③c＝3；④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。）11．（4分）单项式﹣2a2b3的系数是．12．（4分）分解因式：m3﹣16m＝．13．（4分）已知是二元一次方程2x﹣ky＝﹣5的一个解，那么k的值是．14．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为厘米．15．（4分）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有8只佩有识别卡，由此估计该湿地约有只A种候鸟．16．（4分）刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在a2+b2＝c2的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分面积等于（用含字母a的代数式表示）；若（c﹣a）（c﹣b）＝18，则a+b﹣c＝．​三、解答题（本大题共9小题，17、18、19每题8分，20、21每题9分，22、23每题10分，24、25每题12分，共86分。）17．（8分）计算：|﹣5|+（3﹣）0﹣2tan45°．18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝100．19．（8分）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，点P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°．（1）求证：△ABP≌△PEF；（2）求BE的长．20．（9分）我国的教育方针是：教育必须为社会主义现代化建设服务，为人民服务，与生产劳动和社会实践相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．为培养德智体美劳全面发展的优秀人才，丰都某中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程《研学旅行》开展以来引起广泛关注，九年级2班数学兴趣小组对本班同学对《研学旅行》课的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）九年级2班共有学生名；（2）九年级共有学生1200人，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？（3）该校德育处决定从九年级二班调查的A类的4人中，抽2人到八年级开展研学宣讲，若在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的一男一女的概率．21．（9分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝8cm，DE＝3cm，求四边形DEFB的面积．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+b过A（0，﹣3），B（5，2），直线l2：y＝k2x+2．（1）求直线l1的表达式；（2）过动点P（0，t）且垂直于y轴的直线与l1，l2的交点分别是C，D．当t≤1时，点C位于点D右方，直接写出k2的取值范围．23．（10分）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？（2）若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，DE＝，求图中阴影部分的面积．25．（12分）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．

2023年湖南省怀化市中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项最符合题意。）1．（4分）的相反数是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．【答案】D【分析】根据相反数定义直接求值即可得到答案．【解答】解：由题意可得，的相反数是，故选：D．2．（4分）对称美是和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．3．（4分）《2022年国务院政府工作报告》回顾了2021年取得的成就，工作回顾中提到“十四五”实现良好开局，人民生活水平稳步提高，脱贫攻坚成果得到巩固和拓展，新开工改造城镇老旧小区5.6万个，惠及近千万家庭．这个数5.6万用科学记数法表示为（）（数据来源百度百科《2022年国务院政府工作报告》）．A．5.6×103 B．0.56×104 C．5.6×104 D．56.0×103【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：5.6万＝56000＝5.6×104．故选：C．4．（4分）下列计算正确的是（）A．x3﹣x＝x2 B．（﹣2x2）3＝﹣6x5 C．（x+2）2＝x2+4 D．（2x2y）÷（2xy）＝x【答案】D【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式的法则，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：A、x3与﹣x不能合并，故A不符合题意；B、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故B不符合题意；C、（x+2）2＝x2+4x+4，故C不符合题意；D、（2x2y）÷（2xy）＝x，故D符合题意；故选：D．5．（4分）以下调查中，最适合采用抽样调查的是（）A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 B．了解全班50名同学每天体育锻炼的时间 C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试 D．为保证飞机正常飞行，对其零部件进行检查【答案】A【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．【解答】解：A、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，最适合采用抽样调查，故A符合题意；B、了解全班50名同学每天体育锻炼的时间，最适合采用全面调查，故B不符合题意；C、学校招聘教师，对应聘人员进行面试，最适合采用全面调查，故C不符合题意；D、为保证飞机正常飞行，对其零部件进行检查，最适合采用全面调查，故D不符合题意；故选：A．6．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝35°，∠2＝90°，则∠3的大小是（）A．25° B．35° C．45° D．55°【答案】D【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质即可得到∠3的度数．【解答】解：反向延长∠2的一边，如图，∵a∥b，∴∠4＝∠1＝35°，∵∠2＝90°，∴∠4+∠3＝90°，∴∠3＝90°﹣∠4＝55°，故选：D．7．（4分）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）A．四边形ABCD周长不变 B．AD＝CD C．四边形ABCD面积不变 D．AD＝BC【答案】D【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到AD＝BC．【解答】解：由题意可知：AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，故选：D．8．（4分）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝6，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．故选：B．9．（4分）“盈不足问题”作为我国数学的古典问题，在2000多年前的《九章算术》一书中就有很详尽而深刻的阐述．书中记载：今有人买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何？意思是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？若设鸡的价钱是x文钱，根据题意列一元一次方程正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用人数不变，结合“如果每人出9文钱，多出11文钱；如果每人出6文钱，还差16文钱”，即可得出关于x的一元一次方程．【解答】解：设鸡的价钱是x文钱，根据题意得，．故选：B．10．（4分）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）Noe的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③c＝3；④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到2a+b＝0，故①正确；由图象可知x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故②正确；由图象可判断二次函数y＝ax2+bx+c与y轴的交点为（0，﹣3），即c＝﹣3，故③错误；求出原二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为（1，5），继而得出直线y＝5与平移后的函数图象有3个交点，故④正确．【解答】解：∵由图象可知二次函数与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），∴二次函数的对称轴为x＝＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，故①正确；由图象可知x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故②正确；∵由图象可知二次函数y＝|ax2+bx+c|与y轴的交点为（0，3），∴二次函数y＝ax2+bx+c与y轴的交点为（0，﹣3），∴c＝﹣3，故③错误；∵将点（﹣1，0）和（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，∵当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，∴图象上当﹣1＜x＜3时，函数顶点的坐标为（1，4），∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为（1，5），∴此时，直线y＝5与函数图象有3个交点，故④正确，综上：正确的有①②④，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。）11．（4分）单项式﹣2a2b3的系数是﹣2．【答案】﹣2．【分析】根据单项式的系数定义得出答案即可．【解答】解：单项式﹣2a2b3的系数是﹣2．故答案为：﹣2．12．（4分）分解因式：m3﹣16m＝m（m+4）（m﹣4）．【答案】m（m+4）（m﹣4）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：m3﹣16m＝m（m2﹣16）＝m（m+4）（m﹣4）．故答案为：m（m+4）（m﹣4）．13．（4分）已知是二元一次方程2x﹣ky＝﹣5的一个解，那么k的值是3．【答案】3．【分析】把代入方程2x﹣ky＝﹣5得出4﹣3k＝﹣5，再求出方程的解即可．【解答】解：把代入方程2x﹣ky＝﹣5得：4﹣3k＝﹣5，解得：k＝3，故答案为：3．14．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为26厘米．【答案】26．【分析】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，由题意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），设镜面半径为x厘米，由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，∴x＝26，∴镜面半径为26厘米，故答案为：26．15．（4分）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有8只佩有识别卡，由此估计该湿地约有1000只A种候鸟．【答案】见试题解答内容【分析】在样本中“200只A种候鸟中有8只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟，则200：8＝x：40，解得x＝1000．故答案为：1000．16．（4分）刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在a2+b2＝c2的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分面积等于a2（用含字母a的代数式表示）；若（c﹣a）（c﹣b）＝18，则a+b﹣c＝6．​【答案】a2，6．【分析】根据阴影面积等于边长为c的正方形面积减去边长为b的正方形面积即可表示；先求出AB＝c﹣b，AC＝c﹣a，DE＝a+b﹣c，再根据（c﹣a）（c﹣b）＝18得到S矩形ACDB＝18，再根据S阴影＝2S矩形ACDB+a2﹣（a+b﹣c）2＝a2，即可求出a+b﹣c＝6．【解答】解：图中阴影部分面积等于c2﹣b2＝a2+b2﹣b2＝a2，如图所示：AB＝c﹣b，AC＝c﹣a，DE＝a﹣（c﹣b）＝a+b﹣c，∵（c﹣a）（c﹣b）＝c2﹣bc﹣ca+ab＝18，∴AB•AC＝18，即S矩形ACDB＝18，∵S阴影＝2S矩形ACDB+a2﹣（a+b﹣c）2＝a2，∴（a+b﹣c）2＝36，∵a+b＞c，即a+b﹣c＞0，∴a+b﹣c＝6，故答案为：a2，6．三、解答题（本大题共9小题，17、18、19每题8分，20、21每题9分，22、23每题10分，24、25每题12分，共86分。）17．（8分）计算：|﹣5|+（3﹣）0﹣2tan45°．【答案】4．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：|﹣5|+（3﹣）0﹣2tan45°＝5+1﹣2×1＝5+1﹣2＝4．18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝100．【答案】，100．【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．【解答】解：＝＝＝，当x＝1，y＝100时，原式＝100．19．（8分）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，点P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°．（1）求证：△ABP≌△PEF；（2）求BE的长．【答案】（1）证明见解答；（2）15m．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS证得结论；（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到：BP＝EF＝10.5m，AB＝PE＝4.5m，则BE＝BO+PE．【解答】（1）证明：∵∠ABP＝∠FEP＝90°，∠APF＝90°，∴∠APB＝∠PFE（同角的余角相等）．在△ABP与△PEF中，，∴△ABP≌△PEF；（2）由题意知，AB＝1.5×3＝4.5（m），EF＝7×1.5＝10.5（m）．由（1）知，△ABP≌△PEF，∴BP＝EF＝10.5m，AB＝PE＝4.5m，∴BE＝BP+PE＝15m．20．（9分）我国的教育方针是：教育必须为社会主义现代化建设服务，为人民服务，与生产劳动和社会实践相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．为培养德智体美劳全面发展的优秀人才，丰都某中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程《研学旅行》开展以来引起广泛关注，九年级2班数学兴趣小组对本班同学对《研学旅行》课的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）九年级2班共有学生40名；（2）九年级共有学生1200人，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？（3）该校德育处决定从九年级二班调查的A类的4人中，抽2人到八年级开展研学宣讲，若在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的一男一女的概率．【答案】（1）40，；（2）180人；（3）．【分析】（1）由A类的人数除以所占的百分比得出九年级2班的人数，即可解决问题；（2）由九年级共有学生人数乘以D类人数所占的比例即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）九年级2班共有学生：4÷10%＝40（名），故答案为：40；（2）1200×＝180（人），答：估计九年级学生选择D类的大约有180人；（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽到的一男一女的结果有8种，∴抽到的一男一女的概率为＝．21．（9分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝8cm，DE＝3cm，求四边形DEFB的面积．【答案】（1）见解析；（2）12cm2．【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；（2）由（1）得：BF＝DE＝3cm，四边形DEFB是平行四边形，得其面积＝BF•CD，即可求解．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵CF＝3BF，∴BC＝2BF，∴DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形；（2）解：由（1）得：DE＝BF＝3cm，∵D是AC的中点，AC＝8cm，∴CD＝AC＝4cm，∵∠ACB＝90°，∴四边形DEFB的面积＝BF•CD＝3×4＝12（cm2）．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+b过A（0，﹣3），B（5，2），直线l2：y＝k2x+2．（1）求直线l1的表达式；（2）过动点P（0，t）且垂直于y轴的直线与l1，l2的交点分别是C，D．当t≤1时，点C位于点D右方，直接写出k2的取值范围．【答案】（1）y＝x﹣3；（2）0＜k2≤1．【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）分k2＜0和k2＞0，两种情况分类讨论，利用数形结合的思想进行求解即可．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝k1x+b过A（0，﹣3），B（5，2），∴，解得：，∴直线l1：y＝x﹣3；（2）∵y＝k2x+2，∴直线l2必过点（0，2），∵过动点P（0，t）且垂直于y轴的直线与l1，l2的交点分别是C，D，当t≤1时，点C位于点D右方，①当k2＜0时，当t≤1时，必然存在点D位于点C右方，不符合题意；②当k2＞0时，l1，l2平行时，满足题意，此时：k2＝1；l1，l2相交时，则交点的横坐标恒大于5，此时：0＜k2＜1；综上：k2的取值范围为0＜k2≤1．23．（10分）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？（2）若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？【答案】（1）笔记本每本12元，钢笔每支10元；（2）20本．【分析】（1）可设每支钢笔x元，则每本笔记本（x+2）元，根据其数量相同，可列得方程，解方程即可；（2）可设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，根据总费用不超过540元，可列一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设每支钢笔x元，依题意得：，解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解，故笔记本的单价为：10+2＝12（元），答：笔记本每本12元，钢笔每支10元；（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，依题意得：12y+10（50﹣y）≤540，解得：y≤20，故最多购买笔记本20本．24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，DE＝，求图中阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，根据切线的判定定理证明；（2）连接OB，连接OD交BC于P，作BH⊥DF于H，证明△OBD为等边三角形，得到∠ODB＝60°，OB＝BD＝2，根据勾股定理求出PE，证明△ABE∽△AFD，根据相似三角形的性质求出AE，根据阴影部分的面积＝△BDF的面积﹣弓形BD的面积计算．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴OD⊥BC，∵BC∥DF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）连接OB，连接OD交BC于P，作BH⊥DF于H，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB＝60°，OB＝BD＝2，∴∠BDF＝30°，∵BC∥DF，∴∠DBP＝30°，在Rt△DBP中，PD＝BD＝，PB＝PD＝3，在Rt△DEP中，∵PD＝，DE＝，∴PE＝＝2，∵OP⊥BC，∴BP＝CP＝3，∴CE＝3﹣2＝1，∵∠DBE＝∠CAE，∠BED＝∠AEC，∴△BDE∽△ACE，∴AE：BE＝CE：DE，即AE：5＝1：，∴AE＝∵BE∥DF，∴△ABE∽△AFD，∴＝，即＝，解得DF＝12，在Rt△BDH中，BH＝BD＝，∴阴影部分的面积＝△BDF的面积﹣弓形BD的面积＝△BDF的面积﹣（扇形BOD的面积﹣△BOD的面积）＝•12•﹣﹣×（2）2＝9﹣2π．25．（12分）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y＝（x＞