中考数学一轮复习高频考点专题18 解直角三角形（10个高频考点）（举一反三）（原卷版）

专题18解直角三角形（10个高频考点）（举一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考点1锐角三角函数的定义】 1【考点2锐角三角函数的增减性】 3【考点3同角三角函数的关系】 3【考点4互余两角三角函数的关系】 3【考点5特殊角的三角函数】 5【考点6解直角三角形】 6【考点7解直角三角形的应用之仰角俯角问题】 7【考点8解直角三角形的应用之方位角问题】 9【考点9解直角三角形的应用之坡度坡比问题】 11【考点10解直角三角形应用之其他问题】 12【要点1锐角三角函数】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的三角函数为定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)SKIPIF1<0【考点1锐角三角函数的定义】【例1】（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P1,1，则tan∠OAP的值是（

A．33 B．22 C．【变式1-1】（2022·上海·上海市进才中学校考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（

A．tanB=34 B．sinB=【变式1-2】（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）如图所示，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若AD＝3，A．32 B．53 C．5【变式1-3】（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（

A．817 B．715 C．15【考点2锐角三角函数的增减性】【例2】（2022·上海静安·统考一模）如果0°<∠A<45°，那么sinA与cosA的差（A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定【变式2-1】（2022·上海·校考模拟预测）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（

）A．0<sinA<C．33<【变式2-2】（2022·甘肃张掖·统考模拟预测）若0°<α<90°，则下列说法不正确的是（

）sinα随α的增大而增大B．cosα随αC．tanα随α的增大而增大 D．0<sinα<1【变式2-3】（2022·浙江宁波·校联考一模）sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°【考点3同角三角函数的关系】【例3】（2022春·湖南邵阳·九年级邵阳市第二中学校考自主招生）已知m为实数，且sinα，cosα是关于x的方程4x2−mx+1=0A．18 B．34 C．【变式3-1】（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝23，则cosAA．133 B．132 C．5【变式3-2】（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知tanα=5，则3【变式3-3】（2022·湖北·校联考一模）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：⑴asinθ+bcosθ−c=0；⑵acos【考点4互余两角三角函数的关系】【例4】（2022·福建南平·统考二模）如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若∠DCE=β，则矩形ABCD的周长可表示为（

）A．22cosC．22sin【变式4-1】（2022·安徽宣城·校联考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是（）A．sinA＝sinB B．cosA＝sinBC．sinA＝cosB D．sin（A+B）＝sinC【变式4-2】（2022·湖北武汉·统考三模）如图，在△ABC中，tan∠BAC•tan∠ABC=1，⊙O经过A、B两点，分别交AC、BC于D、E两点，若DE=10，AB=24，则⊙O的半径为（

）A．102 B．C．13 D．25【变式4-3】（2022·山东菏泽·中考真题）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（）A．25：9 B．5：3 C．： D．5：3【要点2特殊角的三角函数值】三角函数30°45°60°1【考点5特殊角的三角函数】【例5】（2022·山东济宁·校考二模）如图，在正方形ABCB1中，AB=3，AB与直线l所夹锐角为60∘，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A．2×332019 B．2×3【变式5-1】（2022·山东日照·统考中考真题）在实数2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理数的个数是（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-2】（2022·福建泉州·统考二模）如图，在菱形ABCD中，AC=CD，则cosB的值为（

）A．34 B．32 C．1【变式5-3】（2022·陕西渭南·统考二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点H是高AD和BE的交点，∠CAD＝30°，CD＝4，则线段BH的长度为（

）A．6 B．43 C．8 D．【要点3解直角三角形的类型和解法】已知条件图形解法对边邻边SKIPIF1<0斜边ACB对边邻边SKIPIF1<0斜边ACBbSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知斜边和一个锐角SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知两直角边SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知斜边和一条直角边SKIPIF1<0SKIPIF1<0【考点6解直角三角形】【例6】（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB=32．Rt△BEF中，∠BEF=90°,EF过点D，BE,BF分别交AD,CD于点G，M，连接OE,OM,EM．若BG=DF,tan∠ABG=【变式6-1】（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．【变式6-2】（2022·西藏·统考中考真题）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为CE的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．【变式6-3】（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．(1)如图①，当α=20°时，∠AEB的度数是_____________；(2)如图②，当0°<α<90°时，求证：BD+2CE=2(3)当0°<α<180°,AE=2CE时，请直接写出BDED【考点7解直角三角形的应用之仰角俯角问题】【例7】（2022·山东聊城·统考中考真题）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，【变式7-1】（2022·山东济南·统考中考真题）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（

）（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85A．28m B．34m C．37m D．46m【变式7-2】（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，小明在大楼45m高（即PH=45m，且PH⊥HC）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1:3（点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，(1)∠PBA的度数等于________度（直接填空）(2)求A，B两点间的距离（结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.414，【变式7-3】（2022·四川自贡·统考中考真题）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A,B共线（如图②），此目标P的仰角∠POC=∠GON．请说明两个角相等的理由．(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得顶端P的仰角∠POQ=60∘，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米；求树高PH．（(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距离地面高度PH（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点E,F（E,F,H在同一直线上），分别测得点P的仰角α,β，再测得E,F间的距离m，点O1,O2到地面的距离O1【考点8解直角三角形的应用之方位角问题】【例8】（2022·山东泰安·统考模拟预测）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离为_____．（计算结果保留根号）【变式8-1】（2022·辽宁朝阳·模拟预测）如图，B地在A地的北偏东56°方向上，C地在B地的北偏西19°方向上，原来从A地到C地的路线为A→B→C，现在沿A地北偏东26°方向新修了一条直达C地的公路，路程比原来少了20千米．求从A地直达C地的路程(结果保留整数．参考数据：2≈1.4，3【变式8-2】（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：3≈1.732，sin75°≈0.966，(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？【变式8-3】（2022·四川成都·校联考三模）如图，m，n为河流南北两岸的平行道路，北岸道路A，B和南岸道路D点处各有一株古树．已知B，D两株古树间的距离为200米，为了测量A，B两株古树之间的距离，在南岸道路C点处测得古树A位于北偏西42°方向，在D处测得古树B位于北偏西30°方向．已知CD=280米，求A，B两株古树之间的距离．（结果保留整数）参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin42°≈2740，cos42°≈34【考点9解直角三角形的应用之坡度坡比问题】【例9】（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD=20m，背水坡BC的坡度为i1=1:1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2=1:3，求背水坡新起点A与原起点【变式9-1】（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图2所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM=30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i=1:1，BN⊥l于N，且CN=2(1)求∠ACB的度数；(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．【变式9-2】（2022·河北石家庄·校联考三模）小明在一段斜坡OA−AB上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为3m/s，距水平地面的高度总为15m（在直线y=15上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知OA=1010m，斜坡OA的坡度i=1：3，斜坡(1)点A坐标为______，OA段y关于x的函数解析式为______；(2)小明在斜坡AB上的跑步速度是______m/s，并求AB段y关于x的函数解析式；(3)若小明沿O−A−B方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长．（参考数据：sin22.5°≈513，cos【变式9-3】（2022·重庆·西南大学附中校考模拟预测）如图是某大型商场一层到二层的自动扶梯侧面示意图，小明在一层的A处用测角仪（测角仪高度忽略不计）测得天花板上的日光灯P的仰角为27°，他向正前方走了5米来到扶梯起点B处，乘坐扶梯BD上行13米到达二层的D处，此时用测角仪测得日光灯P的仰角为53°，已知自动扶梯BD的坡度为1∶2.4．参考数据：sin27°≈920，cos27°≈910，tan27°≈(1)求图中点D到一层地面的高度；(2)根据规定，商场两层总楼高要大于10米，判断该商场楼高是否符合规定，并说明理由．【考点10解直角三角形应用之其他问题】【例10】（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆D