2023年天津市红桥区九年级下学期结课考试 数学 试题（学生版+解析版）

九年级数学

本试卷分为第I卷（选择题）、第∏卷（非选择题）两部分.第I卷为第1页至第3页，第π

卷为第4页至第8页.试卷满分120分.考试时间100分钟.

答卷前，请你务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在规定位

置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效.考

试结束后，请将本试卷和“答题卡”一并交回.

祝你考试顺利！

第I卷

主意事项：

1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点.

2.本卷共12题，共36分.

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分、在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.2sin30°的值等于（）

A.IB.√2C.也D.2

3.下面四个关系式中，），是X的反比例函数的是（)

1

A.y=2χ-lB.y=X2+Xcy=-D.y=——X

X3

4.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（)

E⅛⅛

5.如图，在RtAABC中，ZABC=90°,8。为斜边AC的高，。为垂足，则下列结论中正确的是

()

C

DX\

AB

ADBC

A.sinA=B.cosA=-

ABAC

AB,BD

C.tanA=D.tanA=---

~~BCAD

6.若一元二次方程/+4χ-12=0的两个根分别为4X?，则为+%的值等于()

A.-4B.4C.-12D.12

7.若两个相似多边形周长的比为1:5,则它们的相似比为()

A.1:25B,1:5C.1:2.5D.k√5

12

8.若点A(-3,χ),B(-2,y2),C(2,%)都在反比例函数y=—1的图象上，则V，%，%的大小关

系为()

A.y∣<y2<%B.%</<%

C.%<y∣<必D.%<%<M

9.如图，在AABC中，EF〃BC,AB=3AE,若SwWBCFE=16,则SAABC=()

E/AF

BC

A.16B.18C.20D.24

10.已知一次函数y=依+〃？（Z,加为常数，k≠0）的图像如图所示，则正比例函数）二—丘和反比例

Hl

函数y=一在同一坐标系中的图像大致是（）

11.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中.传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣:

①将半径为r。。六等分，依次得到A,B,C,D,E,F六个分点；

②分别以点A,D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧一个交点；

③连结OG,

问：OG的长是多少？

大臣给出的正确答案应是（）

A√3rB.(1+—)rC.(1+—)rD.√2r

22

12.二次函数y=0χ2+⅛x+c（αoθ）的图象如图所示，有下列结论：①。乩、＞（）；②当相≠1时,

a+b>anr+bm;③若ar；+feη=ar；+方々，且王力尤2，则%+%2=2;@a-h+c>0.其中，正

确结论的个数是（）

AOB.IC.2D.3

第∏卷

注意事项：

1.用黑色字迹的签了笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）.

2.本卷共13题，共84分.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.tan45o的值是—.

14.一个不透明的袋子里装有9个球，其中有5个红球，4个白球，这些球除颜色外其它均相同.现从中随

机摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为.

15.反比例函数的图象经过点尸（-1,2）,则此反比例函数的解析式为.

16.若抛物线y=∕-2x+Za为常数）与X轴有两个交点，则攵的值为.

17.如图，_A8C内接于O。，NC=42°,连接则/Q43大小为（度）.

18.如图，在.ABC中，CA=CB=4,ZBAC=a,将JlBC绕点A逆时针旋转2a,得到A4B'C',

连接并延长交AB于点。，当BN>_LA5时，的长是

三、解答题(本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

19.如图，在RtAABC中，NC=90°,AC=3,BC=4,求SinA,cosA,tanA的值.

20.如图，在JIBC中，。为边AB上一点，ZACD=NB,若AC=6,BC=5,Cr)=4,求A。,

AB的长.

/22—1

21.如图，它是反比例函数y=—-(根为常数，且加≠1)图象的一支.

(1)图象的另一支位于哪个象限？求E的取值范围；

(2)点A(2,3)在该反比例函数的图象上.

①判断点B(3,2),C(4,-2),0(—1,-6)是否在这个函数的图象上，并说明理由；

②在该函数图象的某一支上任取点M(X,χ)和N(%,%)•如果为＜¾.那么/和力有怎样的大小关

系？

22.已知1%与CO相切于点A，Po与。相交于点B，点C在优弧AB上，且与点A,B不重合.

AA

图①图②

（1）如图①，若NP=26°,求/C的大小;

（2）如图②，ACYOB,垂足为。，若NP=NC,OB=2,求AC的长.

23.如图，小琪站在自家阳台的A处，看对面一栋楼顶部B处的仰角为45。，看这栋楼底部C处的俯角为

37°,已知两楼之间的水平距离C。为30m,求这栋楼BC的高度（结果保留小数点后一位）.参考数

据：sin37o≈0.60.cos37o≈0.80,tan37o≈0.75.

24.在平面直角坐标系中，点0（0,0）,点4（26,0）,点8（0,2）.以点O为中心，逆时针旋转

OAB,得点A,8的对应点分别为点A',B'.记旋转角为α.

图①图②

（1）如图①，当α=45°时，求点A,B'的坐标；

（2）如图②，当4B'经过点5时，求AB与OA'的交点C的坐标.

25.在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+自一2々的顶点为N.

（1）若此抛物线过点A（-3,1）,求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点2,连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上

方，过C作C。垂直X轴于点。，CD交AB于点E,若CE=ED,求点C坐标；

（4√31

（3）已知点M2一——,0,且无论k取何值，抛物线都经过定点当NMHN=60°时，求抛物线

的解析式.

九年级数学

本试卷分为第I卷（选择题）、第∏卷（非选择题）两部分.第I卷为第1页至第3页，第π

卷为第4页至第8页.试卷满分120分.考试时间100分钟.

答卷前，请你务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在规定位

置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效.考

试结束后，请将本试卷和“答题卡”一并交回.

祝你考试顺利！

第I卷

主意事项：

1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点.

2.本卷共12题，共36分.

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分、在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.2sin30°的值等于（）

A.IB.√2C.乖ID.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用特殊角三角函数值代入计算即可.

【详解】∙.∙2sin30°=2χJ=l,

2

故选A.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键.

2.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义判断即可.

【详解】A.不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180。后它的两部分能够重合；即不满

足中心对称图形的定义，故此选项错误；

B.是中心对称图形，满足中心对称图形的定义，故此选项正确；

C.不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180。后它的两部分能够重合；即不满足中心对

称图形的定义，故此选项错误；

D.不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转18()。后它的两部分能够重合；即不满足中心对

称图形的定义，故此选项错误.

故选B.

【点睛】本题考查了中心对称图形即将图形绕某点旋转180。与原图形完全重合，熟练掌握定义是解题的关

键.

3.下面四个关系式中，y是X的反比例函数的是()

,31

A.y=2x-iB.y=X2+xC.y=-D.y=——x

X3

【答案】C

【解析】

k

【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式为y=、伏工0),即可判定函数的类型.

【详解】解：A、y=2x-l是一次函数，故该选项不符合题意，

B、y=∕+χ是二次函数，故该选项不符合题意，

C、y=2是反比例函数，故该选项符合题意，

X

D、)=—1X是正比例函数，故该选项不符合题意，

3

故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的一般式y=g(k≠0)是解题的关键.

4.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是()

C.ɪ]

【答案】B

【解析】

【分析】找到从正面、左面、上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中.

故选B.

【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握画三视图的基本方法是解题的关键.

5.如图，在RtAABC中，NA6C=90°,为斜边4C的高，。为垂足，则下列结论中正确的是

()

B."变

A.sinA---

ABAC

ABBD

C.tanAa=-----D.tλanA=--

BCAD

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数的定义计算判断即可.

【详解】解：A、由SinA=处，故该项错误，不符合题意;

AB

B、由c。SA=旅’故该项错误’不符合题意;

C、由tanA=——，故该项错误，不符合题意；

AB

RD

D、由tanA=---,故该项正确，符合题意；

AD

故选D.

【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键.

6.若一元二次方程f+4x—12=0的两个根分别为司/2,则％+尤2的值等于（）

A.-4B.4C.-12D.12

【答案】A

【解析】

【分析】利用根与系数的关系解答即可.

【详解】解：；一元二次方程χ2+4χ-12=0的两个根分别为玉，马，

故选：A.

【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的两个关系式

bc

x∣÷x=—,XX——是解题的关键.

2a11^a

7.若两个相似多边形周长的比为1:5,则它们的相似比为（）

A.1：25B.1:5C.1:2.5D.1：√5

【答案】B

【解析】

【分析】利用相似三角形周长之比等于相似比计算选择即可.

【详解】•••两个相似多边形周长的比为1:5,

.∙.它们的相似比为1:5,

故选B.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键.

12

8.若点A（—3,乂），8（—2,%），C（2,%）都在反比例函数V=的图象上，则%，%，%的大小关

X

系为（）

A.X<%<%B.%<X<%

c.%<y<必D.%<必<M

【答案】C

【解析】

【分析】根据反比例函数的性质得到反比例函数图象的两个分支分别在第二象限，第四象限内，且在每个象

限内y都随X的增大而增大，即可判断大小.

【详解】解：∙.∙-12<0,

反比例函数图象两个分支分别在第二象限，第四象限内，且在每个象限内y都随X的增大而增大，

∙.∙点A(-3,χ),B(-2,%),C(2,%)都在反比例函数图象上，

.∙.点A,B在第二象限，点C在第四象限，

V-3<-2,

，M<必，

，％<X<%，

故选：C.

【点睛】此题考查了反比例函数的图象及性质，正确掌握反比例函数的增减性判断函数值的大小是解题的

关键.

9.如图,在AABC中,EF〃BC,AB=3AE,若SiWZBCFE=16,则SAABC=()

A.16B.18C.20D.24

【答案】B

【解析】

【详解】【分析】由EF〃BC,可证明AAEFs^ABC,利用相似三角形的性质即可求出SAABC的值.

【详解】：EF〃BC,

ΛΔAEF^ΔABC,

VAB=3AE,

/.AE:AB=1：3,

∙,∙SΔAEF:SΔABC=Iɪ9,

设SAAEF=X,

"∙"S四边彩BCFE=I6，

X1

.*--------——>

16+%9

解得：x=2,

,SAABC=I8,

故选B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方

是解本题的关键.

10.已知一次函数y=依+相（&,M为常数，Z≠0）的图像如图所示，则正比例函数y=-质和反比例

/n

函数》=—在同一坐标系中的图像大致是（）

【解析】

【分析】根据一次函数丫=履+〃？（％,加为常数，k≠G）的图像判定%x）,“∕<o,-z<o,确定图像分

布，判断即可.

【详解】根据一次函数y=履+优（％,m为常数，Z≠0）的图像判定左>o,m<o,-A<o,

/17

.∙.丁=一区的图像分布在二四象限，反比例函数y=—的图像分布在二四象限，

故选D.

【点睛】本题考查了一次函数图像分布，反比例函数图像分布，熟练掌握图像分布与&,机的关系是解

题的关键.

11.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中.传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：

①将半径为r的。。六等分，依次得到A,B,C,D,E,F六个分点；

②分别以点A,D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；

③连结OG,

问：OG的长是多少？

大臣给出的正确答案应是()

AjɜrB.(1+—)rC.(1+—)rD.√2r

22

【答案】D

【解析】

【详解】分析：如图连接CD,AC,DG,AG.在直角三角形即可解决问题；

详解：如图连接CD,AC,DG,AG.

：AD是。0直径,

ZACD=90o,

在RtAACD中，AD=2r,NDAC=30。,

∙*∙AC=ʌ/ɜr,

VDG=AG=CA,OD=OA,

ΛOGlAD,

.β.ZGOA=90o,

∙,∙OG=√AC2-OA2=7(ΛΛΓ)2-r2=√2r，

故选D∙

点睛：本题考查作图-复杂作图，正多边形与圆的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造直角三角形解决问题.

12.二次函数丁=奴2+云+《。。0)的图象如图所示，有下列结论：①。历>()；②当∕77≠1时，

a+b>am2+bm；③若ar；+bx∣=渥，且XlHX2，则玉+々=2；®a-b+c>0.其中，正

确结论的个数是()

【答案】C

【解析】

【分析】可以根据开口向下判断。<0,根据抛物线与y轴的交点位置判断c>0,然后再根据对称轴的位置

判断出a,6异号，因此b>(),最后根据对称轴的位置，抛物线与X轴的交点情况进行推理，进而解出此题.

【详解】解：抛物线开口向下判断a<0,

抛物线与y轴的交点在y轴正半轴判断c>0,

抛物线对称轴在y轴右侧，得到a,b异号,故

OhC<4

故①错误；

根据图像可得，当X=I时，函数取得最大值，

∙*∙a+h+c≥aιn2+bm+c，

m≠∖,

∙'∙a-∖-b>arrτ+bm，

故②正确；

QX:+⅛η=axj-∖-bx2,

,2

..OrI+b%-ax；-hx2=0,

.∙∙a（x∣+巧）（为一w）+6（4一莅）=0，

（xj-x2）[α（x1+x2）+/?]=0,

X1≠X2f

,

..a（xl+x2）+b=0,

bC

•・x∣+X=—=2,

2a

故③正确；

当X=-I时，y^a-b+c,

抛物线对称轴为X=1,

.∙.%=3与％=-1时，函数值相等，

根据图像可得，当x=3时，y<（）,

a-b+c<Q,

故④错误.

故选：C.

【点睛】本题考查图像与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数相关性质是解题的关键.

第∏卷

注意事项：

1.用黑色字迹的签了笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）.

2.本卷共13题，共84分.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.tan45o的值是—.

【答案】1

【解析】

【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行解答即可.

【详解】解：由特殊角的三角函数值可知tan450=1

故答案为1.

【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

14.一个不透明的袋子里装有9个球，其中有5个红球，4个白球，这些球除颜色外其它均相同.现从中随

机摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为.

【答案】I

【解析】

【分析】直接根据概率公式进行计算即可.

【详解】解：♦.♦袋子里装有9个球，其中有5个红球，4个白球，这些球除颜色外其它均相同，

.∙.从中随机摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为I.

故答案为：—.

【点睛】本题考查了应用概率公式求概率，一般方法为：如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能

性相同，其中事件A出现机种结果，那么事件4的概率P(A)=-.

n

15.反比例函数的图象经过点P(-1,2),则此反比例函数的解析式为.

2

【答案】y=-

X

【解析】

k

【分析】设反比例函数的解析式为y=-(Z≠O),由已知把(-L2)代入解析式求得左的值，即可求出

X

解析式.

【详解】设反比例函数的解析式为y=X(AHO),

X

把(-1,2)代入则有2=5，

解得：k=-2,

2

所以反比例函数的解析式为：尸-一，

X

2

故答案为广-

X

【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

16.若抛物线y=/一2χ+Z1为常数)与X轴有两个交点，则Z的值为.

【答案】k<∖

【解析】

【分析】由抛物线与X轴有两个交点，4—4左>(),求解即可.

【详解】解：；抛物线y=/-2x+Z(%为常数)与X轴有两个交点，

即x2-2x+k^0有两个不相等的实数根,

.∙.Δ>(),

Λ4-4⅛>0,

解得攵<1,

故答案为：k<∖.

【点睛】此题考查了抛物线与X轴交点问题，正确理解抛物线与X轴交点问题与一元二次方程的根的关系

是解题的关键.

17.如图，-ABC内接于OO,NC=42°,连接。4,则2043的大小为（度）.

【答案】48

【解析】

【分析】利用圆周角定理得到NAoB=84。，再根据等边对等角求出答案.

【详解】解：：NC=42°,ZAOB=2ZC,

：.ZAOB=SAo,

,/OB=OA,

：.ZOAB=ZOBA=,

故答案为：48.

【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，熟记定理是解题的关键.

18.如图，在二ABC中，CZ=C8=4,ZBAC=a,将AABC绕点A逆时针旋转2。，得到ZVW'C',

连接B'C并延长交AB于点。，当B'O_LA5时，BB'的长是

一八4√3

【答案】工Tt

3

【解析】

【分析】先证∕B'AO=60°,再求出AB的长，最后根据弧长公式求得68'的长.

【详解】解：CA^CB,B'DLAB,

：.AD=DB=-AB,

2

ΛAB'C'是二ABC绕点A逆时针旋转2a得到，

.-.ABAB',AD=-AB',

2

ΛΓ）1

在RtΛABfD中，cosZBfAD==—,

ABf2

・・.ZBzAD=60°,

ZCAB=a.∕B'AB=2a,

.∙.ZCAB=-NB'AB」x60。=30o,

22

Ae=5C=4,

.∙.AD=AC∙cos300=4χ正=2百，

2

.∙.AB=2A0=4G，

.1_6QπAB4√3

•∙IRR------------=------71，

1803

故答案为：生巨■兀•

3

【点睛】本题考查了图形的旋转变换，等腰三角形的性质，三角函数定义，弧长公式，正确运用三角函数

定义求线段的长度是解本题的关键.

三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19.如图，在RtZVLBC中，ZC=90o,AC=3,BC=A,求SinA,cosA,tanA的值.

【解析】

【分析】勾股定理求得AB后，根据三角函数的定义计算即可.

【详解】解：在RtZiABC中，NC=90°,

/.AB2=AC2+BC2.

∙.FC=3,BC=4,

Ag=J32+42=5∙

SinA=.4COSA=@=3BC4

tanA

AB5AB5AC3

α的对边α的邻边0的对边

【点睛】本题考查了三角函数的定义Sina,cosα=tana=,熟练掌握

斜边斜边α的邻边

三角函数的基本定义是解题的关键.

20.如图，在一ABC中，。为边AB上一点，ZACD=NB,若AC=6,BC=5,CD=A,求A。，

AB的长.

【答案】AD——,AB=—

52

【解析】

ΛΓ)ΛΓ∙CD

【分析】由NAS=NB,NA=NA,可证明VADC:VACB,得到■~~•=——，进而可以求解.

ACABBC

【详解】NA=NA,ZACD=NB,

.NADC:YACB

ADACCD

AC=6>BC=5,CD—4,

AC-BC15

AD

BC5CD2

2415

故答案为：AO=M,ΛB=y.

【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，正确找到相似三角形的对应角和对应边并且证明

VADC:VAce是解题关键.

m-∖

21.如图，它是反比例函数y=——（加为常数，且加。1）图象的一支.

X

（1）图象的另一支位于哪个象限？求〃?的取值范围；

（2）点A（2,3）在该反比例函数的图象上.

①判断点8（3,2）,C（4,-2）,。（一1,-6）是否在这个函数的图象上，并说明理由；

②在该函数图象的某一支上任取点M（西,y）和N（X2,%）•如果再<々，那么必和乃有怎样的大小关

系？

【答案】（1）第三象限，m>1

（2）①点8,。在其图象上，见解析，②必>必

【解析】

【分析】（1）根据反比例函数的图象在第一象限，可得支必位于第三象限，m-l>O,即可解答；

（2）①先求出解析式，再分别将各点的横坐标代入，计算出y值与纵坐标比较即可；②根据反比例函数的

性质即可解答.

【小问1详解】

•••这个函数图象的一支位于第一象限，

.∙.另一支必位于第三象限.

，7H-1>0.

解得力>1.

【小问2详解】

・・・点A（2,3）在其图象上，

.∙.3=—―-,解得m-1.

2

・・・这个反比例函数的解析式为y=-.

X

3

①当％=3时,,ʃ=2；当x=4时，y=-≠-2；当X=-I时，y=-6.

:•点、B,。在这个函数的图象上，点。不在这个函数的图象上.

②∙.∙6>(),

.∙.在这个函数图象的任一支上，y都随X的增大而减小.

，当不<々时，yi>y2-

【点睛】此题考查了反比例函数的知识，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象及性质,

正确掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键.

22.已知Q4与。相切于点A,PO与Co相交于点8,点C在优弧AB上，且与点A,B不重合.

(1)如图①，若NP=26°,求NC大小;

(2)如图②，ACLOB,垂足为。若NP=NC,OB=I,求AC的长.

【答案】(1)32°

⑵2垂）

【解析】

【分析】(1)连接A0,根据切线的性质得到NaIP=90°,再利用余角的性质求出NAOP的度数即可;

(2)连接AO.由NAQP=2NC可得NAQP=60°,再根据垂径定理及勾股定理解答即可.

【小问1详解】

解：如图，连接A0.

∙.∙4尸与：。相切于点A,

.∙.OA±AP.得NQ4P=90°.

,/NP=26°,

.∙,ZAOP=90o-ZP=64°.

.*.NC=LNAOP=32°.

2

【小问2详解】

如图，连接AO.

∙∙∙ZP=NC,

：.ZAOP=60。.

,.∙ACVOB,

.∙.NOAD=30。，AD=CD.

•：OB=2,

OA=OB=2，OD=1.

在RtqAoD中，AD=ΛJOA1-OD2=√3∙

AC=2AD=2班.

【点睛】此题考查了切线的性质定理，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，正确掌握圆的知识是解题的关键.

23.如图，小琪站在自家阳台的A处，看对面一栋楼顶部B处的仰角为45°,看这栋楼底部C处的俯角为

37°,已知两楼之间的水平距离C。为30m,求这栋楼BC的高度(结果保留小数点后一位).参考数

据：sin37o≈0.6(),cos37o≈0.80,tan37o≈0.75.

【答案】52.5m

【解析】

【分析】过点A作A£，3C,垂足为E,分别在RtZXABE和RtACE中，利用锐角三角函数可得BE,CE

的长，即可求解.

【详解】解：如图，过点A作AELBC,垂足为£

B

田田BE

田田

田

田田BE

Ifiim

根据题意，AE=Co=30,NBAE=45°,NC4E=37°.

BE

在RtAASE中，tanNBAE=—,

AE

.∙.BE=AEtanΛBAE=AE=30m.

CE

在Rt△ACE中，tanNCAE=----，

AE

/.CE=AE∙tanZC4E≈30×().75.

∙∙∙BC=3E+CE。30+30X0.75=52.5m.

答：这栋楼BC的高度约为52.5m.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键.

24.在平面直角坐标系中，点0(0,0),点42点0),点8(0,2).以点。为中心，逆时针旋转

OAB,得AOAB',点A,8的对应点分别为点4,6'.记旋转角为α.

图①图②

(1)如图①，当α=45°时，求点4,B'的坐标;

(2)如图②，当A9经过点8时，求AB与OA'的交点C的坐标.

【答案】⑴点A'的坐标为(卡,指)，点3'的坐标为卜血,也)

【解析】

【分析】(1)分别过点A',8'作A'DJ_x轴，LX轴，垂足分别为D,E,根据已知得出QA=2√L

03=2,根据性质的性质得出Zδ'OE=45°,分别解RtA'OD,Rt43'。上即可求解;

(2)过点C作CT7_Lx轴，垂足为尸，由旋转得N3'=NABO=60°,解RtaCOb即可求解.

【小问1详解】

解：如图，分别过点A,B'作A'。，X轴，3'ELx轴，垂足分别为O,E.

∙.∙点4(26,0),B(0,2),

OA=2√LOB=2.

由旋转得。A=QA=2√5,0B'=0B=2,NA'O8'=90°∙

∙.∙α=45°,

.∙.ZAOA'=ZBOB'=45°.得ZBVE=45°.

在RtqAOo中，A'D=A'O-sinZA'OD=√6,OD=A'OcosZA'OD=√6.

在RtB'OE中，B'E=B'O-sinAB'OE=√2-OE=B'O-cosZB'OE=√2.

.∙.点A的坐标为(瓜㈣，点、B，的坐标为(-√2,√2).

【小问2详解】

如图，过点C作Cr_Lx轴，垂足为F∙

(^)Λ-

tanAABO=----=√3r，

OB

：.ZABO=60°.

由旋转得NB'=ZABO=60°.

∙∙,OB=OB<

：.NB'BO=NB'=60°.得ABOB'=60°.

，NBOC=30o,ZBCO=90°.

.∙.OC=√3,ZAOA'=60°.

在RtaCQ尸中，CF=C(9∙sinZCOF=-,OF=CO-cosZCOF=—

2