2023年福建省福州某中学高二数学第二学期期末预测试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/(x)=e2，/nx,为f(x)的导函数，则广⑴的值为()

A.0D.e2

2.在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为()

314

A.—B.—C.—D*

535

3.设函数/(力是定义在R上的奇函数，且当x〉0时，/(x)=lnx,

c=/(3),则a,b,c的大小关系为()

A.c>h>aB.h>c>aC.h>a>cD.

4.已知函数/(x)=(3x-2)e-^mx-m-1),若有且仅有两个整数使得/(x)W0,则实数小的取值范围是

5.已知。€{-1,2,；,3,；卜若/(乃=£为奇函数，且在(0,+8)上单调递增，则实数"的值是()

A.-1,3B.—,3C.—1,—,3D.—,一,3

332

6.己知复数;:满足(l—2i)z=5,则目=

A.l+2zB.J5C.5D.25

7.某市一次高二年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N(84,〃),且P(78<XW84)=0.3,则

>90)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

8.已知J~5(4,—)，并且〃=24+3,则方差5=()

9.若随机变量}服从正态分布N(4,9),则P(l<0413)=()

参考数据：若则P(〃一5<自<〃+5)=0.6826,P(〃—25<寸<"+25)=0.9544,

尸(〃一35<彳<〃+3R=0.9974

A.0.84B.0.9759C.0.8185D.0.6826

10.在；-中，，”=已「现将」•绕二•所在直线旋转至p设二面角n二,-_的大小为一，口,二与

乙ICB=三_

2

平面空匚所成角为久，PC与平面二一三所成角为广若：二F则()

Ac-

a>9B.a0*.

4IL2

11.若函数/(幻=/+0+111》在％=1处取得极小值，则f(x)的最小值为()

X

A.3B.4C.5D.6

12.设复数z=—l—i,彳是z的共朝复数，则z-Q+2)的虚部为

A.-2zB.2iC.-2D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.圆柱的高为1,侧面展开图中母线与对角线的夹角为60°,则此圆柱侧面积是.

(ahb

14.设¥=(a,b,c,deR,/?=<?}>,S,=<a,b,c,deR,a^d=6+c=0}.已知矩阵

\cd)d

(24、

\=A+B,其中AeS1,BGS,,那么8=________.

(68J

15.在(2x+±)的二项式中，常数项等于(结果用数值表示).

16.已知三棱锥4-8。的顶点都在球。的表面上，S.ABLBC,BCLCD,ABA.CD,^AB=\,BC=0,CD=6,

则球。的表面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个

231

等级.若海选合格记1分，海选不合格记0分.假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为彳,：,彳，他们海选合格与不

342

合格是相互独立的.

(1)求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率;

（2）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量九求随机变量4的分布列和数学期望E&.

\x=2+t,

18.（12分）在平面直角坐标系X。），中，直线/的参数方程为〈厂（（为参数），曲线C的参数方程为

[y=1+J3f

x=4+2cos。

\.c.八（。为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系•

y=3+2sin，

（1）求C的极坐标方程；

（2）设点M（2,l）,直线/与曲线。相交于点A,6,求|版的值.

19.（12分）在四棱锥尸-A8C。中，底面A3CD是矩形，融_1_平面ABC。，A4=4）=4，AB=2,

以AC的中点。为球心，AC为直径的球面交PD于点交PC于点N.

（1）求证：平面45M_L平面PCO；

（2）求直线CO与平面4cM所成角的大小；

（3）求点N到平面ACM的距离.

20.（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点尸1,后在x轴上，椭圆C短轴端点和焦点所组成的四边形为正方

形，且椭圆C短轴长为1.

（1）求椭圆C的标准方程.

TT

（1）尸为椭圆C上一点，且户1=》，求△尸尸1尸1的面积.

6

21.（12分）推广组合数公式，定义C：=NxT）L（•*—〃?+1）,其中xeR,meN*,且规定。心=1.

（1）求c=的值;

（J3

（2）设X〉O,当X为何值时，函数/（x）=K/取得最小值?

22.（10分）环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数（指数采取10分制，保留一位小数），现随

机抽取20天的指数（见下表），将指数不低于8.5视为当天空气质量优良.

天数12345678910

空气质

7.18.37.39.58.67.78.78.88.79.1

量指数

天数11121314151617181920

空气质

7.48.59.78.49.67.69.48.98.39.3

量指数

(1)求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；

(2)以这20天的数据估计我市总体空气质量(天数很多)，若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用X表

示抽到空气质量为优良的天数，求X的分布列及数学期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据题意，由导数的计算公式求出函数的导数，将x=l代入导数的解析式，计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，f(x)=e2x-\nx,

2x

则/Xx)=(e2j)7/ir+e2i\bvc)'=2e2x.lnx+—,

X

2x1

则/,(l)=2e2x7Ml+—=e2；

故选：D.

【点睛】

本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题.

2、A

【解析】

求出基本事件的总数和恰有1件次品包含的基本事件个数即可.

【详解】

在含有2件次品的6件产品中任取3件，基本事件的总数为：Cl=20

恰有1件次品包含的基本事件个数为=12

123

在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为一=一

205

故选：A

【点睛】

本题考查的是古典概型及组合的知识，较简单.

3、A

【解析】

分析：根据x>0时f（x）解析式即可知f（x）在（0,+oc）上单调递增，由f（x）为奇函数即可得出8=/（/即62）,

然后比较g）包log^2,和3的大小关系，根据f（x）在（0,+8）上单调递增即可比较出a,b,c的大小关系.

详解：x>0时，f（x）=lnx；

Af（x）在（0,+oo）上单调递增；

Vf（x）是定义在R上的奇函数；

b=-/（初逐g）=/卜。g舄）=/（例62）；

\<log^2<2,0<（1）^<1；

.•.0V（g）J/og32V3；

“（口心卜（明2）7⑶；

Aa<b<c；

即c>b>a.

故选A.

点睛：利用指数函数对数函数及募函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底

数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幕函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进

行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小.

4、B

【解析】

设g（x）=（3x-2）e',利用导数研究其单调性，作出图象，再由〃（力=-侬+，〃恒过定点（1,0）,数形结合得到答案.

【详解】

设g（x）=（3x—2）e，,h^x^--mx+m,

则g'(x)=e"(3x+l),

二.xe[-8,-g),g'(x)<0,g(x)单调递减,

xe[-；,+oo),g'(x)>0,g(x)单调递增，

••.x=-g，8(*)取最小值_3「(，

直线y=—/nx+加过定点(1,0),

而B卜㈢,《-吟)

5§

n_e_5,j_e1_8

3-5=五矶=丁=费

二要使有且仅有两个整数使得/(X)<0,

Q558

则参<T〃"宏’即一五功<一彳

故选B项.

本题考查利用导数研窕函数的单调性，考查函数零点的判定，属于中档题.

5、B

【解析】

先根据奇函数性质确定a取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.

【详解】

因为,f(x)=x"为奇函数，所以ae,1,3,9

因为/(x)在(0,位)上单调递增，所以

因此选B.

【点睛】

本题考查易函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.

6、B

【解析】

先计算复数z再计算目.

【详解】

(l-2z)z=5=>z=—=1+2/

1-2/

|Z|=A/12+22=75

故答案选B

【点睛】

本题考查了复数的化简，复数的模，属于基础题型.

7、A

【解析】

根据正态分布的对称性求出P(於90),即可得到答案.

【详解】

••,X近似服从正态分布N(84,M),

P(78<X484)=0.3.

二P(X>90)=-(l-2x0.3)=0.2,

故选：A.

【点睛】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，抓住正态分布曲线的对称性即可解题，属于基础题.

8、A

【解析】

1198QO

试题分析：由J~B(4,g)得/)(^)=4x-x-=^.-.Dn=。(2自+3)=4。信)=三

考点：随机变量的期望

9、A

【解析】

根据题意可知，〃=4,5=3,所以P(1<J<13)=P(〃-5<44〃+35),

由公式即可求出.

【详解】

根据题意可知，〃=43=3,所以尸(l<J<13)=P(〃-3<jW〃+33)

P(4-b<I/+3m=P(〃-S<J<〃)+P(4<』W〃+3b)

尸(〃一S<J<〃+3)尸(〃-3S<J<〃+3b)0.6826+0.9974.、.

=--------------------------1-----------------------------=--------------------=0A.8O4J,故选A,

222

【点睛】

本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，意在考查数形结合思想，化归与转化思想的应用.

10、C

【解析】

由题意画出图形，由线面角的概念可得，’的范围，得到t正确，取特殊情况说明3,D错误.

【详解】

如图，

二:；二为等腰直角三角形，.4:5T将二二，二绕5匚所在直线旋车专至二PEU则PC_5T

可得me1平面PAC，二面角？一5C—A的大小6=41CP，

,二是平面.二-的一条斜线，则广，-与平面：:「垂直时，7•二与平面二-所成角最大，贝！1…的范围为，—，故厂正确

此时T，故,错误；

当与平面.-三二垂直时，三棱锥匚-P.T三满足C.-」6Cr，CP*CB1CP，CA=CB=CP，

贝3A=PB^AB'设4c=BC=贝3A=PB=.AB■=C在平面「匚的射影为,-一二的中心，

求得？，即nr与平面n、二所成角，的余弦值.,则，故C错误；

0P=yrcosp=Y>-T

当y无限接近0时，无限接近」，)二，故二错误.

综上，正确的选项是「

故选：「

【点睛】

本题考查空间角及其求法，考查空间想象能力与思维能力，属难题.

11、B

【解析】

先对函数求导，根据题意，得到。=3,再用导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果.

【详解】

因为/(x)=无2c+—CI+]nx,

x

所以八x)=2x-乌+L

x~X

又函数f(x)=x2+@+lnx在x=l处取得极小值，

X

所以/'(1)=2-。+1=0,所以。=3,

因此f'Q)=2x--+-=21+x-3=2d)=(2-2+2x+3)d),

X2XX2X2X2

由/'*)>()得x>l；由/'(x)<o得0<x<l,

所以函数fW在(0,1)上单调递减，在(1,4w)上单调递增；

所以/(X)min=/(D=l+3=4;

故选B

【点睛】

本题主要考查导数的应用，根据导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.

12、C

【解析】

由z=—l—i,得]=—i+i，代入z-Q+2),利用复数的代数形式的乘除运算，即可求解.

【详解】

由题意，复数z=—1—i,得z=—1+i，

则z-(2+2)=(—1—i)(—I+i+2)=-2i,所以复数z•仁+2)的虚部为—2,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了共甄复数的概念，以及复数的代数形式的运算，其中解答中熟记复数的基本概念，以及复数的运算法

则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、百

【解析】

根据圆柱结构特征可知侧面展开图为矩形，利用正切值求得矩形的长，从而可得侧面积.

【详解】

圆柱侧面展开图为矩形，且矩形的宽为1

二矩形的长为：lxtan60=A/3圆柱侧面积：S=1又上=上

本题正确结果：V3

【点睛】

本题考查圆柱侧面积的相关计算，属于基础题

fO

14、

Uoj

【解析】

根据条件列方程组，解得结果.

【详解】

(ah\<0—c)「24、(ab-c\

由定义得A=,,,8=八，所以=A+B=

[bd)"0)口58J1人+cd,

a=2a=2

〃_c=4b=5(0-1>

B-

h+c-6c=l(10,

d=8[d=8

<0

故答案为：

JuJ

【点睛】

本题考查矩阵运算，考查基本分析求解能力，属基础题.

15、140

【解析】

写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求.

【详解】

（1，1Y

由2x+r得J=C；（2X）6-•—=26，C；•产3r由6-3r=0,得r=l.

kxJ\x

：.常数项等于24xC；=240,故答案为140.

【点睛】

本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题.

16、67r.

【解析】

根据题意画出图形，结合图形把三棱锥A-BCD补充为长方体，则该长方体的外接球为三棱锥的外接球，计算长方体

的对角线长，求出外接球的直径，利用球的表面积公式，即可求解.

【详解】

如图所示，以48,8。和C。为棱，把三棱锥A补成一个长方体,

则该长方体的长宽高分别为1,0,百，此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球,

且长方体的对角线长为I=JF+（扬2+（我2=限,

即2R=痛，即/?=逅，

2

所以外接球的表面积为S=4%R2=4»X（远）2=6兀.

2

【点睛】

本题主要考查了多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中以A3,3C和为棱，把三棱锥A-BCO补成一个长

方体，此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(2)J的分布列为

0121

16116

P

24242424

【解析】

试题分析：概率与统计类解答题是高考常考的题型，以排列组合和概率统计等知识为工具，主要考查对概率事件的判

断及其概率的计算，随机变量概率分布列的性质及其应用：对于(1),从所求事件的对立事件的概率入手即

P(E)=1-P(ABC)；对于(2),根据J的所有可能取值：0,1,2,1；分别求出相应事件的概率P,列出分布列，

运用数学期望计算公式求解即可.

(1)记“甲海选合格，，为事件A,“乙海选合格”为事件B,“丙海选合格”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名海选合格”

为事件E.

----11123

P(E)=\-P(ABC)=\——x-x-=—.

34224

----1

(2)&的所有可能取值为0,l,2,LP^=O)=P(ABC)=—;

61

P$=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=一-4-

214

P/=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=;

24

PC=3)=P(ABC)=£=；.

所以J的分布列为

0121

P111

44

2424

^=0x—+lxi+2x—+3x123

244244

考点：离散型随机变量的概率、分布列和数学期望.

18、(1)22一8夕cos。-6/?sin6+21=0；(2)4.

【解析】

(1)直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果.

(2)利用直线的参数方程的转换，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果.

【详解】

x=4+2cos0/、)/s

(1)由参数方程.c.八，得普通方程(x-4)-+(y—3)-=4,

y=3+2sin07x

所以极坐标方程p?-8pcos9-6psin0+21=0.

x=2+/,

(2)设点A,B对应的参数分别为it2,将K+技代入得(x-4)2+(y_3)2=4

得t2—(6+l)t+l=0所以tU=l,

x=24—x2/,

X=2+Z,2

直线1：＜(t为参数)可化为

y=1+>/3zy-\+^-x2t

2

所以IMA|.|MB|=|2可|2t21=4|t&I=4.

【点睛】

本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考

查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.

19、(1)证明见解析.

⑵^=arcsin—

3

5,105/6

⑶—h=---

927

【解析】

分析：(I)要证平面ABMJ_平面PCD,只需证明平面PCD内的直线PD,垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB

即可；(II)先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h,即可求直线PC与平面ABM所成的角；(HI)先根据条

件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的焉，设点P到平面ACM距离为h,再利用第二问的结论即可得到答

案.

详解：

(1)AC是所作球面的直径，AMLMC,R4JL平面A8CD,则R4J_C〃，XCDA.AD,

平面PAD,则CDLAM,平面PCD,二平面A8M_L平面PCD；

(2)AM=2也，MC=26，SACM=2瓜设。到平面ACM的距离为人

由%-Ac,w=VW-ACD，求得h=，,sin6=-^-=—0=arcsin;

23"CD33

(3)PC=6,—=—,：.PN=-,：.NC:PC=5:9,所求距离之。=1^.

PAPC3927

点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距

离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面

角即可.

2

2

20、(1)~+y=li(1)2-6

【解析】

(1)由已知可得关于。，4C,的方程组，求得凡。的值，即可得到椭圆的方程；

(1)在△耳P&中，由已知结合椭圆的定义及余弦定理和三角形的面积公式，即可求解.

【详解】

22

(1)设椭圆的标准方程为二+4

=l（a＞。＞0）,

a2b2

•••椭圆。的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆。短轴长为1,

b=c

•••卜=1,解得，/=2,〃=],

a2=b2+c2

二椭圆。的标准方程为]+y2=i.

(1)由椭圆定义知怛用+仍可=2及①

又Nf；P鸟=巳，由余弦定理得也|2―2归耳|尸段85弓=4②

联立①②解得|P£||「居|=4(2-G)

所以三角形£尸居的面积=g|3||Pg|sinE=2一百

【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义的应用，标准方程的求解，以及几何性质的应用，其中解答熟练应用椭圆的焦点三角形,

以及余弦定理和三角形的面积公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

C3

21、(1)-680；(2)当》=&时，厂中取得最小值.

【解析】

(1)根据题中组合数的定义计算出C)的值；

(2)根据题中组合数的定义求出函数=+然后利用基本不等式求出函数y=/(x)的最小值，并

计算出等号成立对应的x的值.

【详解】

(1)由题中组合数的定义得e=㈢5)(]"一⑺=-680；

C3x(x-l)(x-2)

(2)由题中组合