中考数学二轮复习考点提分特训专题08 圆与几何综合问题（解析版）

专题08圆与几何综合问题一、【知识回顾】【思维导图】二、【考点类型】考点1：切线的判定典例1：（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0边于点D、F．过点D作SKIPIF1<0于点E(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)若SKIPIF1<0半径为5，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）连接SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，可证SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的半径，可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，根据垂径定理可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得四边形SKIPIF1<0为矩形，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的半径．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线．（2）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为矩形，

SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的长为2．【点睛】本题考查的是切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握切线的判定定理、垂径定理是解题的关键．【变式1】（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，SKIPIF1<0是⊙O的直径，四边形SKIPIF1<0内接于⊙O，D是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点E．(1)求证：SKIPIF1<0是⊙O的切线；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)1【分析】（1）要证明SKIPIF1<0是⊙O的切线，所以连接SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0即可，根据已知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以只要证明SKIPIF1<0即可解答；（2）由（1）可得SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，所以想到过点D作SKIPIF1<0，垂足为F，进而证明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，易证SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，然后进行计算即可解答．【详解】（1）证明：连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是⊙O的半径，SKIPIF1<0是⊙O的切线．（2）过点D作SKIPIF1<0，垂足为F，由（1）得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0内接于⊙O，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，圆内接四边形性质，全等三角形的证明，添加辅助线是解题的关键．【变式2】（2021·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径是4.5【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于⊙O，得SKIPIF1<0，再根据等量代换和直角三角形的性质可得SKIPIF1<0，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O作SKIPIF1<0于G，连接OC，OD，则SKIPIF1<0，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵OC是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线；（2）解：如图2，过点O作SKIPIF1<0于G，连接OC，OD，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴四边形OGEC是矩形，∴SKIPIF1<0，设⊙O的半径为x，Rt△CDE中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴⊙O的半径是4.5．【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．【变式3】（2023·四川泸州·统考一模）如图，已知SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0的平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半径和SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)15，SKIPIF1<0【分析】（1）由圆周角定理及已知条件进行等量代换，然后利用内错角相等两直线平行证明即可．（2）利用角平分线及圆周角定理得出SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，再利用垂径定理及平行线的性质推导得出SKIPIF1<0为直角，即可证明．（3）先证明SKIPIF1<0，然后利用勾股定理计算得出SKIPIF1<0的长，再利用平行线所截线段成比例求出SKIPIF1<0．【详解】（1）证明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）证明：连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的半径，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（3）解：如图，设SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的半径为15；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．方法二：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的半径为15；求SKIPIF1<0长的步骤同上．【点睛】本题主要考查平行的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，切线的证明以及相似三角形，掌握切线的证明，相似三角形的判定及计算是解决本题的关键．考点2：与线段有关的问题典例2：（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷）如图，以SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0为直径作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长度．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由四边形SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，根据已知SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，等量代换得出SKIPIF1<0，根据等角对等边，即可得证；（2）根据SKIPIF1<0为直径，得出SKIPIF1<0，根据已知以及（1）的结论，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，根据SKIPIF1<0相等，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：如图所示，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为直径，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．【变式1】（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为切点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．求证：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据切线长定理得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据三线合一得出SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，得出SKIPIF1<0，即可得证；（2）根据（1）的结论得出SKIPIF1<0，进而得出SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0，即可得证．【详解】（1）证明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）证明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了切线长定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．【变式2】（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0上的一动点．(1)当SKIPIF1<0的度数为多少时，SKIPIF1<0；(2)若以动点P为切点的切线为SKIPIF1<0，那么当SKIPIF1<0的度数为多少时，切线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0一边平行？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根据三角形内角和定理可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，再由圆周角定理，即可求解；（2）分三种情况：当SKIPIF1<0时，连接SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并反向延长SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点E；当SKIPIF1<0时，反向延长SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点F，连接SKIPIF1<0，结合切线的性质，垂径定理以及圆周角定理，即可求解．【详解】（1）解：在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（2）解：①如图2，当SKIPIF1<0时，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0切SKIPIF1<0于点P，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是半径，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②如图3，当SKIPIF1<0时，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并反向延长SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点E，∵SKIPIF1<0切SKIPIF1<0于点P，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；③如图4，当SKIPIF1<0时，反向延长SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点F，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0切SKIPIF1<0于点P，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；终上所述，SKIPIF1<0的度数为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，垂径定理，三角内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理，切线的性质，垂径定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．【变式3】（2023春·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考阶段练习）如图，在SKIPIF1<0中，直径为SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0的四个顶点分别在半径SKIPIF1<0、SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0上，并且SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长度；(2)若半径是5，求正方形SKIPIF1<0的边长．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由四边形SKIPIF1<0为正方形，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，再连接SKIPIF1<0，构造直角三角形，求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径，可得SKIPIF1<0．（2）证出SKIPIF1<0是等腰直角三角形，得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，再根据勾股定理求出SKIPIF1<0的长即可．【详解】（1）解：SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为直角三角形，∴SKIPIF1<0，∴即SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0．【点睛】此题考查了圆的性质，正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是证出SKIPIF1<0是等腰直角三角形，得出SKIPIF1<0，作出辅助线，利用勾股定理求解．考点3：与角度有关的问题典例3：（2022·北京·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一条弦，SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0(1)求证：SKIPIF1<0(2)连接SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求证：直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）设SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0；（2）连接AD，解出SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0为直径得到SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，即可证明SKIPIF1<0，故可证明直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线．【详解】（1）证明：设SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由题可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）证明：连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．【变式1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径作⊙SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0边于点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，作射线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0边于点SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)BF=5，SKIPIF1<0【分析】（1）根据SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根据SKIPIF1<0，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；（2）根据∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF=SKIPIF1<0AB，根据SKIPIF1<0，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，连接CD，根据BC是⊙O的直径，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，根据∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0．【详解】（1）解：∵SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，∵SKIPIF1<0，∴∠B=∠BCF，∴∠A=∠ACF；（2）∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF∴AF=CF，BF=CF，∴AF=BF=SKIPIF1<0AB，∵SKIPIF1<0，AC=8，∴AB=10，∴BF=5，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，∴∠FDE=∠B，∴DE∥BC，∴△FDE∽△FBC，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．【变式2】（2021·北京·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）连接SKIPIF1<0并延长，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的半径为5，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见详解；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】（1）由题意易得SKIPIF1<0，然后问题可求证；（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】（1）证明：∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的半径为5，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．【变式3】（2020·上海·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC=2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BCD的值为67.5°或72°；（3）SKIPIF1<0．【分析】(1)连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．(2)分三种情形：①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．(3)如图3中，作AESKIPIF1<0BC交BD的延长线于E．则SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，设OB=OA=4a，OH=3a，根据BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，构建方程求出a即可解决问题．【详解】解：(1)连接OA，如下图1所示：∵AB=AC，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO．∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．(2)如图2中，延长AO交BC于H．①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=67.5°．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述：∠C的值为67.5°或72°．(3)如图3中，过A点作AESKIPIF1<0BC交BD的延长线于E．则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，且BC=2BH，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，设OB=OA=4a，OH=3a．则在Rt△ABH和Rt△OBH中，∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，∴25-49a2=16a2﹣9a2，∴a2=SKIPIF1<0，∴BH=SKIPIF1<0，∴BC=2BH=SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．考点3：与三角函数有关的计算典例3：（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，SKIPIF1<0．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求AB的长．【答案】(1)见解析；(2)SKIPIF1<0．【分析】（1）连接OC，利用三角形的外角定理得到：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可证明SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，进一步可得SKIPIF1<0；（2）分析可得：SKIPIF1<0，再利用同弧所对圆周角相等可知：SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求出AB．【详解】（1）证明：连接OC，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接AC，BC，∵BE是⊙O的直径，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，第（1）问证CD是⊙O的切线，关键是证明SKIPIF1<0；第（2）问的关键是证明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【变式1】（2020·广西柳州·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．（1）求证：△ACD∽△CFD；（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；（3）若sin∠CAD＝SKIPIF1<0，求tan∠CDA的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）SKIPIF1<0．【分析】（1）由垂径定理得SKIPIF1<0，由圆周角定理得∠CAD＝∠FCD，再由公共角∠ADC＝∠CDF，即可得出△ACD∽△CFD；（2）连接OC，由圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠ABC+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性质得∠OBC＝∠OCB，证出∠OCB＝∠GCA，得出∠OCG＝90°，即可得出结论；（3）连接BD，由圆周角定理得∠CAD＝∠CBD，则sin∠CAD＝sin∠CBD＝SKIPIF1<0，设DE＝x，OD＝OB＝r，则OE＝r﹣x，BD＝3x，由勾股定理得BE＝SKIPIF1<0，则BC＝2BE＝SKIPIF1<0，在Rt△OBE中，由勾股定理得(r﹣x)2+(SKIPIF1<0)2＝r2，解得r＝SKIPIF1<0，则AB＝2r＝9x，由勾股定理求出AC＝7x，由三角函数定义即可得出答案．【详解】（1）证明：∵OD⊥BC，∴SKIPIF1<0,∴∠CAD＝∠FCD，又∵∠ADC＝∠CDF，∴△ACD∽△CFD；（2）证明：连接OC，如图1所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠CDA＝∠OBC，∠CDA＝∠GCA，∴∠OCB＝∠GCA，∴∠OCG＝∠GCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝90°，∴CG⊥OC，∵OC是⊙O的半径，∴CG是⊙O的切线；（3）解：连接BD，如图2所示：∵∠CAD＝∠CBD，∵OD⊥BC，∴sin∠CAD＝sin∠CBD＝SKIPIF1<0，BE＝CE，设DE＝x，OD＝OB＝r，则OE＝r﹣x，BD＝3x在Rt△BDE中，BE＝SKIPIF1<0，∴BC＝2BE＝SKIPIF1<0,在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2，即(r﹣x)2+(SKIPIF1<0)2＝r2，，解得：r＝SKIPIF1<0，∴AB＝2r＝9x，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴AC2+(SKIPIF1<0)2＝(9x)2，∴AC＝7x或AC＝﹣7x（舍去），∴tan∠CDA＝tan∠CBA＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定，三角函数等知识．本题综合性比较强，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键．【变式2】（2020·北京·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=SKIPIF1<0，BD=8，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【分析】（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明；（2）设半径为r，根据在Rt△OCD中，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，AC=2r，由AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得SKIPIF1<0，求出OE，SKIPIF1<0，求出OF，即可求出EF．【详解】（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF；（2）设半径为r，在Rt△OCD中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴SKIPIF1<0，∴OE=4，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键．【变式3】（2022·四川成都·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．(1)求证：HF是⊙O的切线；(2)若SKIPIF1<0，BM=1，求AF的长．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）连接OF，根据CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG=∠AGE，然后根据OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求证；（2）连接BF，先证得△BFM∽△FAM，可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，可得OM=5，AM=9，AB=8，FM=3，从而得到SKIPIF1<0，然后由勾股定理，即可求解．【详解】（1）证明：连接OF，∵CD⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠A+∠AGE=90°，∵HG=HF，∴∠HFG=∠HGF，∵∠HGF=∠AGE，∴∠HFG=∠AGE，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA，∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，∴HF是⊙O的切线；（2）解：如图，连接BF，由（1）得：∠OFM=90°，∴∠BFO+∠BFM=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠A+∠ABF=90°，∵OB=OF，∴∠ABF=∠BFO，∴∠BFM=∠A，∵∠M=∠M，∴△BFM∽△FAM，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵BM=1，OB=OF，∴SKIPIF1<0，解得：OF=4，∴OM=5，AM=9，AB=8，∴FM=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，理解锐角三角函数是解题的关键．巩固训练一、单选题1．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0与弦SKIPIF1<0的延长线交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据示意图结合已知条件可得出SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0，计算即可得出答案．【详解】解：∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故选：A．【点睛】本题考查的知识点是圆的综合题目，根据示意图得出SKIPIF1<0是解此题的关键．2．（2023春·九年级课时练习）已知SKIPIF1<0过正方形SKIPIF1<0顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0相切，若正方形边长为SKIPIF1<0，则圆的半径为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中根据勾股定理即可得到一个关于半径的方程，即可求得．【详解】解析：如图，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设圆的半径是SKIPIF1<0，则在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：B．【点睛】本题主要考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理，在圆的有关半径、弦长、弦心距之间的计算一般要转化为直角三角形的计算．3．（2017·山东青岛·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为()A．100° B．110° C．115° D．120°【答案】B【分析】连接AD，BD，由圆周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，从而可求得∠BAD＝70°，再由圆的内接四边形对角互补得到∠BCD=110°.【详解】如下图，连接AD，BD，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°-20°=70°，∴∠BCD=180°-70°=110°.故选B【点睛】本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键.4．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．且DC＋DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于(

)A．8 B．12 C．16 D．18【答案】B【分析】过O作OF⊥AB，垂足为F，连接OC，根据圆的基本性质和角平分线的定义，可得∠DAC=∠OCA，从而得到OC⊥CD，得到四边形DCOF为矩形，从而得到OC=FD，OF=CD，然后设AD=x，则OF=CD=12-x，AF=10-x，在Rt△AOF中，由勾股定理得到AD=4，从而得到AF=6再由垂径定理，即可求解．【详解】解：过O作OF⊥AB，垂足为F，连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO，∴∠DAC=∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥PA，∴OC⊥CD，∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC=FD，OF=CD，∵DC+DA=12，设AD=x，则OF=CD=12-x，∵⊙O的直径为20，∴DF=OC=10，∴AF=10-x，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2，即（10-x）2+（12-x）2=102，解得：SKIPIF1<0（不合题意，舍去），∴AD=4，∴OF=8，∴SKIPIF1<0，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=12．故选：B【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．5．（2018秋·湖北武汉·九年级统考期中）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于E，∠E＝30°，交AB于点D，连接AE，则S△ADC∶S△ADE的比值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】C【详解】试题解析：过C作CF⊥AB于F，连接OE，设AC=a，∵AB是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵CE平分∠ACB交O于E,∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,∴OE⊥AB，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选C.6．（2022春·九年级课时练习）如图，圆SKIPIF1<0的两条弦SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的延长线交于点SKIPIF1<0，下列结论中成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<