【数学】棱柱、棱锥、棱台学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课题：第八章立体几何初步8.1.1棱柱、棱锥、棱台班级——————姓名——————一．学习目标1.通过计算机模拟或者利用实物概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；2.能用数学语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征；3.能表示有关几何体以及进行棱柱、棱锥、棱台的分类。4.通过对棱柱、棱锥、棱台的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。二．问题与例题总结1：在初中我们都学习过那些几何图形呢，空间几何图形都有哪些？【讨论】下列物体（教材第97页图8.1-1)具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？归纳出空间几何体概念：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体（spacegeometry）．问题2：我们怎么来进一步规范的描述和定义这些空间几何体?先讨论一个问题：组成空间几何体的元素有那些？从运动的角度来思考：点动成线，线动成面，面动成体规范定义：类别定义图示多面体一般地，由若干个围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个叫做多面体的面；两个面的叫做多面体的棱；的公共点叫做多面体的顶点旋转体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的旋转所形成的叫做旋转面，的旋转面围成的几何体叫做旋转体．叫做旋转体的轴问题3：棱柱、棱锥、棱台的结构特征多媒体演示，棱柱、棱锥、棱台的形成过程；（概念生成）定义相关概念棱柱一般地，有两个面互相，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都，由这些面所围成的多面体叫做棱柱四棱柱ABCD－A′B′C′D′棱锥一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥四棱锥S－ABCD棱台用一个棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台四棱台ABCD－A′B′C′D′例1将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体．解：如图8.1-9所示．三课堂新知运用教材练习展示P101第1，2，3题四随堂测试（40分钟）批改日期：评价：一、单选题1．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（

）A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5）C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）【答案】A【分析】根据棱柱的定义分析判断即可.【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，所以棱柱有（1）（3）（5）.故选：A.2．平行六面体的两个对角面与都是矩形，则这个平行六面体是（

）．A．正方体 B．长方体 C．直平行六面体 D．正四棱柱【答案】C【分析】利用多面体的结构特征可得出答案.【详解】，项为真项为真项为真项为真，A，B，D三项均假，所以C项为真.故选：C.3．已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（

）A． B． C．8 D．【答案】A【分析】根据题意画出图象，结合图象利用勾股定理求解.【详解】如图：正四棱锥的底面积为64，则，又顶点在在底面上的射影是四边形的中心，过点作于，连接，则，又侧棱长为，所以该四棱锥的高为.故选：A.4．下列命题中正确的是（

）A．有两个面平行，其余各面都是平行四边行的多面体叫做棱柱B．以圆的直径为轴，将圆面旋转180度形成的旋转体叫球C．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫棱锥【答案】B【分析】根据棱柱，棱台，棱锥，球的定义或举反例判断即可.【详解】对于A,如图所示不表示棱柱，故不正确；对于B，以圆的直径为轴，将圆面旋转180度形成的旋转体叫球，故正确；对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，故不正确；对于D，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体，故不正确；故选：B.5．下列说法正确的是（

）A．底面是正方形的四棱柱是正方体B．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥【答案】B【分析】根据几何体的定义判断即可.【详解】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方体，故A错误；当棱锥的底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等时，棱锥的顶点在底面的投影是底面的中心，所以该棱锥是正棱锥，故B正确；用一个平行于底面的平面截圆锥，可以得到一个圆锥和一个圆台，故C错误；有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故D错误.故选：B.6．如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为，根据比例关系得到.【详解】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为，则，，所以，即．故选：A．7．如图，把咱们教室看作是一个正六棱柱，过教室墙面上的三点作一个截面，得到一个几何体，若已知的高度依次为，则的高度之和为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设正六边形中心为，设到截面的距离为，由题意利用中位线性质可得，进一步反复利用中位线性质即可求解.【详解】设正六边形中心为，则可得四边形是菱形，记菱形对角线交点为，设到截面的距离为，其中为的中心，设与交于点，连接，易得为与的中点，由题意以及梯形的中位线性质可得，解得，又的中点为，所以，所以，同理，解得，，解得，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是利用中位线定理列方程求长度，由此即可顺利得解.8．在正方体的8个顶点中任取4个点，能构成正三棱锥的个数为（

）A．16个 B．12个 C．10个 D．8个【答案】C【分析】根据正方体以及正三棱锥的结构特征分析判断.【详解】如图，以为顶点，可知三棱锥为正三棱锥，符合题意，此类三棱锥共有8个；可知三棱锥为正三棱锥，符合题意，此类三棱锥共有2个；其余情况均不合题意，所以符合条件的正三棱锥的个数为.故选：C.二、多选题9．下面关于空间几何体叙述正确的是（）A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．正四棱柱都是长方体D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥【答案】CD【分析】由正棱锥的定义判断A，由棱台的定义判断B，由正四棱柱的定义判断C，由圆锥的定义判断D.【详解】对于A，底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A错误；对于B，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，故B错误；对于C，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C正确；对于D，根据圆锥的定义可知D正确.故选：CD三、填空题10．如图，已知正方体棱长为2，其内壁是十分光滑的镜面.一束光线从点射出，在正方体内壁经平面反射，又经平面反射后，到达的中点，则该光线所经过的路径长为.【答案】【分析】易得光线从点射出通过两次反射到达点，则其路径在平面内，设光线在平面和平面内的反射点分别是，在矩形中，过点作于点，利用相似比及勾股定理求出即可.【详解】如图①，光线从点射出通过两次反射到达点，则其路径在平面内，设光线在平面和平面内的反射点分别是，如图②，在矩形中，，过点作于点，则，故，则，所以，则，所以，，所以该光线所经过的路径长为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：明确入射光线和反射光线是共面的，都在平面内，是解决本题的关键.11．数学中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard

Euler）发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数V.棱数E.面数F之间，都满足关系式，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为【答案】12【分析】根据几何体的结构特征结合“欧拉公式”运算求解.【详解】因为二十面体的每个面均为三角形，每条棱都是两个面共用，所以棱数