山东省菏泽市牡丹区北城中学高二数学理上学期期末试卷含解析

山东省菏泽市牡丹区北城中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.甲袋内有大小相同的8个红球和4个白球，乙袋内有大小相同的9个红球和3个白球，从两个袋中各摸出一个球，则为（

）A.2个球都是白球的概率

B.2个球中恰好有1个白球的概率C.2个球都是红球的概率

D.2个球中恰好有1个红白球的概率参考答案：B略2.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前项和为286，则项数为（

）A．24

B．26

C．27

D．28参考答案：B3.经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D略4.函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2f′（2）﹣3x，则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）=f（1） B．f（﹣1）＞f（1） C．f（﹣1）＜f（1） D．不确定参考答案：B【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．【分析】因为函数关系式中的f′（2）为常数，先求出导函数f′（x）令x=2求出f′（2），即可得到f（x），把1和﹣1代入即可比较f（﹣1）与f（1）的大小关系．【解答】解：f′（2）是常数，∴f′（x）=2xf′（2）﹣3?f′（2）=2×2f′（2）﹣3?f′（2）=1，∴f（x）=x2﹣3x，故f（1）=1﹣3=﹣2，f（﹣1）=1+3=4．故选B．5.若直线y=k（x+4）与曲线x=有交点，则k的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）参考答案：A考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；数形结合；直线与圆．分析：求得直线恒过定点（﹣4，0），曲线x=即为右半圆x2+y2=4，作出直线和曲线，通过图象观察，即可得到直线和半圆有交点时，k的范围．解答：解：直线y=k（x+4）恒过定点（﹣4，0），曲线x=即为右半圆x2+y2=4，当直线过点（0，﹣2）可得﹣2=4k，解得k=﹣，当直线过点（0，2）可得2=4k，解得k=．由图象可得当﹣≤k≤时，直线和曲线有交点．故选A．点评：本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．6.设（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，则a0+a1+a2+…+a11的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：A【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】本题由于求的是展开式右边a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11中a0+a1+a2+…+a11的和，所以可以利用赋值的办法令x+2=1，由此将x=﹣1代入展开式即可求出结果为﹣2．【解答】解：令x+2=1，所以x=﹣1，将x=﹣1代入（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11得[（﹣1）2+1]（﹣2+1）9=a0+a1+a2+…+a11；∴a0+a1+a2+…+a11=2×（﹣1）=﹣2．所以选A7.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是()

A．若则

B．若则

C．若，则

D．若，则参考答案：D8.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为

（

）A、

B、

C、

D、2参考答案：C9.设双曲线的一条准线与两条渐近线交于A．B两点，相应的焦点为F，若以AB为直径的圆恰好过F点，则双曲线的离心率为

（

）

A．

B．

C．2

D．

参考答案：D10.某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为（ ）A.2400 B.2700 C.3000 D.3600参考答案：C试题分析：（人），故选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a的值为

▲

.参考答案：略12.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．参考答案：(x-1)2+y2=4.【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.设P(x,y)，其中x,y∈N，则满足x+y≤4的点P的个数为________.参考答案：15个略14.抛物线在点P和Q处的切线斜率分别为1和－1，则。参考答案：解析：设过点p的抛物线的切线方程为y＝x+b①

则由题设知过点Q的抛物线的切线方程为y＝－x－b②

又设将①代入③

∴由直线①与抛物线相切得∴∴由③得

由此解得∴因此得15.极坐标系中，曲线和曲线相交于点，则线段的长度为

．参考答案：略16.抛物线的焦点坐标是__________.参考答案：17.在等差数列中，若公差d>0，则有，类比上述性质，在等比数列中，若公比，则满足的一个不等关系为________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）若函数的最小值为2，求实数a的值；（2）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：(1)或.(2)【分析】（1）利用绝对值不等式可得=2，即可得出的值.（2）不等式在上恒成立等价于在上恒成立，故的解集是的子集，据此可求的取值范围.【详解】解：（1）因为，所以.令，得或，解得或.（2）当时，.由，得，即，即.据题意，，则，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】（1）绝对值不等式指：及，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．19.（本小题满分10分）等差数列的前n项之和记为，等比数列的前n项之和记为已知，

(1)求数列和的通项公式(2)求和参考答案：（1）

，

；（2），

。20.（12分）如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的．梯形ABCD所在平面外有一点P，满足PA⊥平面ABCD，PA=AB．（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；（2）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．（3）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明平面PCD⊥平面PAC，只要证明CD⊥平面PAC，只要证明CD⊥AC、CD⊥PA即可；（2）当E是PA的中点时，取PD的中点G，连接BE、EG、CG，证明四边形BEGC是平行四边形，利用线面平行的判定可证BE∥平面PCD；（3）作FM⊥PD，连接CM，则可证∠CMF为二面角A﹣PD﹣C的平面角，求出FM、CM的长，即可得到二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的，∴AD=2BC作CF⊥AD，垂足为F，则F为AD的中点，且AD=2CF，所以∠ACD=90°∴CD⊥AC∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA又∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC；（2）E是PA的中点当E是PA的中点时，取PD的中点G，连接BE、EG、CG，则EG∥AD∥BC，EG=AD=BC∴四边形BEGC是平行四边形∴BE∥CG∵BE?平面PCD，CG?平面PCD∴BE∥平面PCD（3）解：作FM⊥PD，连接CM，则∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD∴平面PAD⊥平面ABCD∵CF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD∴CF⊥平面PAD∵FM⊥PD，∴CM⊥PD，∴∠CMF为二面角A﹣PD﹣C的平面角设CF=a，则在△PAD中，，∴FM=∴CM=∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为【点评】本题考查面面垂直，考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直、线面平行的判定定理，作出面面角．21.（本小题满分14）已知函数.(Ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率；(Ⅱ)求的单调区间；

（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.参考答案：解：(Ⅰ)由已知，.故曲线在处切线的斜率为.

(Ⅱ).

（Ⅲ）由已知，转化为.

,由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.)

当时，在上单调递增，在上单调递减，22.某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．

（ⅰ）将S表示为x的函数；

（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；函数解析式的求解及常用方法；频率分布直方图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20