湖南省衡阳市耒阳南京中学高二数学理测试题含解析

湖南省衡阳市耒阳南京中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示，点在平面外，，，、分别是和的中点，则的长是

▲

；参考答案：略2.过点且与曲线相切的直线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面a、β，则下列命题中的真命题是（） A． 若m⊥a，n⊥β，a⊥β，则m⊥n

B． 若m⊥a，n∥β，a⊥β，则m⊥n C． 若m∥a，n∥β，a∥β，则m∥n

D． 若m∥a，n⊥β，a⊥β，则m∥n参考答案：A4.在中，“”是“”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C5.函数y＝lg的定义域为(

)．A．{x｜x＜0}

B．{x｜x＞1}C．{x｜0＜x＜1}

D．{x｜x＜0或x＞1}参考答案：D6.已知圆柱的底面半径为2，高为3，用一个与底面不平行的平面去截，若所截得的截面为椭圆，则椭圆的离心率的最大值为A．1

B．

C．

D．参考答案：B略7.参考答案：B8.在△ABC中A(－4,0),B(4,0)，△ABC的周长是18，则定点C的轨迹方程是（

）．A． B． C． D．参考答案：D∵，，∴，又∵的周长为，∴，∴顶点的轨迹是一个以、为焦点的椭圆．则，，，∴顶点的轨迹方程为．故选．9.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（）分数12345人数2010401020A．3 B．2.5 C．3.5 D．2.75参考答案：A【考点】众数、中位数、平均数．【分析】利用加权平均数计算公式求解．【解答】解：设这100个成绩的平均数记为，则==3．故选：A．10.函数y=xlnx在区间（）A．（0，+∞）上单调递减 B．（，+∞）上单调递减C．（0，）上单调递减 D．（0，+∞）上单调递增参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，从而得到函数的单调区间．【解答】解：∵y′=x′lnx+x（lnx）′=lnx+1，令y′＞0，解得：x＞，令y′＜0，解得：0＜x＜，∴函数在（0，）递减，在（，+∞）递增，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：略12.曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．参考答案：【考点】导数的几何意义；直线的点斜式方程．【分析】先对函数进行求导，求出在x=1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．【解答】解：∵y=x3+x，∴y'=x2+1∴f'（1）=2在点（1，）处的切线为：y=2x﹣与坐标轴的交点为：（0，），（，0）S=，故答案为：．13.的值域为

参考答案：

14.不等式的解集是．参考答案：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）【考点】其他不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】不等式即即（x﹣3）（x+2）＞0，求得x的范围．【解答】解：不等式，即（x﹣3）（x+2）＞0，求得x＜﹣2，或x＞3，故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，属于基础题．15.设焦点是、的双曲线在第一象限内的部分记为曲线，若点都在曲线上，记点到直线的距离为,又已知，则常数___________．参考答案：略16.153与119的最大公约数为

．参考答案：17因为，所以153与119的最大公约数为17.答案：17

17.已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则

与的夹角为

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参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（18分）（2015秋?铜仁市校级月考）利用秦九韶算法分别计算f（x）=8x5+5x4+3x3+2x+1在x=2与x=﹣1时的值，并判断多项式f（x）在区间[﹣1，2]上有没有零点．参考答案：考点： 秦九韶算法．

专题： 函数的性质及应用；算法和程序框图．分析： 利用秦九韶算法即可得出f（2），f（﹣1）．再利用函数零点判定定理即可判断出多项式f（x）在区间[﹣1，2]零点情况．解答： 解：∵f（x）=8x5+5x4+3x3+2x+1=（（（（8x+5）x+3）x+0）x+2）x+1，当x=2时，v0=8，v1=8×2+5=21，v2=21×2+3=45，v3=45×2=90，v4=90×2+2=182，v5=182×2+1=365，即f（2）=365同理得：f（﹣1）=﹣7，∵f（﹣1）f（2）＜0，∴f（x）在区间[﹣1，2]上存在零点．点评： 本题考查了秦九韶算法、函数零点判定定理，属于基础题．19.（本题满分14分）如图，酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm.上口宽6cm,水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，求水升高的瞬时变化率.参考答案：(14分)解法一：设时刻ts时，杯中水的体积为Vcm3,水面半径为rcm,水深为hcm.则

2分

5分

7分记水升高的瞬时变化率为（即当无限趋近于0时，无限趋近于）从而有，当h=4时，解得

12分答：当水深为4cm时，水升高的瞬时变化率为。

14分解法二：仿解法一，可得，即

4分

5分当无限趋近于0时，无限趋近于,即无限趋近于

12分当h=4时,水升高的瞬时变化率是.

14分解法三：水面高为4cm时，可求得水面半径为，设水面高度增加时，水的体积增加，从而,(用圆柱近似增加的水体积),

8分故.当无限趋近于0时得

10分即

12分答：当水深为4cm时，水升高的瞬时变化率为。

14分解法四：设t时刻时注入杯中的水的高度为h,杯中水面为圆形，其圆半径为r

1分如图被子的轴截面为等腰三角形ABC,AO1O为底边BC上的高，O1,O分别为DE，BC中点，容易求证∽，那么

2分时刻时杯中水的容积为V=

3分又因为V=20t,

4分则

即

6分

8分当h=4时，设t=t1,由三角形形似的，

9分那么

10分

12分答:当水高为4cm时，水升高的瞬时变化率为cm/s

14分略20.（原创）（本小题满分12分）如图，已知椭圆的离心率是，分别是椭圆的左、右两个顶点，点是椭圆的右焦点。点是轴上位于右侧的一点，且满足。（1）求椭圆的方程以及点的坐标；（2）过点作轴的垂线，再作直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线交直线于点。求证：以线段为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标。参考答案：（1），设，由有，又，，于是，又，，又，，椭圆，且。（2），设，由，由于（*），而由韦达定理：，，，设以线段为直径的圆上任意一点，由有由对称性知定点在轴上，令，取时满足上式，故过定点。21.我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，“盾圆”是由椭圆与抛物线中两段曲线弧合成，为椭圆的左、右焦点，，为椭圆与抛物线的一个公共点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过的一条直线，与“盾圆”依次交于四点，使得与的面积比为？若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）由的准线为，，故记又，所以，故椭圆为．（Ⅱ）设直线为，联立，得，则

①联立，得，则

②

与的面积比整理得若，由②知坐标为，其中，故不在“盾圆”上；同理也不满足，故符合题意的直线不存在．略22.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是AB的中点．（1）证明：BD1∥平面A1DE（2）证明：D1E⊥A1D（3）求二面角D1﹣EC﹣D的正切值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）连结AD1交A1D于O，连结EO，由三角形中位线定理，可得OE∥BD1，进而可由线面平行的判定定理，可得BD1∥平面A1DE（2）根据正方形的几何特征，可得A1D⊥AD1，由AB⊥平面ADD1A1结合线面垂直的性质可得AB⊥AD1，进而由线面垂直的判定定理可得A1D⊥平面AD1E，再由线面垂直的性质可得D1E⊥A1D（3）由勾股定理可得CE⊥DE，进而由线面垂直的性质可得CE⊥D1D，由线面垂直的判定定理得到CE⊥平面D1DE，结合D1E⊥平面D1DE，可得∠D1ED是二面角D1﹣ED﹣D的一个平面角．解三角形△D1ED可得二面角D1﹣ED﹣D的正切值．【解答】证明：（1）连结AD1交A1D于O，连结EO，则O为AD1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BD1．又∵OE?平面A1DE，BD1?平面A1DE∴BD1∥平面A1DE

…（4分）（2）由题可知：四边形ADD1A1是正方形∴A1D⊥AD1

又∵AB⊥平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A1∴AB⊥AD1

又∵AB?平面AD1E，AD1?平面AD1E，AB∩AD1=A∴A1D⊥平面AD1E又∵D1E?平面AD1E∴A1D⊥D1E

…（8分）解：（3）在△CED中，CD=2，，CD2=CE2+DE2∴CE⊥DE．又∵D1D⊥平面ABCD，CE?平面ABCD∴CE⊥D1D又∵D1D?平面D1DE，DE?平面D