辽宁省大连市第十五中学高二数学理月考试题含解析

辽宁省大连市第十五中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为

（

） A． B． C． D．参考答案：Ｂ2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是（

）A.（-∞，2）

B.（0,3）

C.（1,4）

D.（2，+∞）参考答案：D略3.在中，已知，则角等于（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B4.数列的通项公式是其前项和为则项数等于A．6

B．9

C．10

D．13参考答案：A先将数列的通项变形，再求和，利用已知条件建立方程，即可求得数列的项数n解：因为，所以由得：。故选A。5.在△ABC中，若sin2A=sinB?sinC且（b+c+a）（b+c﹣a）=3bc，则该三角形的形状是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形参考答案：D【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题．【分析】根据条件应用正弦定理、余弦定理可得cosA==，故A=60°，再根据a2=bc以及b2+c2﹣a2=bc，可得（b﹣c）2=0，故b=c，从而得到三角形是等边三角形．【解答】解：若sin2A=sinB?sinC，则a2=bc．

又（b+c+a）（b+c﹣a）=3bc，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=60°．再根据a2=bc以及b2+c2﹣a2=bc，可得（b﹣c）2=0，∴b=c，故该三角形的形状是等边三角形，故选：D．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，求得A=60°，及cos（B﹣C）=1，是解题的关键．6.已知为第二象限角，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.长、宽分别为a，b的矩形的外接圆的面积为，将此结论类比到空间中，正确的结论为（

）A.长、宽、高分别为a，b，c的长方体的外接球的半径为B.长、宽、高分别为a，b，c的长方体的外接球的表面积为C.长、宽、高分别为a，b，c的长方体的外接球的体积为D.长、宽、高分别为a，b，c的长方体的外接球的表面积为参考答案：D【分析】类比为求长、宽、高分别为，，的长方体的外接球的表面积即可.【详解】“矩形的外接圆的面积”在类比中对应的是“长方体的外接球的表面积”，长、宽、高分别为，，的长方体的外接球的半径为，故其表面积为,故选D.【点睛】本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.8.函数具有性质（）A．图象关于点对称，最大值为B．图象关于点对称，最大值为1C．图象关于直线对称，最大值为D．图象关于直线对称，最大值为1参考答案：A【考点】诱导公式的作用；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．【分析】化简函数的表达式，通过x=代入函数的表达式，函数是否取得最值，说明对称轴以及最值，判断C，D的正误；函数值为0则说明中心对称，判断A，B的正误．【解答】解：函数=﹣sinx+﹣=﹣cos（x+），x=时，函数=0．图象关于点对称，最大值为故选：A．9.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁参考答案：D1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.10.函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（

）A.B.C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知复数,则

.参考答案：512.函数的定义域为___

．参考答案：13.已知，且，则c的值为________．参考答案：14.已知实数x，y满足条件，则目标函数z=2x－y的最大值是

.参考答案：615.已知集合M={（x，y）|}和集合N={（x，y）|y=sinx，x≥0}，若M∩N≠?，则实数a的最大值为

．参考答案：﹣作出函数y=sinx（x≥0）的图象，以及不等式组表示的可行域，由直线x﹣2y+a=0与y=sinx相切时，设切点为（m，sinm），求出导数和直线的斜率，解方程可得切点和此时a的值，由图象可得a的最大值．解：作出函数y=sinx（x≥0）的图象，以及不等式组表示的可行域，当直线x﹣2y+a=0与y=sinx相切时，设切点为（m，sinm），即有cosm=，解得m=，切点为（，），可得a=2×﹣=﹣，由题意可得a≤﹣，即有M∩N≠?，可得a的最大值为﹣，故答案为：﹣．16.设变量满足约束条件，则目标函数＝2+4的最大值为

.参考答案：1317.一个球的半径为，放在墙角与两个墙角及地面都相切，那么球心与墙角顶点的距离是．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=x2eax，a＞0．

(1)证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；

(2)若方程f（x）﹣1=0有且只有两个不同的实数根，求实数a的值．

参考答案：（1）证明：的定义域为，，当时，由，，得，所以，则有函数在上为增函数.（2）令，得或.列表如下：0正0负0正增函数极大值减函数极小值增函数则当时，函数有极大值，当时，函数有极小值，又时，，时，，时，，因为方程，即有且只有两个不同的实数根，所以，解得（负根舍去）.

19.已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，且过点．（）求椭圆的标准方程．（）、、、是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，，且这条直线互相垂直，求证：为定值．参考答案：（）；（）见解析.解：（）已知，∴，∴，椭圆为，代入，解出，，∴椭圆为．（）∵椭圆的焦点坐标为，，设直线，∵直线与互相垂直，直线，设，，，∴，∴，，∴，同理，∴为定值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,，，，,M是线段AP的中点.（1）证明：BM∥平面PCD;（2）当PA为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求此最大值参考答案：（1）见解析（2）当PA＝4时，体积最大值为16．【分析】（1）取PD中点N，易证MNCB平行四边形，进而得BM，CN平行，得证；（2）设PA＝x（0），把体积表示为关于x的函数，借助不等式求得最大值．【详解】（1）取PD中点N，连接MN，CN，∵M是AP的中点，∴MN∥AD且MN，∵AD∥BC，AD＝2BC，∴MN∥BC，MN＝BC，∴四边形MNCB是平行四边形，∴MB∥CN，又BM平面PCD，CN?平面PCD，∴BM∥平面PCD；（2）设PA＝x（0＜x＜4），∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∵，∴AB，又∵AB⊥AD，AD＝2BC＝4，∴VP﹣ABCD＝16，当且仅当x，即x＝4时取等号，故当PA＝4时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大，最大值为16．【点睛】此题考查了线面平行，线面垂直的证明，棱锥体积的求法，涉及基本不等式求最值，属于中档题．21.（本小题满分14分）已知数列的各项均为正数，且满足，．（1）推测的通项公式；（2）若，令，求数列的前项和参考答案：解：（1）由a2=5，an+1=an2－2nan+2，an>0(n?N*)知：a2=a12－2a1+2，故a1=3，

…………….…………….…………….2分a3=a22－4a2+2=7…………….…………….…………….…………….4分推测an=2n+1．(n?N*)………………①…………….…………….7分（2）…………….…………….…………….9分…………….…………….…………….11分

…………….…………….…………….13分…….…………….…………….…………….4分

略22.已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值，得到关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ex（ax+b+a）﹣2x﹣4因为曲线y=f（x）在x=﹣