湖北省宜昌市三峡艺术中学高二数学理月考试题含解析

湖北省宜昌市三峡艺术中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线参考答案：D选D.A错误．如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．2.下列命题中正确的是（）A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d B．若a＞b＞0，c＜d＜0则ac＜bdC．若a＞b＞0，c＜0，则＞＜ D．若a＞b＞0，则a﹣a＞b﹣b参考答案：B考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由不等式的可乘性和可加性，即可判断A；由不等式的可乘性，以及正向不等式的可积性，即可判断B；由不等式的可乘性和反比例函数的性质，即可判断C；运用举反例的方法，比如a=1，b=，即可判断D．解答：解：对于A．若a＞b，c＜d，即﹣c＞﹣d，则有a﹣c＞b﹣d，则A错；对于B．若a＞b＞0，c＜d＜0，则﹣c＞﹣d＞0，则有﹣ac＞﹣bd，即ac＜bd，则B对；对于C．若a＞b＞0，c＜0，则0＜＜，即有＞，则C错；对于D．若a＞b＞0，则可举a=1，b=，则a﹣a=1，b﹣b=，显然1＜，则D错．故选B点评：本题考查不等式的性质及运用，考查反例法判断命题的真假，考查运算能力，属于基础题和易错题．3.对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为83；②众数为83；③平均数为85；④极差为12．其中正确说法序号是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①③参考答案：C【考点】众数、中位数、平均数．【专题】计算题；图表型；概率与统计．【分析】根据已知中的茎叶图，求出中位数，众数，平均数及极差，可得答案．【解答】解：由已知中茎叶图，可得：①中位数为84，故错误；②众数为83，故正确；③平均数为85，故正确；④极差为13，故错误．故选：C．【点评】本题考查的知识点是茎叶图，统计数据计算，难度不大，属于基础题．4.直线的倾斜角，直线，则直线的斜率为(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：A5.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率等于:

()

A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.已知直线经过两个点，则直线的方程为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.若函数y=lnx﹣ax的增区间为（0，1），则a的值是（）A．0＜a＜1B．﹣1＜a＜0C．a=﹣1D．a=1参考答案：D

考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：先求导数，令导数大于0，解的x的范围即为函数的增区间，因为已知函数的增区间是（0，1），所以导数大于0的解集就是（0，1），就可求出a的值．解答：解：对函数y=lnx﹣ax求导，得，y′=﹣a，令y′＞0，﹣a＞0，化简得∵函数y=lnx﹣ax的增区间为（0，1），∴当x∈（0，1）上y′＞0即的解集为（0，1），∵分式不等式的解集的区间端点是x（1﹣ax）=0的根∴当x=1时，1×（1﹣a×1）=0，∴1﹣a=0，a=1故选D点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，另外还考查了已知分式不等式的解集，求参数的值．8.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A.(1,+∞)

B.(1,2)

C.

D.(2,+∞)参考答案：D9.下列函数中与函数奇偶性相同且在(－∞，0)上单调性也相同的是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知点是边长为1的等边三角形ABC的中心，则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线C:y2-=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为

。参考答案：12.若双曲线的渐近线方程为y=,则b等于

.参考答案：113.已知，，，，…，由此你猜想出第n个数为．参考答案：【考点】归纳推理．【分析】根号下由两个数组成，前一个数是首项为2，公差为1的等差数列，后一个数是分数，分子与前一项相同，分母是分子的平方减1，从而可猜想第n个数．【解答】解：∵，，，，…，∴前一个数是首项为2，公差为1的等差数列，后一个数是分数，分子与前一项相同，分母是分子的平方减1，∴由此猜想第n个数为，故答案为：14.函数的单调递减区间 .参考答案：15.对于函数，使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做函数的上确界，则函数的上确界是

。参考答案：516.已知公差不为零的等差数列的前8项和为8，且，则的通项公式

．参考答案：10－2n

设等差数列的公差为，可得，解得，故答案为.

17.若变量x，y满足约束条件：，则2x+y的最大值为

．参考答案：4考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．故答案为：4点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设椭圆的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.（I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值.参考答案：（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得由,从而.所以，椭圆的方程为.（II）解：设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，点的坐标为由的面积是面积的2倍，可得，从而，即.易知直线的方程为，由方程组消去y，可得.由方程组消去，可得.由，可得，两边平方，整理得，解得，或.当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意.

所以，的值为.19.棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求：（1）求证：PA//平面BED；（2）求异面直线与所成的角的大小.参考答案：

略20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=，AD=1．（I）求证：CD⊥平面PAC（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置，并证明，若不存在，请说明理由．参考答案：见解析【考点】直线与平面平行的判定；空间图形的公理．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】（I）由面面垂直的性质证出PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD．在底面梯形ABCD中利用勾股定理和余弦定理，利用题中数据算出CD2+AC2=1=AD2，从而AC⊥CD．最后利用线面垂直的判定定理，即可证出CD⊥平面PAC；（II）取PD的中点F，连结BE、EF、FC．利用三角形的中位线定理和已知条件BC∥AD且BC=AD，证出四边形BEFC为平行四边形，可得BE∥CF．最后利用线面平行判定定理，即可证出BE∥平面PCD．【解答】解：（I）∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD．又∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA?侧面PAD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD．∵CD?底面ABCD，∴PA⊥CD．∵在底面ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=，AD=1．∴AC==，∠CAB=∠CAD=45°△CAD中由余弦定理，得CD==可得CD2+AC2=1=AD2，得AC⊥CD．又∵PA、AC是平面PAC内的相交直线，∴CD⊥平面PAC．（II）在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD，证明如下：设PD的中点为F，连结BE、EF、FC，则∵EF是△PAD的中位线，∴EF∥AD，且EF=AD．∵BC∥AD，BC=AD，∴BC∥EF，且BC=EF，∴四边形BEFC为平行四边形，∴BE∥CF．∵BE?平面PCD，CF?平面PCD，∴BE∥平面PCD．【点评】本题在四棱锥中证明线面垂直，并探索线面平行的存在性．着重考查了空间垂直、平行的位置关系的判断与证明等知识，属于中档题．

21.若函数f（x）=ax2+2x﹣lnx在x=1处取得极值．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间及极值．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出原函数的导函数，由函数在x=1时的导数为0列式求得a的值；（2）把（1）中求出的a值代入f（x）=ax2+2x﹣lnx，求其导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用导函数在不同区间段内的符号求单调期间，进一步求得极值点，代入原函数求得极值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax2+2x﹣lnx在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，又，∴，解得：a=﹣；（2）f（x）=﹣x2+2x﹣lnx，函数的定义域为（0，+∞），由==0，解得：x1=1，x2=2．∴当x∈（0，1），（2，+∞）时，f′（x）＜0；当x∈（1，2）时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调减区间为x∈（0，1），（2，+∞）；单调增区间为x∈（1，2）．f（x）的极小值为f（1）=；f（x）的极大值为f（2）=．【点评】本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了函数极值的求法，是中档题．22.（本小题满分8分）

某校在高二年级开设了，，三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从，，三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有