吉林省长春市九台市二道沟中心学校高二数学理摸底试卷含解析

吉林省长春市九台市二道沟中心学校高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.底面为正方形的四棱锥S﹣ABCD，且SD⊥平面ABCD，SD=，AB=1，线段SB上一M点满足=，N为线段CD的中点，P为四棱锥S﹣ABCD表面上一点，且DM⊥PN，则点P形成的轨迹的长度为（）A． B． C． D．2参考答案：B【分析】取AD的中点E，则EN⊥DM，利用向量求出SD上一点F，使得EF⊥DM，故而P点轨迹为△EFN．【解答】解：以D为坐标原点，以DA，DC，DS为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则B（1，1，0），S（0，0，），N（0，，0），D（0，0，0），M（，，），取AD的中点E，则E（，0，0），∴=（，，），=（﹣，，0），∴=0，即DM⊥EN，在SD上取一点F，设F（0，0，a），则=（﹣，0，a），设DM⊥EF，则，即﹣+=0，解得a=，∴DM⊥平面EFN，∴P点轨迹为△EFN．∵EF=FN==，EN=AC=，∴△EFN的周长为=．故选：B．2.已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为(

)A．7 B．6 C．5 D．4参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．3.在R上可导的函数，当时取得极大值，当时取得极小值，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.一条直线的倾斜角的正弦值为，则此直线的斜率是A．

B．

C．

D．参考答案：D5.如果双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（

）A.

B.2

C.

D.参考答案：A6.函数的导数为（

）A.

B.C.

D.参考答案：B7.在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则角B的范围是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】等差数列的性质；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【分析】由a，b，c成等差数列，根据等差数列的性质得到2b=a+c，解出b，然后利用余弦定理表示出cosB，把b的式子代入后，合并化简，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根据B的范围以及余弦函数的单调性，再利用特殊角三角函数值即可求出B的取值范围．【解答】解：由a，b，c成等差数列，得到2b=a+c，即b=，则cosB===≥=，因为B∈（0，π），且余弦在（0，π）上为减函数，所以角B的范围是：0＜B≤．故选B【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，是一道综合题．8.一个人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶参考答案：C【考点】C4：互斥事件与对立事件．【分析】利用互斥事件的定义直接求解．【解答】解：一个人在打靶中连续射击两次，在A中，至多有一次中靶和事件“至少有一次中靶”能同时发生，二者不是互斥事件，故A错误；在B中，两次都中靶和事件“至少有一次中靶”能同时发生，二者不是互斥事件，故B错误；在C中，两次都不中靶和事件“至少有一次中靶”不能同时发生，二者是互斥事件，故C正确；在D中，只有一次中靶和事件“至少有一次中靶”能同时发生，二者不是互斥事件，故D错误．故选：C．9.设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若，且则；

②若，且，则； ③若，则； ④若且,则. 其中正确命题的个数是（） A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知双曲线与直线y=2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，） B．（1，）∪（，+∞） C．（，+∞） D．[，+∞）参考答案：C【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】如图所示，双曲线的渐近线方程为，若双曲线与直线y=2x有交点，则应满足：，，即＞4，又b2=c2﹣a2，且=e，可得e的范围．【解答】解：如图所示，∵双曲线的渐近线方程为，若双曲线与直线y=2x有交点，则应有，∴，解得．故答案选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则的值

参考答案：12.过直线上一点M向圆作切线，则M到切点的最小距离为_

____．参考答案：13.已知直线l∥平面α，直线m?α，则直线l和m的位置关系是

．（平行、相交、异面三种位置关系中选）参考答案：平行或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据线面平行的性质定理得到直线与平面α内的所有直线没有公共点，得到直线l与m的位置关系．【解答】解：因为直线l∥平面α，直线m?α，所以直线l与平面α内的所有直线没有公共点，则直线l和m的位置关系是：平行或异面；故答案为：平行或异面．14.已知，，若是的充分不必要条件，则a的取值范围为______.参考答案：[0,5]【分析】由是的充分不必要条件，可得是的充分不必要条件，从而得且，列不等式求解即可.【详解】，，由题意是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件，即，于是且，得，经检验.故答案为：.【点睛】逻辑联结词，且：全真为真，一假为假；或：一真为真，全假为假；非：真假相反.本题中是的充分不必要条件，也可以考虑逆否命题来解决.15.过（－1，2）作直线与抛物线只有一个交点，能作几条直线____________.参考答案：3条略16.实数x，y，θ有以下关系：，其中i是虚数单位，则的最大值为

．参考答案：10017.已知幂函数过点，则的值为

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知⊙C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？（3）若定点P（1，1）分弦AB为，求l方程．参考答案：【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用．【分析】（1）利用圆心到直线的距离小于半径，判定，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）设出弦AB中点M，求出直线L，利用弦的中点与圆心连线与割线垂直，求出轨迹方程．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程利用韦达定理，以及定点P（1，1）分弦AB为，求出A的坐标，代入圆的方程，求出m，即可求l方程．【解答】解：（1）圆心C（0，1），半径r=，则圆心到直线L的距离d=，∴d＜r，∴对m∈R直线L与圆C总头两个不同的交点；（或用直线恒过一个定点，且这个定点在圆内）（2）设中点M（x，y），因为L：m（x﹣1）﹣（y﹣1）=0恒过定点P（1，1）斜率存在时则，又，kAB?KMC=﹣1，∴，整理得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0，即：=，表示圆心坐标是（），半径是的圆；斜率不存在时，也满足题意，所以：=，表示圆心坐标是（），半径是的圆．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）解方程组得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，∴，①又∴（x2﹣1，y2﹣1）=2（1﹣x1，1﹣y1），即：2x1+x2=3②联立①②解得，则，即A（）将A点的坐标代入圆的方程得：m=±1，∴直线方程为x﹣y=0和x+y﹣2=019.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在X轴上，椭圆短半轴长为1，动点

在直线上。（1）求椭圆的标准方程（2）求以线段OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作直线OM的垂线与以线段OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。参考答案：解（1）又由点M在准线上，得

ks5u………2分故，

从而

所以椭圆方程为

……………4分（2）以OM为直径的圆的方程为即

其圆心为,半径

……………6分因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2所以圆心到直线的距离

……………8分所以，解得所求圆的方程为

……………10分（3）方法一：设过点F作直线OM的垂线,垂足为K,由平几知：直线OM：，直线FN：

……12分由得所以线段ON的长为定值。

所以线段ON的长为定值…………14分ks5u20.已知函数．（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求实数，的值；（2）若，求的单调减区间；（3）对一切实数a?(0,1)，求f(x)的极小值的最大值．参考答案：解：（1），

由，得a=5．

∴．则．

则（2，3）在直线上．∴b=-15．

（2）①若，，∴的单调减区间为（1，+∞）．

②若，则令，得．∴，或x>1．

∴的单调减区间为，（1，+∞）．

（3），0<a<1，列表：（-∞，1）1（1，）（，+∞）+0-0+↗极大值↘极小值↗

∴f(x)的极小值为．

当时，函数f(x)的极小值f()取得最大值为．略21.（本小题满分12分）有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件．求：⑴第一次抽到次品的概率；⑵第一次和第二次都抽到次品的概率；⑶在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．参考答案：解：设第一次抽到次品为事件A，第二次都抽到次品为事件B．⑴第一次抽到次品的概率

…………4分

⑵