新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理微专题1分组与分配问题的破解之术教师用书新人教A版选择性必修第三册

微专题1分组与分配问题的破解之术解决分组与分配问题的关键是区分是否与顺序有关，一般按先分组后分配的原则计算．1．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等；(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀分组，最后必须除以n！；(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．2．分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．类型1定向分配问题【例1】6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)甲2本，乙2本，丙2本；(2)甲1本，乙2本，丙3本；(3)甲4本，乙、丙每人1本．[解](1)第一步，从6本不同的书中选2本书分配给甲，有C6第二步，从剩下的4本不同的书中选2本分配给乙，有C4第三步，剩下的2本不同的书全给丙，有C2根据分步乘法计数原理知，共有C62×C4(2)第一步，从6本不同的书中选1本书分配给甲，有C6第二步，从剩下的5本不同的书中选2本书分配给乙，有C5第三步，剩下的3本不同的书全给丙，有C3根据分步乘法计数原理知，共有C61×C5(3)第一步，从6本不同的书中选4本书分配给甲，有C6第二步，从剩下的2本不同的书中选1本书分配给乙，有C2第三步，剩下的1本书给丙，有C1根据分步乘法计数原理知，共有C64×C2解决定向分配问题的方法有“边分组边分配”或“先分组后分配”．类型2不定向分配问题【例2】6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每人2本；(2)一人1本，一人2本，一人3本；(3)一人4本，其余2人每人1本．[解](1)法一：本题为平均分组，并且有分配对象，先分组(与顺序无关)，有C6再分配给3个人(与顺序有关)，有A3共有C62C42C2法二：先从6本书中选2本给甲，有C6再从其余的4本书中选2本给乙，有C4最后从余下的2本书中选2本给丙，有C2所以根据分步乘法计数原理得，每人2本，共有C62C42(2)先分组，再分配，与顺序有关，需排序．6本书分成三组共有C61C故一人1本，一人2本，一人3本的分法有C61C52(3)法一：从6本不同的书中选出4本，有C6将选出的4本书看成一个元素集团，与其余2本书(两个元素)分配给甲、乙、丙三人有A3由分步乘法计数原理，共有C64A33＝15×6法二：先分组，再分配，与顺序有关．先分成三份，为部分平均分组问题，共有C64C21C11A不定向分配问题，解题原则是“先分组后分配”．属于“排列”问题，要按排列问题求解．类型3不同元素的分组问题【例3】6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．[解](1)每组2本，均分为3组的分组种数为C62C42(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为C63C32C1(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为C64C21(1)分清是分组问题还是分配问题很必要，而判断是分组问题还是分配问题的关键是看是否有分配对象．若没有分配对象，则为分组问题；若有分配对象，则为分配问题；若有确定的分配对象，即为定向分配问题．反之，则为不定向分配问题．(2)分组问题属于“组合”问题，常见的三种分组问题如下：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等．②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！．③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．类型4相同元素的分配问题【例4】将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．[解](1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有C53＝10(种(2)法一：恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有C4第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板．由分步乘法计数原理得，共有C41·C5法二：恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C52然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C4故共有C52·C4(3)法一：分两步完成，第一步任取2个盒子不放小球(取两个空盒子)有C4第二步在6个小球之间5个空隙中任选一个空档插一块隔板，有C5由分步乘法计数原理，共有C42·C5法二：恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C51种插法，如然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C3②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C3故共有C51·C3(1)“隔板法”能快速解决相同元素的分配问题，由于元素和“隔板”都是相同的，需按组合问题求解；使用“隔板法”的关键是要根据题意将问题转化为“每组至少1个”或“每组至少0个”的问题，才能合理使用“隔板法”解决问题．(2)“将n个相同元素分成m组(每组的任务不同)”的具体情况如下：①当每组至少含有一个元素时，其不同的分组方法有Cn-1m-1种，即在n个元素中间形成的(n－1)个空中插入(m－②任意分组，可出现某些组所含元素个数为0的情况，不符合隔板法的适用条件，但可人为增加m个元素，使每组至少含有一个元素，此时问题就转化为将(n＋m)个相同元素分成m组，且每组至少含有一个元素，则不同的分组方法有Cn+m微专题强化练(一)分组与分配问题的破解之术一、选择题1．(2023·北京昌平期末)第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日(星期五)开幕，2月20日(星期日)闭幕．北京冬季奥运会设有7个大项，15个分项，109个小项，其中7个大项分别为滑雪、滑冰、雪车、雪橇、冰球、冰壶、冬季两项(越野滑雪和射击比赛)，现组委会将7个大项的门票各一张分给甲、乙、丙三所学校，如果要求一所学校4张，一所学校2张，一所学校1张，则不同的分法种数为()A．A74A32A11D[先将7张票分成3组，张数分别为4、2、1，有C7再把3组票分给3所学校，有A33种分法，故不同的分法种数为C742．第24届冬季奥运会期间，某校安排了甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为()A．60B．120C．150D．240C[当分组为1人，1人，3人时，有C53·A33＝10×当分组为1人，2人，2人时，有C51·C4所以共有60＋90＝150(种)排法．]3．在6张奖券中，有一、二等奖各1张，其余4张无奖，将这6张奖券分配给3个人，每人2张，则不同的获奖情况有()A．24种 B．18种C．12种 D．9种D[4张无奖的奖券看成4个相同的元素，2张有奖的奖券看成2个不同的元素，若一、二等奖发给同1个人，则有3种情况，若一、二等奖发给2个不同的人，则有C32A22所以不同的获奖情况共有3＋6＝9(种)．故选D．]4．“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每名专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则不同的分派方法的种数为()A．90 B．150C．180 D．300B[根据题意有两种分派方式：第一种方式，有一个地方分派3名专家，剩下的两个地方各分派一名专家，共有C51·C4第二种方式，有一个地方分派1名专家，另两个地方各分派2名专家，共有C51·C4所以不同的分派方法的种数为60＋90＝150．故选B．]5．(多选)某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是()A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54B．若每项工作至少有1人参加，则不同的安排方法种数为AC．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是CD．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为CABD[根据题意，依次分析选项：对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A错误；对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有C52A对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出1人开车，②从丙、丁、戊中选出2人开车，则有C31C对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有C53C21A22二、填空题6．甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案有________种．90[甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案种数为C62C42C7．有5个大学保送名额，计划分到3个班级，有________种不同的分法．21[(隔板法)有5个大学保送名额，计划分到3个班级，可以转化为8个名额分到3个班，每个班至少1个(分完后每班再去掉1个)，相当于8个相同的球排成一排，然后插2块隔板把球分成3份，每一份的个数对应1个班的名额，即中间7个空位中选2个插板，分成三份，有C72＝21(种)8．某单位4男3女参加乡村振兴工作，这7人将被派驻到A，B，C3个乡村进行乡村振兴工作(每个乡村至少派驻1人)．若只考虑3个乡村的名额分配，则有________种不同的名额分配方式；若每个乡村至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A乡村，则有________种不同的派驻方式．(用数字填写答案)1572[7个人被派驻到A，B，C3个乡村进行乡村振兴工作，等价于将7个名额分成3组，每组至少一个名额，用“隔板法”，有C62＝15(种对于第二个空，分2步进行分析：①将3位女工作人员安排到三个乡村，有A33＝6(种②将4位男工作人员分为3组，先把其中2人“捆”在一起当成一组有C42＝将甲所在的组分到A乡村，剩余2组分到其余2个地区，有A22＝所以共有6×6×2＝72(种)不同的派驻方式．]三、解答题9．8张不同的邮票，按下列要求各有多少种不同的分法？(用式子表示)(1)平均分成四份；(2)平均分给甲、乙、丙、丁四人；(3)分成三份，一份4张，一份2张，一份2张；(4)分给甲、乙、丙三人，甲4张，乙2张，丙2张；(5)分给三人，一人4张，一人2张，一人2张；(6)分成三份，一份1张，一份2张，一份5张；(7)分给甲、乙、丙三人，甲得1张，乙得2张，丙得5张；(8)分给甲、乙、丙三人，一人1张，一人2张，一人5张．[解](1)本题属平均分组问题，是组合问题，与顺序无关，有C8(2)法一：本题为平均分组，并且有分配对象，先分组，与顺序无关，有C82C62C4法二：①甲从8张邮票中取2张有C82种取法；②乙从余下