第三章 圆锥曲线的方程 章末测试（基础）（解析版）

第三章圆锥曲线方程章末测试（基础）单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)1．（2023春·陕西西安·高二校考阶段练习）已知点在抛物线上，则抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为点在抛物线上，所以，则，所以抛物线的标准方程是，则抛物线的焦点坐标为，故选：C.2．（2023春·广东深圳·高二校考期中）双曲线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，所以，又因为焦点在轴上，所以焦点坐标为.故选：A.3．（2023春·广东深圳·高二校考期中）椭圆与直线的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定【答案】B【解析】直线过定点在椭圆内，故直线与椭圆相交.故选:B.4．（2023春·河南驻马店·高二统考阶段练习）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】由椭圆的方程可得，，所以，设，则，由在第一象限可得，即，因为，所以，整理可得，解得或2（舍，即，，所以在中，，故选：A．

5．（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如下图所示：

根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为，联立，消去整理可得，，因为，解得，所以，椭圆在点处的切线方程为，因此，点到直线的距离的最大值为,联立，可得点的坐标为.故选：B.6．（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为等轴双曲线的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，所以可设双曲线的方程为，又因为双曲线的焦距为8，所以，而，所以，故双曲线的标准方程为.由双曲线的定义可知，，由题意可知，，，，所以,故的最大值为，当且仅当三点共线且点位于第一象限时取得最大值.故选：B

7．（2022秋·江苏淮安·高二统考期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由椭圆得其半焦距为，依题意，，双曲线的渐近线方程为，于是，即，由，解得，所以双曲线C的方程为.故选：A8．（2023·浙江温州·高二校联考期中）椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设椭圆的上顶点为,则令,则,

且，,,故选：B.二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2023秋·高二课时练习）对于椭圆，下面说法正确的是（

）A．长轴长为2 B．短轴长为3 C．离心率为 D．焦距为2【答案】CD【解析】椭圆的方程为，其中，则，所以其长轴长．短轴长，焦距，离心率．故A、B错误，C、D正确.故选：CD．10．（2023秋·高二课时练习）点为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】设椭圆方程为，设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，

则需，由余弦定理可得，，即，，，则，检验可得选项A，C，D满足.故选：ACD.11．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线，给出以下4个命题，真命题的是（）A．直线与双曲线有两个交点B．双曲线C与1有相同的渐近线C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3D．双曲线的焦点坐标为【答案】BC【解析】A，因为直线与渐近线平行，与双曲线只有一个交点，错误；B，两曲线渐近线方程均为，正确；C，右焦点为到渐近线的距离为，正确；D，因，所以双曲线焦点坐标为和，错误．故选：BC12．（2023春·广东深圳·高二校考期中）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（

）A．若，则为椭圆B．若为椭圆，且焦点在轴上，则C．曲线可能是圆D．若为双曲线，则【答案】BC【解析】方程所表示的曲线为.A.当，取时，方程为，表示圆，错误；B.若为椭圆，且焦点在y轴上，则，即，所以B正确；C.时，方程为，表示圆，所以C正确；.若为双曲线，可得，解得或，所以D错误.故选：BC三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2023春·湖南长沙·高二雅礼中学校考期末）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为．【答案】【解析】，，即，，双曲线方程为，渐近线方程为．故答案为：14．（2023春·甘肃临夏·高二校考阶段练习）椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为.【答案】【解析】依题意，椭圆长轴长，则，而椭圆半焦距，因此椭圆短半轴长，所以所求椭圆标准方程是.故答案为：15．（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则双曲线的离心率为．【答案】【解析】如图所示：

设双曲线的一条渐近线方程为，因为焦点到渐近线的距离为，所以，则，所以，因为，所以，解得：.故答案为：.16．（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）已知点是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则的面积为．【答案】【解析】根据对称性，不妨设在双曲线的右支上，则．因为的周长为，所以，所以．

在中，，则，所以的面积为．故答案为：.四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2023·云南昭通）已知命题：实数满足不等式；命题：实数满足方程表示双曲线.(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）由，得，而，所以所以实数的取值范围为.（2）命题为真时，实数的取值范围为；命题为真时，，即实数的取值范围为，而是的充分不必要条件，即，所以（等号不同时成立），解得，所以实数的取值范围.18．（2022秋·湖南永州·高二统考阶段练习）已知双曲线的离心率为，虚轴长为．(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆上，求m的值．【答案】(1)(2)．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，，∴，∴所求双曲线方程为；（2）由，消y得，，故，，∴AB中点为，代入中可得，∴．19．（2023·陕西渭南）已知椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆经过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的左焦点，为原点，为椭圆上任意一点，求的最大值．【答案】(1)(2)6【解析】（1）椭圆的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为．可设椭圆的标准方程为．由椭圆经过点，可得，解得或（舍）．椭圆的标准方程为．（2）由（1）可得，设，，得，且，，，，当时，取最大值6．20．（2023春·河南）已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，弦被点平分．(1)求直线的方程；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为弦被点平分，所以设交点坐标则，两式相减得：），所以直线的斜率，故直线的方程为（2），联立椭圆与直线方程得所以，所以，又因为直线过点，所以．

21．（2023春·陕西安康·高二校考期中）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)不过原点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.【答案】(1)(2)最大值为，方程为【解析】（1）由已知得，由离心率，得，椭圆的方程为.（2）设，联立可得，，直线与椭圆交于两点，，解得，由韦达定理可得，由弦长公式可得，点到直线的距离为，，当且仅当，即时取等号，面积的最大值为，此时直线的方程为.22．（20