第三章 函数的概念与性质（压轴题专练）（解析版）

第三章函数的概念与性质（压轴题专练）一、单选题1．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．[方法二]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．2．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论错误的为（

）A．是偶函数 B．C．的图象关于对称 D．【答案】D【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．【详解】为奇函数，为偶函数，的图象关于点对称且关于直线对称，，，，，所以是周期函数，4是它的一个周期．，，B正确；，是偶函数，A正确；因此的图象也关于点对称，C正确；对任意的，且，都有，即时，，所以在是单调递增，，，，，∴，D错．故选：D．【点睛】结论点睛：（1）的图象关于点对称，也关于点对称，则是周期函数，是的一个周期；（2）的图象关于直线对称，也关于直线对称，则是周期函数，是的一个周期；（1）的图象关于点对称，也关于直线对称，则是周期函数，是的一个周期．3．已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且．则（

）A．16 B．20 C．24 D．28【答案】C【分析】由条件可知有对称轴，对称中心，推出具有周期性，由求得的值，可分别计算，结合周期性计算即可.【详解】因为是偶函数，所以，所以，所以函数关于直线对称，又因为，所以，所以，所以关于点中心对称，由及得所以所以函数的周期为，因为当时，（且），且，所以，解得：或，因为且，所以.所以当时，，所以，，，，，，，所以，所以,故选：.4．已知.若对于，均有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将成立转化成恒成立的问题，构造函数，然后分类讨论，即可求出的取值范围.【详解】解：由题意在中，对称轴函数在上单调减，在上单调增，∵对于，均有成立即对于，均有恒成立在中，对称轴，函数在上单调减，在上单调增当即时，函数在上单调减函数在上单调减∴解得当，即时，函数在上单调减，在上单调增函数在上单调减∴∴解得当，即时，函数在上单调增函数在上单调减∴∴故不符题意，舍去.当即时函数在上单调增，函数在上单调减，在上单调增，∴解得当即时函数在上单调增，函数在上单调减，在上单调增，此时，∴符合题意当时，函数在上单调增函数在上单调增∴此时∴符合题意综上，实数的取值范围是故选：C.【点睛】本题考查恒成立问题，二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性.5．已知函数的定义域为，若，满足，则称函数具有性质．已知定义在上的函数具有性质，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数新定义可推得，恒成立，即，的值域M，满足，求出M，列出不等式，即可求得答案.【详解】由题意得定义在上的函数具有性质，即，满足，即，恒成立；记函数，的值域为M，，则由题意得,当，即时，在单调递减，则，即,此时不满足，舍去；当，即时，在时取得最大值，即，即,要满足，需，解得或，而，故，即m的取值范围为，故选：D【点睛】方法点睛：根据函数新定义，要能推出，恒成立，继而将问题转化为集合之间的包含问题，因此要求出函数的值域，根据集合的包含关系列不等式求解即可.6．已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集.【详解】令，由题意知在上为减函数，又为上的偶函数，所以为上的奇函数，又在上为减函数，，所以在上为减函数，①当时，，即，所以，所以，解得；②当时，，即，所以，所以，解得.所以或.故选：D.7．已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以，对任意的，，且，都有成立，所以，令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，由是上的奇函数可得是上的偶函数所以在上单调递减，当时，不等式得到，矛盾；当时，转化成即，所以；当时，转化成，，所以，综上所述，不等式的解集为故选：D8．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，.若，则（

）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】由为偶函数，为奇函数得到，故函数的周期，结合得到，由得，从而求出，采用赋值法求出，，再使用求出的的周期，赋值法得到.【详解】因为为偶函数，所以，用代替得：，因为为奇函数，所以，故①，用代替得：②，由①②得：，所以函数的周期，所以，即，因为，令得：，故，，解得：，所以时，，因为，令，得，其中，所以，因为，令得：，即，因为，所以，因为，令得：，故，.故选：C【点睛】方法点睛：抽象函数的对称性和周期性：若，则函数关于中心对称，若，则函数关于对称，若函数关于轴对称，关于中心对称，则函数的周期为，若函数关于轴对称，关于轴对称，则函数的周期为，若函数关于中心对称，关于中心对称，则函数的周期为.二、多选题9．已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则（

）A．B．函数为周期函数C．函数在区间上单调递减D．函数的图像既有对称轴又有对称中心【答案】BCD【分析】由与的关系式及的周期性、奇偶性，即可求和判断的周期，进而判断A和B；利用奇函数性质求在上的解析式，结合的周期性及求上的解析式判断C，利用对称性判断、是否成立判断D.【详解】因为，所以，，又为奇函数，故，利用，可得，故的周期为4；因为周期为4，则的周期为4，又是奇函数，所以，A错误，B正确；当时，，因为为奇函数，故时，，因为恒成立，令，此时，，则，，故时，，令，即，则，即；令，即，则，即；令，即，，所以，根据周期性在上的图像与在相同，所以，当，即时，，故在上单调递减，C正确；由是周期为4的奇函数，则且，所以，故关于对称，，所以关于对称，D正确.故选：BCD10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．，为奇函数B．，为偶函数C．，的值为常数D．，有最小值【答案】BCD【分析】对于A、B，假设成立，根据奇偶性的性质得到方程，即可判断；利用特殊值判断C；对于D，将函数解析式变形为，分和两种情况讨论，即可判断.【详解】解：因为，，对于A：若为奇函数，则，即，即，显然方程不恒成立，故不存在，使得为奇函数，故A错误；对于B：若为偶函数，则，即，即，当时方程恒成立，故当时，对，为偶函数，故B正确；对于C：当，时为常数函数，故C正确；对于D：的定义域为，，所以，当，即时变形为，当时方程有解，当、时方程在上恒成立，当，即时，方程在上有解，所以，即，因为，当、时变形为，解得，当或时，可以求得的两个值，不妨设为和，则，所以解得，所以当时，，有最小值，故D正确；故选：BCD11．已知定义域为的函数满足：（1）对任意，恒成立；（2）当时，，则下列选项正确的有（

）A．对任意，有B．函数的值域为C．存在，使得D．函数在区间上单调递减的充要条件是：存在，使得.【答案】ABD【分析】利用条件(1)判断A；利用条件(2)判断B；利用反证法判断C；结合以上推导判断D．【详解】对于选项A，，A正确；对于选项B，当时，，，从而，所以函数的值域为，B正确；对于选项C，因为，所以，假设存在使，则，所以，满足条件的整数不存在，C错误；对于选项D，若，当时，，函数在区间上单调递减，若函数在区间上单调递减，不妨设，，若，则，，，与已知矛盾，若，则，当，，但，与已知矛盾，故，故，故函数在区间上单调递减的充要条件是：存在，使得，D正确，故选：ABD.【点睛】本题解决的关键在于分区间求出函数的解析式，再结合函数的性质判断.12．已知定义在上的函数，，，，且，则下述结论中正确的是（

）A． B．若，则C．是偶函数 D．，【答案】AC【分析】结合赋值法、奇偶性、最值等知识确定正确答案.【详解】令，，则，因为，所以，A正确；令，则，所以，所以，所以，所以，，，，，B错误；令，则，即，所以，是偶函数，C正确；因为，所以，所以，，D错误．故选：AC．13．已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（

）A．B．函数在上是减函数C．D．不等式的解集为【答案】ABD【分析】对于A，利用赋值法求得，从而得以判断；对于B，根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性；对于C，利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断；对于D，先求得，再将不等式转化为，从而得到关于的不等式，解之即可判断.【详解】对于A，因为，令，得，所以，故A正确；对于B，令，得，所以，任取，且，则，因为，所以，即，所以，所以在上是减函数，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，，所以，又因为，所以由得，故，因为在上是减函数，所以，解得，所以不等式的解集为，故D正确.故选：ABD．【点睛】关键点睛：对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题.14．已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（

）A．为奇函数 B．是上的增函数C． D．是周期函数【答案】ABC【分析】令，代入，即可得到再由，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D选项即可【详解】对于A:由题意，令，,解得：或当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去，当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去，∴，令，则，所以，即，所以为奇函数，故A正确；对于C：令，，因为若,则,又为非常值函数故舍去，所以，所以所以,故C正确:对于B:设任意的且令所以，又因为为奇函数，所以，又因为当时，，所以，，,即，所以是上的增函数,故B正确;对于D:因为是上的增函数,又因为为奇函数且,所以是上的增函数,故不是周期函数,故D错误.故选:ABC.15．已知定义在上的函数满足：，，当时，有则称函数为“理想函数”.根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用定义判断和证明函数是否为“理想函数”.【详解】时，，，当时，有，为“理想函数”，A选项正确；时，，，当时，有，不是“理想函数”，B选项错误；时，，，当时，有，为“理想函数”，C选项正确；时，，，当时，有，为“理想函数”，D选项正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：定义型函数，是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情景，定义一个新函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者给出已知函数，再定义一个新概念.解答这类问题的关键在于阅读理解时，要准确把握新定义、新信息，并把它纳入已有的知识体系之中，用原来的知识和方法来解决新情景下的问题。16．已知定义在R上的函数不恒等于零，，且对任意的∈R，有，则（

）A． B．是偶函数C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期【答案】ABC【分析】分别给取适当值代入条件，通过代数表达式判断函数性质.【详解】对于A，令得，又函数不恒等于零，所以，选项A正确；对于B，令得，所以，故函数是偶函数，选项B正确；对于C,D，令，得，即，，所以函数是周期函数，且周期为，选项D错误；又是偶函数，即，所以，即，所以的图象关于点对称，选项C正确.故选：ABC.17．函数，以下四个结论正确的是（

）A．的值域是B．对任意，都有C．若规定，则对任意的D．对任意的，若函数恒成立，则当时，或【答案】ABC【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域；构造函数判断函数的奇偶性和单调性即可判断选项B；根据C中的描述结合归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.【详解】由函数解析式可得，有如下函数图象：∴的值域是，故该选项正确；对于B，由题得，所以函数是奇函数.因为，不妨设，只需证明，只需证明，设，只需证明函数单调递减.所以，所以函数是上的奇函数.所以只要证明函数在上单调递减.,由复合函数的单调性原理得函数在上单调递减.所以该选项正确.对于C，有，若，∴当时，，故有.所以该选项正确.对于D，上，若函数恒成立，即有，恒成立，令，即上，∴时，，有或（舍去）；时，，故恒成立；时，，有或（舍去）；综上，有或或；所以该选项错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性；2、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.18．已知函数、定义域均为，且，为偶函数，若，则下面一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据条件判断关于中心对称和轴对称，可求出是函数的周期，利用函数的对称性和周期性进行转化求解即可.【详解】由可得函数关于中心对称，且，又因为为偶函数，所以，令等价于，所以可知函数关于轴对称，再令替换，所以，所以知，，，所以，即是函数的周期，由，令，则，故A正确；因为，由已知条件无法求出，故C不正确；由可得，所以B不正确；由可得与关于中心对称，所以是函数的周期，，故D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：根据条件判断函数，的对称性和周期性，利用函数的对称性和周期性进行转化求解时解决本题的关键.19．已知是定义在上的函数，且对于任意实数恒有．当时，．则（

）A．为奇函数B．在上的解析式为C．的值域为D．【答案】ABD【分析】根据题意，分析可得区间上，的解析式，再分析函数的周期性，可得的图象关于原点对称，由此分析选项是否正确，即可得答案．【详解】根据题意，时，，因为时，，所以，又由，则，即，，若，则，，若，则，，故在区间上，所以关于原点对称，又由，则，即函数是周期为的周期函数，故的图象关于原点对称，由此分析选项：对于A，的图象关于原点对称，为奇函数，故A正确；对于B，当时，则，则，函数是周期为的周期函数，则，故B正确；对于C，在区间上，，则，，所以，故的值域一定不是，故C错误；对于D，因为时，，所以，，又，则，则有，，故，所以，故D正确；故选：ABD．20．已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数，则下列命题正确的是（

）A．是“封闭”函数B．定义在上函数都是“封闭”函数C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数D．若是“封闭”函数，则在区间上单调递减【答案】BC【分析】特殊值判断A；根据定义及函数的性质判断B；根据定义得到都有，再判断所给定区间里是否有成立判断C；举例说明判断D作答.【详解】对于A：当时，，而，A错误；对B：对于集合，使，即，必有，所以定义在上的函数都是“封闭”函数，B正确；对C：对于集合，使，则，而是“封闭”函数，则，即都有，对于集合，使，则，，而，，…，，所以，即，故，一定是“封闭”函数，C正确；对D，函数，集合，，当时，，则函数是“封闭”函数，而函数是R上的增函数，D错误.故选：BC【点睛】关键点睛：对于C，根据给定的条件得到都有，有恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.21．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．下列结论正确的是（

）A．若为的跟随区间，则B．函数不存在跟随区间C．若函数存在跟随区间，则D．二次函数存在“3倍跟随区间”【答案】CD【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案.【详解】对于A选项，若为的跟随区间，因为在区间为增函数，故其值域为，根据题意有，解得或，因为故.故A错误．对于B选项，由题，因为函数在区间与上均为增函数，若存在跟随区间则有，即为的两根．即的根.故.故B错误．对于C选项，若函数存在跟随区间，因为为减函数，故由跟随区间的定义可知，即，因为，所以．易得．所以，令代入化简可得，同理也满足，即在区间上有两不相等的实数根．故，解得，故C正确．对于D选项，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为.当时，易得在区间上单调递增，此时易得为方程的两根，求解得或.故定义域，则值域为．D正确．故选：CD【点睛】关于新定义函数类型问题的求解，主要的解题思路是理解新定义，并将新定义的知识转化为学过的知识来进行求解，如本题中新定义的“跟随区间”，根据它的定义，可转化为函数的定义域和值域问题来进行求解.三、填空题22．已知定义在整数集合上的函数，对任意的，，都有且，则.【答案】/0.5【分析】先用赋值法得到，即为周期为6的函数，从而得到，赋值法求出，从而求出答案.【详解】中，令得：，所以，故，即，所以，将代替得：，从而得到，即为周期为6的函数，由于，故，中，令得：，因为，所以，令得：，因为，所以，令得：，即，解得：，令得：，即，解得：，令得：，即，解得：，从而，故.故答案为：.23．已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是.【答案】【分析】讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若时，即当时，，所以，函数在上单调递减，且，当时，，所以，解得，②若时，即当时，，当时，，当时，.，所以，整理可得，，解得（舍去）；③当时，即当时，，当时，，当时，.因为，所以，整理可得，，解得或（舍去）.综上所述，实数的取值集合为.故答案为：.24．设a为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则a的取值范围为.【答案】【分析】根据奇函数的性质，结合基本不等式分类讨论进行求解即可.【详解】当时，，由，当时，，当且仅当时取等号，即时取等号，要想恒成立，只需成立，则有，或，解得，或，当时，由奇函数的性质可知，所以要想，综上所述：a的取值范围为，故答案为：25．已知奇函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为．【答案】【分析】通过构造函数法，结合函数的单调性求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意，的定义域是，是奇函数，所以，所以是偶函数，由于对，，都有，所以在上单调递增，则在上单调递减.，由得，即，所以或，所以不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题的关键点是熟练掌握函数单调性的定义及其变型.任取定义域内的两个数，且，通过计算的符合来判断的单调性，也可以利用的符号来判断的单调性.26．已知，对恒成立，则实数的取值范围．【答案】【分析】分析可得原题意等价于，对恒成立，根据恒成立问题结合函数单调性分析求解.【详解】若，则，令，则，可得，整理得，故原题意等价于，对恒成立，∵在上单调递增，则，∴，解得，即实数的取值范围.故答案为：.【点睛】结论点睛：对，，等价于；对，，等价于.四、双空题27．设定义在上函数，满足：，，且为奇函数，则，最小正周期．【答案】24【分析】空1：整理可得，令，即可得结果；根据题意可得，结合奇函数的定义可得，即，进而可得.【详解】空1：因为，即，且，即，可得，令时，则，因此；空2：可得，由此可转为，即，又因为为奇函数，则，可得，即，则，因此最小正周期．故答案为：2；4.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．本题考查函数得性质---奇偶性、对称性、周期性，难度较大．28．设函数，则在上的最小值为；若的定义域与值域都是，则．【答案】或或【分析】将表示为分段函数的形式，画出的图象，结合二次函数的知识求得在上的最小值.对进行分类讨论，根据定义域与值域都是列式，化简求得.【详解】，画出的图象如下图所示，结合图象以及二次函数的性质可知：在上的最小值为.依题意，的定义域与值域都是，（1）当时，在上递减，所以，即，两式相减并整理得.（2）当时，在上的最小值为，因为的值域为，所以与矛盾.（3）当时，在递增，，所以，，两式相减并整理得与矛盾.（4）当时，在的最大值为，所以，区间为，所以的最小值为，所以，所以.（5）当时，在递减，，，两式相减并整理得，与矛盾.（6）当，在递减，，，两式相减并整理得与矛盾.（7）当时，在的最小值为，所以，，所以的最大值为，解得（负根舍去），所以.（8）当时，在递增，，所以，由于，所以，与矛盾.综上所述，的值为或或.故答案为：；或或【点睛】本题的难点有两个，一个是是含有绝对值的函数，在处理时，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此可画出的图象并研究其性质.第二个难点在于在上的值域为，解决的办法是分类讨论.五、解答题29．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称函数具有性质．(1)判断函数是否具有性质，并说明理由；(2)若函数的定义域为且且具有性质，求的值；(3)已知，函数的定义域为且具有性质，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围．【答案】(1)具有性质，理由见解析(2)15(3)【分析】（1）取，即可得到，再根据的性质即可判断；（2）首先将函数配成顶点式，即可判断函数的单调性，依题意可得，从而得到，再根据、的取值情况得到方程组，解得即可；（3）根据复合函数的单调性可得在上单调递增，即可得到，从而求出的值，依题意可得对任意的恒成立，再分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.【详解】（1）解：对于函数的定义域内任意的，取，则，结合的图象可知对内任意的，是唯一存在的，所以函数具有性质.（2）解：因为，且，所以在上是增函数，又函数具有性质，所以，即，因为，所以且，又，所以，解得，所以．（3）解：因为，所以，且在定义域上单调递增，又因为，在上单调递增，所以在上单调递增，又因为具有性质，从而，即，所以，解得或（舍去），因为存在实数，使得对任意的，不等式都成立，所以，因为在上单调递增，所以即对任意的恒成立．所以或，解得或，综上可得实数的取值范围是．30．已知幂函数是其定义域上的增函数．(1)求函数的解析式；(2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在(3)【分析】（1）因为是幂函数，所以；（2）考虑函数中x的次数，换元成二次函数解题；（3）因为在定义域范围内为减函数，故有，相减后得，进而，换元成二次函数解题.【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或当时，，在为减函数，当时，，在为增函数，所以.（2），令，因为，所以，则令，，对称轴为．①当，即时，函数在为增函数，，解得．②当，即时，，解得，不符合题意，舍去．当，即时，函数在为减函数，，解得．不符合题意，舍去．综上所述：存在使得的最小值为.（3），则在定义域范围内为减函数，若存在实数，使函数在上的值域为，则，②-①得：，所以，即③．将③代入②得：．令，因为，，所以．所以，在区间单调递减，所以故存在实数，使函数在上的值域为，实数的取值范围且为．31．已知函数，(1)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；(2)若对任意，存在，使得，求的取值范围.【答案】(1)或(2)【分析】（1）依题意可得对任意的恒成立，分、、三种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.（2）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解.【详解】（1）解：由，即，即对任意的恒成立，当时恒成立，符合题意，当时，问题等价于在上恒成立，因为当且仅当，即时取等号，故符合题意，当时，问题等价于在上恒成立，则，解得或，综上可得或.（2）解：当时，．又．①当，即时，对任意，．所以，此时不等式组无解，②当，即时，对任意，．所以，解得，③当，即时，对任意，．所以此时不等式组无解，④当，即时，对任意，．所以此时不等式组无解．综上，实数的取值范围是．32．已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又．(1)判断的奇偶性并证明；(2)求在区间的最小值；(3)解关于的不等式：．【答案】(1)为奇函数，证明见解析(2)(3)答案见解析【分析】(1)令,得，再令，结合奇偶性定义可证；(2)先证明单调性，利用单调性求解即可；(3)先化为，再利用单调性转化为，最后根据含参二次不等式的分类讨论求解即可.【详解】（1）为奇函数，理由如下：函数的定义域为，关于原点对称，令得，解得，令得所以对任意恒成立，所以为奇函数，（2）任取，且，则.因为当时，，所以.，即，所以在上单调递增，所以在区间的最小值为，因为，令得，令，得，在区间的最小值为，（3）由，得，由得，由在上单调递增得整理得，即，当时，，解得；当时，，当时，，，解集为，当时，，当时，，解集为，当时，，解集为，当时，，解集为，综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．【点睛】关键点睛：这道题的关键之处为第（3）问，需要对含参的二次函数进行分类讨论，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的．33．已知函数为奇函数.(1)利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增；(2)若正数满足，求的最小值；(3)解不等式.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）利用函数的奇偶性得出，然后利用函数单调性的定义证明即可；（2）由已知条件求得，即，利用“1”的妙用和基本不等式求解即可；（3）令，易知是奇函数，且在上单调递增，又，不等式，从而，求解即可．【详解】（1）函数的定义域是，由题意得，解得：，则，，为奇函数，故，任取，且，则，因为，且，所以，所以，故，所以函数在上单调递增；（2）因为为奇函数，所以，又函数在上单调递增，所以正实数满足，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.（3）令，因为和都是奇函