第三讲 数形结合思想在三角函数中的应用（解析版）

第3讲数形结合思想在三角函数中的应用我国著名数学家华罗庚曾针对数形结合思想作了一首著名的诗：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合，主要指的是数与形之间的一种对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，达到“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题形象化。在三角函数的学习过程中，如三角函数的定义域，值域，周期性，奇偶性，单调性，对称性等都可以从三角函数的图象上直观的显现出来，而利用三角函数的图象又非常容易理解三角函数的这些性质。因此，明确研究三角函数问题都可用代数和几何相结合的思想方法，即数形结合思想，来拓宽思维空间，提高解决问题的能力。例如数形结合思想在含绝对值的三角函数、在三角函数已知零点或极值点求ω及在三角函数求交点个数（解的个数、交点横坐标之和）、方程的根及零点个数（零点之和）中都有广泛的重要应用，而本文会重点就数形结合思想在三角函数中的几类应用展开详细讲解。【应用一】数形结合思想在含绝对值的三角函数中的应用我们在学习三角函数的图象与性质时，经常会遇到给定（）的函数解析式，求周期、最值、单调区间、对称轴、对称中心及判断奇偶性，此时我们可以直接利用公式或整体思想计算而得。但有时也会遇到这样一类题，给定的三角函数解析式中含有绝对值，例如：、、、等，此时仍然考查周期、最值、单调区间、对称轴、对称中心及判断奇偶性，那么我们该如何求解呢？面对这类题，如果我们能把对应三角函数的图象画出来，借助数形结合思想则可求解上述问题，例如下面这道例题：【例1】（2023春·山东·高三统考）已知函数，下列结论正确的是（

）A．函数图像关于对称B．函数在上单调递增C．若，则D．函数的最小值为通过观察及上述方法介绍的学习，本题用数形结合思想来求解，那么我们应该怎么去化简函数和画出图象呢？首先先分类讨论去绝对值，当时，即，当时，即，即可绘出函数图像，如下所示：结合图象即可得到答案【答案】A【分析】本题首先可以去绝对值，将函数变成分段函数，然后根据函数解析式绘出函数图像，最后结合函数图像即可得出答案.【详解】由题意可得：，即可绘出函数图像，如下所示：故对称轴为，A正确；由图像易知，函数在上单调递增，上单调递减，B错误；要使，则，由图象可得或、或，故或或，C错误；当时，函数取最小值，最小值，D错误，故选：A．【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的对称轴、三角函数的单调性以及三角函数的最值，考查分段函数，考查数形结合思想，是难题.【思维提升】通过本题我们不难发现，对于给定、、、等函数解析式,可以先去掉绝对值，再画出图象，从而利用数形结合思想来求解相关问题，可通过学习这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究稍复杂型带绝对值的同类题型求解。【变式1.1】（2022·湖南·校联考三模）已知函数，现有下述四个结论：①的最小正周期为；②曲线关于直线对称；③在上单调递增；④方程在上有4个不同的实根.其中所有正确结论的编号是（

）A．②④ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】结合二倍角公式对函数进行变形可得，作出在上的图象，可知四个命题的正确性.【详解】解：，作出在上的图象（先作出的图象，再利用平移变换和翻折变换得到的图象），如图所示，由图可知①②④正确，③错误.故所有正确结论的编号是①②④.故选:D.【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了分段函数的图像的做法，考查了三角函数的图像，考查了三角函数的性质，考查了数形结合.本题的关键是对已知函数进行整理变形后，画出其函数的图像.【变式1.2】（2022·安徽·高三模拟）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．的增区间为，B．的对称轴为，C．，使得对恒成立D．，若，则，【答案】ABD【分析】根据函数的奇偶性和周期性，得出函数为偶函数且周期为周期函数，进而只需要研究上图象即可，先画出函数在上图象，利用性质即可画出函数在上图象，结合图象即可以判断各选项.【详解】为偶函数，为函数的周期，因此只需要研究上图象即可，当时，，再根据偶函数和周期性得到，的图象，如图所示由图可知：的增区间为，，故A正确；的对称轴为，，故B正确；的最小正周期为，故C不正确；，，故D正确.故选:ABD.【变式1.3】（2023春·安徽合肥·高一合肥市第八中学校考期中）（多选）已知函数，下列说法正确的是（

）A．的最正周期为B．若，则C．在区间上是增函数D．的对称轴是【答案】ABD【分析】把函数化成分段函数，作出函数图象，根据图象判断AC，由余弦函数的性质判断C，再结合图象利用函数对称性的性质判断D.【详解】依题意，，函数部分图象如图，

由图象知函数是周期函数，周期为，故A正确；因且，则当时，且，则且，，因此，，，B正确；观察图象知，在区间上不单调，所以在区间上不是增函数，故C不正确；观察图象知，，是函数图象的相邻两条对称轴，且相距半个周期长，事实上，即图象关于对称，同理有图象关于对称，而函数的周期是，所以函数图象对称轴，D正确.故选：ABD【应用二】数形结合思想在三角函数已知零点或极值点求ω的应用我们在学习三角函数图象与性质及三角恒等变换综合时，会遇到这样一类题，给出对应的三角函数的解析式，已知单调性、奇偶性或对称性求ω的范围，我们可以借助整体思想求解即可。但有时也会遇到这样一类题，给定三角函数在确定区间内有几个零点或几个极值点求ω的范围，那么此时我们应该如何求解呢？考虑到题干当中已经给出了确定的零点或极值点个数，如果我们能画出图象，并且能够直观的从图象中读出零点或极值点个数，从而确定区间范围，再而可确定参数ω的范围，则所求问题可求解，那么问题关键是我们能不能作出图象？又该怎样作出图象呢？我们还是可以结合三角函数的图象和性质借助五点作图法来作图，不妨先看下面这道例题：【例2】（2022秋·山西运城·高三校考）已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．观察本题，角度是统一的，但函数名及次数不统一，我们可以先用辅助角公式把函数名统一，即，此时我们可以换元作图，令，由，则，则，，作图如下：有4个零点和1个极大值点，即右端点即可求解【答案】D【分析】先利用辅助角公式得到，设，将问题转化为在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，再结合图象进行求解.【详解】，令，由，则；因为在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，即在上有且仅有4个零点和1个极大值点.作出的图象（如图所示），则，解得，故的取值范围是.故选：D.【思维提升】通过本题我们不难发现，在三角函数已知零点或极值点求ω,往往可以数形结合思想来作图求解，如较复杂型函数则可通过诱导公式或三角恒等变换公式,将其转化为形如（）等形式，进而结合三角函数图象与性质可求解，可通过学习这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究三角函数中已知的其他综合条件来求ω的综合问题。【变式2.1】（2022秋·北京·高三统考阶段练习）设函数在区间上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，由已知可得，根据已知可得，应使在上有两个极值点、三个零点，根据余弦函数的图象即可得到关于的不等式，求解即可得到的取值范围.【详解】令，因为，所以，要使函数在区间有两个极值点、三个零点，只需函数在上有两个极值点、三个零点即可.又因为的极值点即为的最值点，即在对称轴处取得极值.作出的图象，，.根据函数图象可知，需满足，即，即，解得，所以的取值范围是.故选：C.【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知函数在区间恰有3个零点，4个极值点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出的范围，然后结合函数图象、零点个数和极值点个数可，进而求出可得答案.【详解】因为，所以，因为在区间内恰好有3个零点，4个极值点，结合函数图象可得：，解得，的取值范围是.故选：A.【变式2.3】（2022·江苏高三校考阶段练习）已知函数在内有且仅有3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用两角和正弦公式和辅助角公式将函数整理为，由，得，结合正弦函数的图像求得的范围，从而求得的范围.【详解】当时，在有且仅有3个零点，结合正弦函数图像可知，解得：故选：A.【点睛】本题考查函数的零点问题，解答本题关键是先利用三角恒等变换公式将三角函数整理为形式，再利用数形结合思想求解，考查学生的数形结合与计算能力，属于中档题.【应用三】数形结合思想在三角函数求交点个数（解的个数、交点横坐标之和）、方程的根及零点个数（零点之和）中的应用我们在学习函数的应用时学习到函数零点的定义和函数零点存在性定理的应用，我们知道求函数的零点可以等价转化为对应方程的根或图象交点的横坐标。而在学习三角函数的图象与性质时，我们仍然会遇到已知关于三角函数的解析式求交点个数（解的个数、交点横坐标之和）、方程的根及零点个数（零点之和）的系列问题。在学习函数应用时我们也曾作出图象求解，那么在三角函数的相关问题求解中，我们同意可以利用数形结合思想求解，例如下面3道例题：【例3.1】（2023春·高三练习）方程的解的个数是A．0个 B．1个 C．2个 D．3个本题不难，分别作出和的图象，观察图象，即可得到交点个数【答案】D【分析】先在同一坐标系中分别作出函数，的图象，数形结合即可得图象交点个数，即方程的根的个数.【详解】解：在同一坐标系中分别作出函数，的图象如图：由图可知函数，的图象有3个交点，即方程的解有3个.故选：D.【点睛】本题考查了方程的根和函数的交点间的转化，正弦函数、一次函数的图象及画法，考查了数形结合求交点个数的方法，是基础题.【例3.2】（2023秋·福建龙岩·高三统考）函数在区间上的所有零点之和为（

）A．6 B．8 C．12 D．16观察本题，的系数里有，不能直接作出的图象，那么我们该怎样把问题等价转换呢？结合函数零点的定义，我们可以转换成对应方程的根或对应两个图象的交点，我们不妨先把函数化简，，令，即，于是我们可以转换成两图象交点问题，可以发现与均关于点对称，作图如下：结合图象即可求得零点之和即交点横坐标之和【答案】B【分析】根据题意整理可得，将函数的零点问题转化为与的交点问题，利用图象结合对称性分析运算.【详解】由题意可得：，令，且，可得，∵与均关于点对称，由图可设与的交点横坐标依次为，根据对称性可得，故函数在上所有零点之和为.故选：B.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数；（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【例3.3】（2022·北京·高三专题练习）若方程有两个不同的实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．观察本题，角度是统一的，但函数名及次数不统一，我们可以先用辅助角公式把函数名统一，即，此时我们可以换元作图，原方程可等价于，于是我们可以画出，如图：结合图象即可求得即的取值范围【答案】D【分析】由题意结合三角恒等变换转化条件为在上有两个不同的实数根，作出函数的图象，数形结合即可得解.【详解】由题意，所以在上有两个不同的实数根，作出函数的图象，如图：由题意要使直线与函数的图象有两个不同交点，则，解得.所以k的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查了三角恒等变换与三角函数图象的综合应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于基础题.【例3.4】（2023·高三练习）函数和的图象在区间上交点的横坐标之和为（

）A．6 B．4 C．8 D．12通过计算和类比思想，我们可以发现故是函数和的对称中心，则本题直接可以作出与的图象，如图所示：结合图象和对称性即可求得交点横坐标之和【答案】C【分析】由题意求得的最小正周期和对称中心及的对称中心，分别作出它们的图像，得交点的个数与特征，即可求交点的横坐标之和.【详解】解：，，令，则，所以函数的对称中心为，因为是由函数向右平移2个单位得到的，所以关于对称，故是函数和的对称中心，画出两函数的图像如图所示：故两函数有四个交点，设从左到右依次为，根据对称性，则关于对称，也关于对称，所以，即函数和的图象在区间上交点的横坐标之和为8.故选：C.【思维提升】通过两题我们不难发现，对于在三角函数求交点个数（解的个数、交点横坐标之和）、方程的根及零点个数（零点之和）中的问题中，我们都可以用数形结合的思想结合具体函数作出图象。从而可直观求解出对应问题，未来我们也可以用同样的方法来研究较为复杂型的三角函数的性质及零点、交点、方程的根的综合问题。【变式3.1】（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期末）设常数使方程在区间上恰有五个解，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，作出函数在上的图像，判断方程在区间上恰有五个解的条件，解方程.【详解】作出函数在上的图像:由图像可知，在区间上恰有五个解，只有时才能成立，由，解得：，，，，，故选：C【变式3.2】（2022·全国·高三专题练习）设，关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由且有个不同的实数解，可知与有两个交点，结合图象并列不等式，即可求出的范围【详解】∵∴，则由于关于的方程有个不同的实数解，结合如下图示

∴故选：D【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，根据三角函数在某一区间内实数解的个数求参数范围【变式3.3】（2022春·江西赣州·高一赣州市赣县第三中学校考阶段练习）若方程在内有解，则a的取值范围是.【答案】【分析】由题得，令，，再利用二次函数的图象和性质求解.【详解】解：由题得，令，，二次函数的对称轴为，由二次函数的图象得当时，；当时，.所以实数的取值范围为.故答案为：【变式3.4】（2022秋·江苏·高三专题练习）已知函数，有三个不同的零点、、，且，则的值为（

）A． B．C． D．不能确定【答案】A【分析】作出函数在区间内的图象以及函数的图象，利用对称性可求得的值.【详解】画出函数在内的图象以及的图象如下图所示，令，，则，可得或，解得或，令，可得，解得.由图象可知点、关于直线对称，点、关于直线对称，故，，所以.故选：A.【点睛】本题考查利用正弦型函数的零点求零点之和，考查了正弦型函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.【变式3.5】（2022春·河南安阳·高一林州一中校考阶段练习）函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】转化条件得在上有两个零点，令，，画出的图象后数形结合即可得解.【详解】令，得．因为，令，，因为函数在有2个零点，所以直线和的图象有两个交点．作出的图象，如图，数形结合可知，．故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质以及函数的零点问题，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于中档题.【变式3.6】（2020秋·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）设函数，若函数恰有5个零点，，，，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得有5个根，作出的图像，利用正弦型函数图像的对称性，找出间的关系，即可求得结果.【详解】由函数恰有5个零点，知有5个根，由五点法作图，02πx0100如图，可知过点，，，又则，，，故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解【变式3.7】（2022秋·四川广安·高三四川省岳池县第一中学校考阶段练习）已知函数，，若方程有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等比中项以及余弦函数的对称性列式求得，进而可得结果.【详解】如图，设方程的三个不同的实数根从小到大依次为，，则，解得，所以.故选：A.【变式3.8】（2022秋·浙江杭州·高一杭州外国语学校校考期中）已知关于的方程在区间上存在两个根，则实数的取值范围是.【答案】【分析】令，问题等价于直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用数形结合思想即可得解.【详解】由，可得，，令，问题等价于直线与函数在区间上的图象有两个交点，如下图所示：由图象可知，当时，即当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用三角方程根的个数求参数，一般转化为两个函数的交点个数来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.【变式3.9】（2023·福建·高三福建高三校考）函数，，满足，若，在有两个实根，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由对称性求得的解析式，方法1：换元后画图研究交点个数可得m的范围；方法2：直接画的图象研究交点个数可得m的范围.【详解】∵，∴关于对称，∴，，解得：，，又∵，∴，∴方法1：，，即：，，设，则在有两个实根，即：在有两个交点，如图所示，当时，，∴，即：，故选：A.方法2：∵在有两个实根，∴在有两个交点，如图所示，当时，∴，即：即：，故选：A.【变式3.10】（2022·贵州贵阳·高三统考）已知函数，若直线与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是（

）A．（-2，2） B．（-1，2） C．（1，2） D．（0，2）【答案】C【分析】化简函数解析式为,做出函数的图象,数形结合可得的取值范围.【详解】因为,所以.由,做出的图象如图所示:直线与的图象恰有两个交点,只需满足有两个解.即即可.故选:C.【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性,函数的图象变换规律,正弦函数的图象特征,体现了转化、数形结合的数学思想,属于中档题.【变式3.11】（2022·广东中山·高三校考阶段练习）函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题及函数性质可知，两个函数的图象均关于点对称，分别作出两个函数的图象，由函数的对称性性质即可求解.【详解】由题意，函数的图象与函数的图象均关于点对称，作图如下：所以由图可知，两个函数在上共有个交点，且两两关于点对称，设对称的两个点的横坐标分别为，则，个交点的横坐标之和为.故选：D【点睛】本题考查函数的对称性，考查数形结合思想,且其关键点是能正确作图，属于中档题.【变式3.12】（2022春·安徽安庆·高三校联考阶段练习）函数与的图像有个交点，其坐标依次为，，，，则（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】A【分析】由已知函数解析式可知两个函数对称中心均为为，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象根据对称性即可得到答案．【详解】，两个函数对称中心均为为，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图：由图可知共有四个交点，且关于对称，故．故选：A.【点睛】本题主要考查函数的图象，中心对称图形的特点，属于中档题．巩固练习一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】画出图象，再利用图象翻折得到观察图象可得周期.【详解】由的图象可知，.故选：B.【点睛】本题考查三角函数型的图像与性质.三角函数周期的求解公式法：或的最小正周期为，的最小正周期为2．（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在上是减函数；③在上有三个零点；④的最小值是0.其中所有正确结论编号是（

）A．①②④ B．②③ C．①③ D．①④【答案】A【解析】作出函数的图象，结合图象逐一核对四个命题得答案．【详解】解：作出函数的图象如图，由图可知，，故是偶函数，故①正确；在区间上单调递减，故②正确；在上有无数个零点，故③错误；的最小值是0.，故④正确．故选：A．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，作出函数的图象是关键，是中档题．3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是①函数图象的一条对称轴的方程为；②函数在闭区间上单调递增；③函数图象的一个对称中心为点；④函数的值域为.A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】根据题意写出分段函数的解析式，利用三角函数图象和性质逐一进行分析即可．【详解】由题意可知，函数即，作出函数的图象，如下图所示：由图象可知函数关于对称，故①正确；由图象可知函数闭区间上单调递增，故②正确的；当时，，可知③错误；由解析式和图象可知，故④错误的.故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质与图象，本题的关键是作出函数的图象，属于中档题．4．（2022秋·福建·高三校考阶段练习）函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先分类讨论去绝对值号，得出函数的解析式，然后画出函数与的图象进行判断.【详解】，如图所示，要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则只需.故选：C.【点睛】本题考查根据函数图象的交点个数求参数的取值范围，较简单，画出函数的图象是关键.5．（2023·高三模拟）函数在区间内的零点个数是（

）A．98 B．100 C．102 D．200【答案】B【解析】化简函数，令，转化为方程，结合指数函数和的图象，即可求解.【详解】由题意，函数，令，即，即，在同一个坐标系中分别作出和的图象.结合指数函数和的图象，可得一个周期内有2个交点，即一个周期内有2个零点，所以所求交点的个数为(个).故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定，以及正弦函数和指数函数图象与性质的应用，其中解答中结合指数函数和正弦函数的图象，求得一个周期内零点的个数是解答的关键，属于基础题.6．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数的零点为x轴上的所有整数，则函数的图象与函数的图象的交点个数为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】先确定出，然后数形结合可得结果.【详解】因为函数的图象与轴交于所有的整数点，所以函数的最小正周期为2，则又，且，则，所以.解法一：作出函数，的大致图象，根据图象可以得到两个函数图象的交点个数为11，故选：D.解法二：因为，当时，，此时与的图象无交点.当时，与的图象有交点，且交点个数为5，根据对称性可知，当时，与的图象的交点个数为5.与的图象均经过原点，则函数的图象与的图象的交点个数为11.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于根据已知条件求出.7．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知函数的最小正周期为，若在上有两个实根，，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设可得，将问题转化为在上与有两个交点且交点横坐标之差，应用数形结合确定的取值范围.【详解】由题设，，则，即，又在上有两个实根，，且，上，，则的图象如下：

∴要使，则对应，∴当时，有两个交点且.故选：D8．（2022春·安徽滁州·高三校考开学考试）已知函数，有三个不同的零点，，，且，则的范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，将函数的零点问题，转化为函数的图象与直线的交点横坐标问题进行研究.根据正弦函数的图象的对称性质得到,进而得到，结合图象和正弦函数的最大值，得到的取值范围，进而得到的取值范围.【详解】令，当时，，的图象如图所示，由对称性可知，∴,又∵，∴，,故，∴,故选：.9．（2020·全国·高三专题练习）已知函数有且只有三个零点，则属于A． B． C． D．【答案】D【分析】有且仅有三个不同零点等价于与有且仅有三个不同交点，数形结合知当与相切时，满足题意，利用导数的几何意义可得，进一步得到，所以，再求出的范围即可得到答案.【详解】由已知，有且仅有三个不同零点等价于方程有且仅有三个不同实根，等价于与有且仅有三个不同交点，如图当与相切时，满足题意，因为，所以，且，消a得由诱导公式，有，又，所以.故选：D【点睛】本题考查已知函数的零点个数求范围问题，涉及到导数的几何意义，考查学生数形结合的思想，转化与化归思想，是一道有一定难度的题.二、多选题10．（2023秋·湖南湘潭·高一湘潭县一中校考期末）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的值域为B．当且仅当时，函数取得最大值C．的最小正周期是D．当且仅当时，【答案】BD【分析】先对化简，然后作出的图像如图所示，利用函数的图像逐个分析判断即可【详解】因为，作出函数的图象，如图所示：所以，的值域为，A错误；函数的最小正周期是，C错误；当且仅当时，函数取得最大值，B正确；当且仅当时，，D正确.故选：BD.11．（2023春·陕西渭南·高一统考期末）已知函数，则下列结论正确的有（