第七章《复数》同步单元必刷卷（培优卷）全解全析

第七章《复数》同步单元必刷卷（培优卷）全解全析1．C【分析】根据复数的相关概念运算求解.【详解】由题意可得：，则，故实数m的取值范围是.故选：C.2．A【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断②【详解】①②则①②均正确故选：A3．C【分析】根据对称性得到，从而计算出，求出模长.【详解】对应的点为，其中关于的对称点为，故，故.故选：C4．A【分析】根据欧拉公式，再分析复数z的实部和虚部的符号即可.【详解】由题意，显然，所以在复平面中对应的点在第一象限；故选：A.5．C【分析】根据，和来求解.【详解】，于是.故选：C6．C【分析】化简复数方程，根据复数相等的结论列方程求，由此可求.【详解】由可得，则，所以，故．故选：C.7．D【分析】取，计算模，可判断A;根据复数的几何意义结合向量的运算，可判断B;根据点的坐标特征可判断其所在象限，判断C;根据复数模的几何意义求得复数z对应的点所构成的图形面积，判断D.【详解】对于A，取，则，故A错误；对于B，，B错误；对于C，点Z的坐标为，则Z对应的点在第二象限，C错误；对于D，设，则由可知，故复数z对应的点所构成的图形面积为，D正确，故选：D.8．A【分析】由已知求得，得到，利用导数研究单调性及过的切线的斜率，再画出图形，数形结合，即可求得实数的取值范围．【详解】由题意，复数在复平面内对应的点位于实轴上，所以，即，所以，则，所以函数单调递增，且当时，，作出函数的图象，如图所示：又由直线过点，设切点为，则在切点处的切线方程为，把代入，可得，即，即，即切线的坐标为，代入，可得，即，又由图象可知，当，即时，曲线与直线有且只有一个公共点，综上所述，当时，曲线与直线有且只有一个公共点，故选A．【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，考查函数零点的判定，以及导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.9．CD【分析】由复数的指数形式化为三角形式，然后计算化简，结合复数的模、复数的概念判断各选项．【详解】由于，所以A错误；为实数，故B错误；复数的模长为，故C正确；，D正确．故选：CD10．BD【分析】利用复数的模的定义以及其复数的几何意义，逐个选项进行计算，即可判断答案.【详解】A项：，故错误；B项：因为，故正确；C项：，当与i对应向量同向时取等，故错误；D项：，当与对应向量反向时取等，故正确.故选：BD.11．AC【分析】设，根据复数的乘法运算和复数的模长的概念，可判断A、C；取可判断B、D.【详解】对于A，

设，若，则，所以，即，所以，若，则成立，此时；若，由得，由得，此时；若，由得，所以，此进，所以若，则或，故A正确；对于B，设则，故B不正确；对于C，设，所以，若，则或，所以，故C正确；对于D，由，取，满足条件，而，故D不正确.故选：AC.12．AD【分析】将方程进行等价变形为，利用复数的定义，若复数为0，则实部为0，虚部也为0，判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举例当且时，无纯虚根判断C.【详解】解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有，则有，，即且，故A正确；B选项：方程可变形为：，即，则，只有一解，故B错误；C选项：当且时，方程仅存在一解，此时无纯虚根，故C错误；D选项：若方程存在实数根，则，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正确故选：AD13．或【分析】求出的坐标，再设的坐标，根据给定条件，列出方程组求解作答.【详解】依题意，，设，由得：，由得：，联立解得或，即或，所以或.故答案为：或14．【分析】设出方程与另一个根为，根据系数都为实数结合韦达定理得出与都是实数，则一定为虚数，设，即可列式解出，则，，即，，代入方程化简即可得出答案.【详解】设一元二次方程为，设这个一元二次方程的一个根是，另一个根为，由韦达定理可得：，，这个一元二次方程的系数都为实数，，都是实数，则与都是实数，则一定为虚数，设，则为实数，得，解得，为实数，得，解得，则，则，，即，，则一元二次方程为，化简为：，故答案为：.15．或【解析】根据复数的几何意义由，得到，点的坐标为，设点的坐标为，再根据三角形是以为斜边的等腰直角三角形，则有，再运算求解..【详解】因为，所以，点的坐标为.设点的坐标为，则.由题意得，，所以，解得或，所以复数或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】设，由得，进而求得，，即可求得.【详解】设，由可得，即，整理得，即，则；又复数对应的向量为，则，，则，，则，则，则.故答案为：.17．（1）证明见解析；（2）5【分析】（1）使用复数加法的几何意义进行证明即可；（2）使用第（1）问证明结论，构造两个复数，，，进行证明即可.【详解】（1）设复平面上的点，是复数，所对应的点，∴向量，是复数，所对应的向量，∴，，当，不共线时，平行四边行对角线所成向量（如下图所示），∴向量，是复数所对应的向量，∴，∴在中由“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”的性质可得，，，∴；当且仅当，共线且方向相同，即且时，，当且仅当，共线且方向相反，即且时，，综上所述，.（2）∵∴令，，，∴由第（1）问证明的不等式，有则，当且仅当且，即时，等号成立.∴时，函数的最小值为.18．；证明见解析【分析】利用复数的代数形式的四则运算，结合三角函数的平方关系与和差公式进行证明即可.【详解】猜想的辐角为，证明如下：依题意，得，，所以，故的辐角主值为，则其辐角为.19．(1)见解析(2)方程的根为1或或.【分析】（1）直接计算的值即可证明；（2）因式分解为，则可求出其复数根.【详解】（1），故.（2），即，即则或，当，，当，或故方程的根为1或或.20．证明见解析【分析】利用复数代数形式的四则运算，结合三角函数的平方关系与和差公式即可得证明.【详解】因为，，所以，故.21．(1)详见解析(2)详见解析【分