2023年中考数学考前第2讲：新定义理解问题（附答案解析）

2023年中考数学考前冲刺第2讲：新定义理解问题

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

新定义问题：是指题目提供一定的材料,或介绍一个新概念,或给

出一种解法等,在理解材料的基础上,获得探索解决问题的方法,从而

加以运用，解决问题.这类问题一般由“阅读材料”和“提出问题”

两个部分组成.解决此类题的步骤：①理解“新定义”一一明确“新

定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；②重视“举例”，利用“举

例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题

方法.归纳“举例”提供的分类情况；③类比新定义中的概念、原理、

方法,解决题中需要解决的问题。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”一一明确“新定

义”的条件、原理、方法、步骤和结论；（2）重视“举例”，利用“举

例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做

题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、

归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要

解决的问题。

类型L方法模拟型，该类题目是指通过阅读所给材料，将得到

的信息通过观察、分析、归纳、类比，作出合理的推断，大胆的猜测,

从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用归纳与类比的方法来

解答题目中所提出的问题.

类型2：新知识学习型，这类题目就是由阅读材料给出一个新的

定义、运算等，涉及的知识可能是以后要学到的数学知识，也有可能

是其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题.解

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答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与

已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决.

类型3：信息处理型，这类题目主要是根据提供的表格，从中获

得信息，并结合题意进行解答，这就需要我们将表格内容转化为数学

信息或者已知条件。

类型4：阅读操作型，这类题目就是由阅读材料给出一个新的定

义、运算等，涉及的知识可能是以后要学到的数学知识，也有可能是

其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题.解答

这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已

学的知识联系起来，把新的问题转化为己学的知识进行解决.

一、选择题：

1.定义：点A(x,y)为平面直角坐标系内的点，若满足x=y,则把

点A叫做“平衡点”.例如：M(l,1),N(—2,—2)都是“平衡点”.当

-l≤x≤3⅛,直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是

()

A.O≤m≤lB.-3≤m≤lC.-3≤m≤3D.-l≤m≤0

2.已知点A在函数yι=-1(x>0)的图象上，点B在直线y2=kx+l+k

X

(k为常数，且k20)上.若A,B两点关于原点对称，则称点A,B

为函数y”y2图象上的一对“友好点”.请问这两个函数图象上的

“友好点”对数的情况为()

A.有1对或2对B.只有1对C.只有2对D.有2对或3对

二、填空题：

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3.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两

个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三

角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如

图23-4,线段切是△/a'的"和谐分割线”，△力如为等腰三角形,

△血?和相似，Z/4=46°，则N∕β?的度数为.

三、解答题：

4.设a,b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“㊉”为：

-(a>0),

a㊉b='a

a-b(a≤0).

例如:1Φ(—3)=—ɪ-=—3,(—3)㊉2=(—3)—2=—5,(x2+1)Φ(x

-1)=受(因为χ2+l>0)∙

X2+1

参照上面材料，解答下列问题：

(1)2㊉4=,(-2)Φ4=；

(2)若x>上且满足(2x—1)㊉(4χ2-1)=(―4)㊉(1—4x),求X的

2

值.

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2023年中考数学考前冲刺第2讲：新定义理解问题答案解析

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

新定义问题：是指题目提供一定的材料,或介绍一个新概念,或给

出一种解法等,在理解材料的基础上,获得探索解决问题的方法,从而

加以运用，解决问题.这类问题一般由“阅读材料”和“提出问题”

两个部分组成.解决此类题的步骤：①理解“新定义”一一明确“新

定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；②重视“举例”，利用“举

例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题

方法.归纳“举例”提供的分类情况；③类比新定义中的概念、原理、

方法,解决题中需要解决的问题。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”一一明确“新定

义”的条件、原理、方法、步骤和结论；（2）重视“举例”，利用“举

例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做

题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、

归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要

解决的问题。

类型L方法模拟型，该类题目是指通过阅读所给材料，将得到

的信息通过观察、分析、归纳、类比，作出合理的推断，大胆的猜测,

从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用归纳与类比的方法来

解答题目中所提出的问题.

类型2：新知识学习型，这类题目就是由阅读材料给出一个新的

定义、运算等，涉及的知识可能是以后要学到的数学知识，也有可能

是其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题.解

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答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与

已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决.

类型3：信息处理型，这类题目主要是根据提供的表格，从中获

得信息，并结合题意进行解答，这就需要我们将表格内容转化为数学

信息或者已知条件。

类型4：阅读操作型，这类题目就是由阅读材料给出一个新的定

义、运算等，涉及的知识可能是以后要学到的数学知识，也有可能是

其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题.解答

这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已

学的知识联系起来，把新的问题转化为己学的知识进行解决.

一、选择题：

1.定义：点A(x,y)为平面直角坐标系内的点，若满足x=y,则把

点A叫做“平衡点”.例如：M(l,1),N(—2,—2)都是“平衡点”.当

-l≤x≤3⅛,直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是

(B)

A.O≤m≤lB.-3≤m≤lC.-3≤m≤3D.-l≤m≤0

【解析】∙.∙χ=y,.∙.x=2x+m,即x=—m.

∙.∙—1≤x≤3,—1≤—m≤3,一3≤m≤1.

2.已知点A在函数y∣=-』(x>0)的图象上，点B在直线y2=kx+l+k

X

(k为常数，且k20)上.若A,B两点关于原点对称，则称点A,B

为函数y∣,y2图象上的一对“友好点”.请问这两个函数图象上的

“友好点”对数的情况为()

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A.有1对或2对B.只有1对C.只有2对D.有2对或3对

【分析】根据“友好点”的定义知，函数y∣图象上点A(a,-1)

a

关于原点的对称点B(a,-L)一定位于直线力上，即方程ka2-(k+l)

a

a+l=O有解，整理方程得(a-1)(ka-1)=0,据此可得答案.

【解答】解：设A(a,-ɪ),

U

由题意知，点A关于原点的对称点B((a,-L),)在直线y2=kx+l+k

a

上，

则L=-ak+1+k,

a

整理，得：ka--(k+l)a+l=0①，

即(a-1)(ka-1)=0,

.*.a-1=0或ka-1=0,

则a=l或ka-1=0,

若k=0,则a=l,此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的

“友好点”只有1对；

若kW0,则a=),此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的

“友好点”有2对，

综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，

故选：A.

二、填空题：

3.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两

个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三

角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如

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图23-4,线段切是△/a'的"和谐分割线”，4/0为等腰三角形,

△物和相似，Z∕l=46o,则/力巾的度数为.

【解析】,C∕∖CBD和△4比相似，

ΛZBCD=ZA=46°.

设∕ACB=x,贝!jN4a?=x—46。.

是等腰三角形，又/ADO/BCD,：.∕ADC>/A,即/分必

φ⅛AC=AD,贝!jN∕gN4T=χ-46°,

V460+x—46°+χ-46°=180°,

.∙.x=113°.

②若AD=CD,则N4g∕4

即46°=x—46°,

.∙.x=92°.

综上所述，N4"的度数为113°或92°.

三、解答题：

4.设a,b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“㊉”为：

-(a>0),

a㊉b='a

a一b(a≤0).

例如：1㊉(—3)=——=—3,(-3)®2=(—3)—2=-5,(x2+l)®(x

-1)=口(因为χ2+l>0)∙

X+1

参照上面