2023-2024学年陕西省安康市高二年级下册开学摸底考试数学（文）试题（含答案）

2023-2024学年陕西省安康市高二下册开学摸底考试数学(文)

试题

一、单选题

1.已知集合A={-1,L2,4},B={x∣d≤4},则AB=()

A.{-l,l}B.{1,2}C.{-l,l,2}D.{-1,1,2,4}

【正确答案】C

【分析】化简集合B,根据交集运算求解.

【详解】B={φ2≤4}=(x∣-2≤x≤2},

.∙.AB={-1,1,2}.

故选：C

2.已知直线/、m与平面α,其中mUa.则“∕J∙m''是"∕JLa''的()条件

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既不充分也不必要

【正确答案】B

【分析】举出反例得到充分性不成立，由线面垂直的定义得到必要性成立.

【详解】如图1,

图1

满足/，〃?，但/,α不垂直，充分性不成立，

当/_Le时，因为〃ZUα,由线面垂直的定义可知：l_L/n,必要性成立，

故“/，加”是"/_La”的必要不充分条件.

故选：B

3.设“x)是定义在R上的偶函数，当x≥O时,F(X)=2~,贝IJ"-I)=()

33

A.一一B.-1C.1D.-

22

【正确答案】C

【分析】根据函数的奇偶性及函数解析式求解.

【详解】因为是定义在R上的偶函数，

所以/(τ)=∕(ι),

又当工≥0时，/(x)=2v-x,

所以/(T)=∕(1)=2∣-1=L

故选：C

4.在2022年某省普通高中学业水平考试(合格考)中，对全省所有考生的数学成绩进行统

计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为

[40,50),[50,60),[60,70),[80,90),[90,100],90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是()

B.若要全省的合格考通过率达到96%,则合格分数线约为44分

C.从全体考生中随机抽取IOOo人，则其中得优秀考试约有IOO人

D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为705

【正确答案】A

【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优

秀率估算抽取的IOOO人中的优秀从数，从而判断各选项.

【详解】由频率分布直方图知中位数在[70,80]上，设其为X,则

x-700.5-(0.1+0.15+0.2)

80-70^03，

解得x≈71.67,A错；

要全省的合格考通过率达到96%,设合格分数线为y,则v工-4清0=^1l-*09,6丫=44,B正确；

由频率分布直方图优秀的频率为0.1,因此人数为IOOoXO.1=100,C正确；

由频率分布直方图得平均分为

45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,考试数学成绩的平均分约为

70.5,D正确.

故选：A.

2

5.若直线/将圆a+》+(y-l)=9平分,且在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为()

A.x+y-l=()B.x+y+l=0

C.x-2y=0或x+y-l=0D.x+2y=0或x+y+1=0

【正确答案】D

【分析】由题意可得直线/过圆心(-2,1),分直线/过原点和直线/不过原点，分别求得其直

线方程.

【详解】解：由题意可得直线/过圆心(-2,1),

当直线/过原点时，其方程为x+2y=0;

当直线/不过原点时，设/：χ+y-a,则a=—2+1=—1,此时方程为χ+y+l=0.

故选：D.

6.已知A为抛物线。：丁=2*(〃>0)上一点，点A到C的焦点的距离为6,到V轴的距离

为3,O为坐标原点，则|。Al=()

A.3√3B.6C.3√5D.9

【正确答案】C

【分析】根据抛物线定义及题意求出乙得出点A的坐标即可求解.

【详解】由已知及抛物线的定义可得3+5=6,解得p=6,

,抛物线方程为V=12x,

ΛXA-(-3)=6,即XA=3,代入抛物线方程可得y=±6,

ΛΛ(3,±6),IOAI=J9+36=36.

故选：C

f2

7.己知双曲线C-方v=1仅>0)的右焦点厂到其一条渐近线的距离为2,则C的渐近线

方程为()

∕τ

A.y=±∖∕2xB.y=±----x

C.y=±2xD.y=±χ

【正确答案】A

【分析】根据双曲线的焦点、渐近线方程，利用点到直线的距离求解.

【详解】由5-方=1知，双曲线的渐近线为方程为y=±&x，F(c,0),

则双曲线的焦点到渐近线的距离⅛i=beC

—=Z1?=2,

√⅛2+2c

.∙.双曲线C的渐近线方程为y=±&x.

故选：A

8.如图，在正三棱柱ABC-ABe中,AA=3,A3=2,则异面直线AB与8C所成角的

BDr.——12

ʌ-U-⅛13

【正确答案】B

【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于AB,然后构造三角形，运用异面直线夹角的定

义求解即可.

取AG的中点D,连接BG交BC于点E,连接。E,

则OE/M1B且=则/QE片为异面直线AB与BC所成的角或其补角.

易求AB=Be=屈,BlD=√3,则。E=BE=半，

DE1+BE2-BD2

所以cos/DEB、=yx

2DEBiE

故选：B.

9.已知函数/(x)=J‰in2x+cos2x,贝!!()

A./(x)的最大值为4

B.y=∕(χ)的图象关于点与。卜寸称

C./(χ)在售,引单调递增

D.将函数/(x)的图象向左平移;个单位得到一个奇函数

0

【正确答案】C

【分析】由三角恒等变换化简函数解析式，直接判断B,根据正弦型函数的最值判断A,由

正弦型函数的单调性判断C,根据三角函数的图象变换及诱导公式判断D.

【详解】/(x)=石sin2x+c°s2x=2sin(2x+E),

对A,函数的最大值为2,故A错误；

对B,因为/0=2s哼=IH0,故B错误;

对C,∙.∙χe(弓,屈，；.2x+^e传考)，由y=sinf在传号)单调递增可得/(x)在

(券,V)单调递增，故C正确；

对D,将函数/(x)的图象向左平移B个单位得到函数

g(x)=sin2(x+∙^J+∙^=Sinl2x+∙∣J=cos2x,为偶函数，故D错误.

故选：C.

10.沙漏是我国古代的一种计时工具,是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的(如

图).在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处沫到另一个圆锥中，假定沙子漏

下来的速度是恒定的(沙堆的底面是水平的).已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另

一个圆锥中需用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中

的沙子的高度之比是()

A.l:lB.2:1C.2:3D.3:2

【正确答案】B

【分析】由题意漏下来的沙子是全部沙子的1弓9，然后根据体积之比可得答案.

27

【详解】由题意漏下来的沙子是全部沙子的1弓9，下方圆锥的空臼部分就是上方圆锥中的沙

子部分，

，可以单独研究下方圆锥，

•.维=2.皿=2

..以一27一［初’-鹿3--AKΓ

故选：B

11.已知尸(x)是/(x)(XeR)的导函数，且r(x)+f(x)>O,/(1)=1,则不等式/(x)<e∣τ

的解集为()

A.(→30,l)B.(Fe)

C.(l,+∞)D.(e,+∞)

【正确答案】A

【分析】根据题意构造函数尸(x)=∕(x)∙e',借助函数的单调性解不等式即可.

【详解】令尸(χ)=∕(χ)e,则/(χ)=e，［r(x)+/(切>o,.•.尸ɑ)在R上单调递增.

O不等式/(x)<e∣r可化为/(x)∙e*<e,即F(X)<F⑴，.∖χ<l,

则不等式/(x)<e'τ的解集为(F,1)∙

故选：A.

22

12.已知斜率为;的直线/与椭圆E：W+4=l(a>6>0)相交于A,B两点，与X轴，y轴

2/Zr

分别交于C,。两点，若C,。恰好是线段AB的两个三等分点，则椭圆E的离心率e为()

A.ɪB.—C.正D.立

2223

【正确答案】C

【分析】设Aa,y∣）,B（x2,y2）,由三等分点可用x∣表示々M表示上，一方面由两点坐

标得直线AB斜率，另一方面用点差法求得直线AB斜率，从而得d4c的关系式，求得离心

率.

【详解】如图，设A（x∣,yJ,8（Λ2,%）,TC,。分别是线段AB的两个三等分点，.∙.C（f,（））,

D（O，5，贝IJ,

A2=-2%,型L

得一/Qf=2」小，

,

）2-2ɪi-X2ɜʃi2x1

⅛+4=ι,

利用点差法，由/h∖两式相减得.+看）卜|-%）+（X+二）<X-为）=0,

K或。b-

[a2b2'

整理得到4="，即鸳=4公今七《=人2=!，所以e=3∙

2222

X1aOa42

二、填空题

2x-y+15≥0

13.已知羽y满足约束条件卜+y≤0，则z=2的最小值为.

x-2y+9<0

【正确答案】-1

【分析】根据约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解.

【详解】根据约束条件画出可行域(如图)，其中A(-5,5),B(-7,l),C(-3,3),

Z=会表示可行域内的点(x,y)与原点连线的斜率，

由图可知，当直线z=?过点A(-5,5),C(-3,3)时，Z取最小值T.

故答案为.T

14.一个圆经过椭圆/+.=I的三个顶点，且圆心在y轴的正半轴上，则该圆的标准方程

9

为.

【正确答案】=y

【分析】设出圆心与半径，根据过椭圆的上顶点、左右顶点，由半径相等列方程求解.

【详解】由Y+著=1及圆心位置知：圆经过椭圆的上顶点坐标为(0,3),左右顶点坐标为

(±1,0),

设圆的圆心(OM),半径为=，则I+/=。-/=/,解得a=。，r=∣,

25

故答案为.9+

^9^

15.已知正三棱锥P-43C的顶点P,A,B,C都在直径为g的球面上，若∕¾,PB,PC

两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为.

【正确答案】7

O

【分析】由题可知，该正三棱锥的外接球与其所在的正方体外接球相同，补正方体后根据直

径列出方程，求出棱长，根据三棱锥体积公式求解即可.

【详解】解：将正三棱锥补形成正方体，如图所示，

设E4=PB=PC=X,由于正三棱锥的外接球和正方体的外接球相同，正方体的体对角线即

为外接球的直径，

∙>∙CX=ʌ/ɜnx=l,

.∙.正三棱锥的体积为《x[xlxlxl=，，

326

故答案为，

O

γ22

16.双曲线C:-—方v=l(α>0,b>0)的左，右焦点分别为耳，FAC上一点户到X轴的距

离为2α,NK尸乙=120。，则双曲线C的离心率为.

【正确答案】√3+2*⅛2+√3

【分析】在焦点三角形中，由余弦定理可得加〃=g(c2-/),进而利用等面积法可得

C2-6Z2-2√367C=O,由齐次式即可求解.

【详解】设P为第一象限内的点，I附|=机，IPEl=〃，忻月I=2c,则帆-n=24,在△?/谯

中，

由余弦定理得4c?=，/+“2一2/”〃COSI20。=(机-")一+3加〃，即4c2=442+3mn>即

mn=-{cl-a^^.

∙*∙XPF∖F[的面积为:机〃Sinl20。=^∙×∣∙(c2-a2^×^-=^×2c×2a,化简得

c2-a2-2>[3ac=0>

同除以/可得e2-2ge-l=0,解得e=上+2(负的舍去)

故6+2

三、解答题

,22

17._ABC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c,ABAC=~

4cosΛ

⑴求A；

(2)若ABC的面积为迈，C=2,求“的值.

2

【正确答案】(I)A=W

(2)a-y[l

【分析】(1)根据余弦定理及向量数量积的定义列出方程即可求解;

(2)由三角形的面积公式及余弦定理求解.

N）2

【详解】（1）VABAC=c~~a'

4cosA

/.IAq∙∣AC∣cosA=OeCoSA=2⅛ccosA

4cosA

由OVAV冗，

（2）由（1）及已知可得Sz^c=gAsinA=jx2x6x*=乎，解得6=3,

由余弦定理得/=y+°2-2"cOSA=4+9-6=7,

**a—•

18.如图，AB是圆柱。。Ι的一条母线，BC是底面的一条直径，。是圆。上一点，且

AB=BC=4,CD=2.

(1)证明：平面ABZ)J_平面ACZ)；

⑵求点8到平面ACD的距离.

【正确答案】(1)证明见解析

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明平面曲，即可求证；

(2)过点8作反以_LAe),垂足为“，由面面垂直的性质定理可得到BW1平面4C£),然

后通过几何关系求出BM的长度即可

【详解】(1)由己知可得A3工平面BCD,CDU平面3C。，,A8_LC。，

.∙•8(7是底面圆0的一条直径，，8£>_1_8,

DU平面480，ABU平面48。，BDcAB=B,二CD，平面A8。，

∙.∙8u平面ACr>,平面A8OJ_平面Aax

(2)过点8作垂足为例，

：平面AaDj"平面Aa),平面ABZ)C平面Aa)=A。，BMu平面ABQ,BM±AD,

：.3M1平面ACD,

,∙,BD=y∣BC2-CD2=2√3.

因为AB2平面BC£>,BQU平面BCD,.∙.LBD,

.,.AD=y∣AB2+BD2=2√7，根据等面积法可得AD-BM=^AB-BD,

.∙.BM=ABBD=生旦，即点B到平面ACO的距离为勺包.

AD77

19.已知数列｛%｝的前"项和为S,,an+Sn=4.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

(2)设a=log2%,求数列的前〃项和

⅛w-1^2π+I

【正确答案】(I)。,=??-"

⑵7L=一六

2n-l

【分析】(1)根据巴，S,的关系可得出递推关系式，由等比数列的定义求解;

(2)利用裂项相消法求和即可得解.

【详解】(1)由己知，令”=1可得4=2,

由%+S,=4得6Z,,.∣+Sz=4(〃≥2),

两式相减得2«„-απ,=0,即2=*2),

.∙.数列｛%｝是2为首项，为公比的等比数列,

♦"2XF=22τ

(2).bll=∖oξ2all=2-n,

h

ʌ2,,-↑=3-2w,b2π+l=l-2n,

•Il11______!_

"⅛,,-1⅛,,+l(3-2∕1)(l-2n)(2n-3)(2n-l)2{2n-32n-∖

+•••+—

22〃-32π-l

2n—1

22

20.已知椭圆C:0+2=l(α>8>0)的左，右顶点分别为A3,上顶点M与左，右顶点

ab

连线M4,M3的斜率乘积为-J,焦距为.

⑴求椭圆C的方程；

(2)设过点。(0,4)的直线/与椭圆C交于E/两点，O为坐标原点，若NEOF=90°,求直线

/的方程.

2

【正确答案】⑴三+丁=1

(2)y=±√19x+4

【分析】(I)根据题意列出关于。力的方程，求得其值，即得答案.

(2)设直线/方程，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系式，结合NE»=90。可得

化简求值，求得上的值，即得答案.

【详解】(1)由题意知M(O/)，A(-α,0),8(a,0),2c=2√3,c=√3,

,,b-0⅛-0b21.b2\

^MA.^MB=7；n=Γ=-^7,."-"2=~A，

0+〃O-Qa4a4

2

*∙*cr=⅛2÷3>∙*∙a2=4f加=1,；•椭圆C的方程为--K)，=1.

4-

(2)由已知过点。(。,4)满足题意的直线/的斜率存在，设/:y=依+4,

£2=1

联立了+)'一，消去y得(1+4攵2)/+32履+60=0,

y=kx+4

Δ=(32⅛)2-24θ(l+4⅛2)=64⅛2-240,令△>(),解得公>?.

Λ

设E(Λ,,R),尸(Λ2,%),则%+2=-7⅛7'XF2=若1，

1I^TK1十^rK

VZEOF=90o,ΛOEOF=O即石々+y%=。，

.15×(l+⅛2)2⅛2

Λ(∖+k2^xx+4⅛(x+x)+16=0,3

i212+4=0，

2

1+4/l+4⅛

解得』M‘满足-吟,

•••直线/的方程为y=±√19x+4.

21.已知。为坐标原点，过点加(2,0)的直线/与抛物线C：y2=2χ交于AB两点.

(1)证明：OAVOB-.

⑵若/与坐标轴不平行，且A关于X轴的对称点为£),圆Λ∕:X2+y2+4x-2y+3=0,证明:

直线BD恒与圆M相交.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据直线位置分类讨论，当直线/_Lx轴时，得48两点坐标，计算七从

而证得。4,08；当直线/与X轴不垂直时，设/的方程为y="χ-2),设交点

A(XQJ,8(w,%),根据韦达定理得Xy2=T,结合抛物线方程求生Λ,.，证得。4_L0B；

(2)由A,。关于X轴对称，得。的坐标为(∙η,-yj,求得直线BD的方程

2x+(χ-%)y-χ%=°,结合(I)中结论可得直线3。恒过点尸(一2,0),根据点P与圆M

的位置关系，即可判断直线3D恒与圆"相交.

【详解】(1)证明：当直线UX轴时，可得A(2,2),8(2,—2)

2-0-2-0

此时JkoB=τ-7X-T-=-1，所以OA_L03；

Z-UZ-U

当直线/与X轴不垂直时，设/的方程为y=Z(x-2),设A(Xl,乂),8(%,%)

22

代人y=2x得ky-2y-4k=O(Z≠0).

则,M=-4，Xd2="'j=4,

-4

所以ACMAOB=M,&=丁=T,所以。4_LO8.

x1X24

综上Q4_LQ3.

(2)证明：由于A,。关于X轴对称，故。的坐标为(4,—y).

v,v+C一μ+J(r才'

所以直线9的方程为y+%_石耳(Xf)-反二世广一村，

T-T

g∣J2x+(yl-γ