高三数学开学摸底考01（新高考七省地区专用）2023-2024学年高中下学期开学摸底考试卷（含解析）

2024届高三下学期开学摸底考（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.}2．若复数z=m(3+i)_(2+i)，其中<m<1，则复数z在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在等比数列{an}中，3a1,a3,2a2成等差数4．放射性物质的半衰期T的定义为：每经过时间T，该物质的质量会衰减成原来的一半．由此可知，m=M(，其中M为初始时物质的质量，t为经过的时间，T为半衰期，m为经过时间t后物质的质量．若某铅制容器中有A，B两种放射性物质，半衰期分别为TA，TB，开始时这两种物质的质量相等，100天后测量发现物质B的质量为物质A的质量的四分之一，则_=()5．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A(x1,)，B(x2,_2)两点，则p=()6．已知向量=(2,0)，=(0,3)，则向量与_2夹角的余弦值为()434A_B-CD7．已知体积为的正四棱锥S一ABCD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为()，则a，b，c的大小关系为()二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知x，y都是正数，且x+2y=2，则下列说法正确的是().+4y2的最小值为4D．+的最大值为2去除两个异常数据(一2,7)和(2,一7)后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则()A．相关变量x，y具有正相关关系C．去除异常数据后的经验回归方程为=3x一4.8D．去除异常数据后，随x值增加，的值增加速度变小11．已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为.若P、Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是()A三角形SPQ面积的最大值为B．三棱锥O一SPQ体积的最大值C．四面体SOPQ外接球表面积最小值为11πD．直线SP与平面SOQ所成角余弦值最小值为2121712．已知双曲线C:xy a2b2l垂直于双曲线C的一条渐近线，直线l与双曲线C交于A，B两点，若‘ABF1的面积为24，则()A．双曲线C的渐近线方程为y=土xB．双曲线C的实轴长为6C．线段AB的长为8D．‘ABF1是直角三角形第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知(1+2x)n的二项式系数和为256，则展开式中含x2项的系数为.15．已知圆M:x2+y2-2ay+a2-4=0与圆N:x2+y2-4x+3=0有3条公切线，则a的值为.16．设函数f(x)=axex-ax+a-ex(a>0)，若不等式f(x)<0有且只有三个整数解，则实数a的取值范围四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1710分）记‘ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=3b，cosB+5cosC=0.（1）求cosC；（2）若D是边AB上一点，BC」CD，且CD=，求‘ABC的面积，1812分）已知数列{an},{bn},Sn是数列{an}的前n项和，已知对于任意n=N*，都有3an=2Sn+3，数列{bn}是等差数-3成等比数列.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式.（2）记dn=,n=N*，求数列{dn}的前n项和Tn.n,n为奇数2n1912分）如图，在多面体ABCD-A1C1中，四边形ACC1A1是矩形，AD//BC，AA1」平面ABCD，E为CD的中点，2112分）（1）证明：DA1//平面AEC1；（2）求平面A1C1B与平面A1C1D的夹角的余弦值.2012分）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：月份x12345带货金额y/万元350440580700880（1）求变量x，y之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额.（2）该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：参加过直播带货未参加过直播带货总计女性2530男性总计请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关.参考数据：y=590，xi-x)2i-y2441000441000参考公式：线性回归方程的斜率=，截距=y-x.PK之PK之k00.150.100.050.025k02.0722.7063.8415.024在椭圆C：+=1（a>b>0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2+y2=a2+b2上，称此圆()()（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的蒙日圆上一点M，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若kOM，kON存在．证明：kOM.kON为定值.2212分）已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(aeR).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当a<0时，若f(x1)=f(x2)且x1产x2，求证：x1x2<4.12024届高三下学期开学摸底考一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.【答案】B2．若复数z=m(3+i)_(2+i)，其中<m<1，则复数z在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为z=m(3+i)_(2+i)=(3m_2)+(m_1)i，实部为3m_2，虚部为m所以复数z在复平面内对应的点为(3m_2,m_1)位于第四象限.故选：D3．在等比数列{an}中，3a1,a3,2a2成等差数【答案】C【解析】设{an}的公比为q，则由题意可知3a1+2a2=2xa3牵4．放射性物质的半衰期T的定义为：每经过时间T，该物质的质量会衰减成原来的一半．由此可知，m=M(，其中M为初始时物质的质量，t为经过的时间，T为半衰期，m为经过时间t后物质的质量．若某铅制容器中有A，B两种放射性物质，半衰期分别为TA，TB，开始时这两种物质的质量相等，100天后测量发现物质B的质量为物质A的质量的四分之一，则_=()【答案】A2【解析】设开始时A，B两种物质的质量均为1，t天后A，B两种物质的质量分别为mA，mB，5．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A(x1,)，B(x2,一2)两点，则p=()【答案】D【解析】将A(x1,)，B(x2,一2)两点分别代入抛物线方程，222p2=2px2，解得x2=4，则B(4,2)又抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,0， 由题意可得，A,F,B三点共线，则kAF=kBF，即1一p=p一4，解得p=4.故选：D434AB-CD【答案】A227．已知体积为的正四棱锥S一ABCD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为()【答案】B【解析】设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则体积V=Sh=2a)2h=，所以a2=，3所以球O的表面积的最小值为S=4πR2=4πx=9π.故选：B.，则a，b，c的大小关系为()【答案】C所以当x>0时，f(x)>f(0)=0，即ex>x+1(x>0)； π410<e102综上，c>a>b.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知x，y都是正数，且x+2y=2，则下列说法正确的是().+4y2的最小值为4D．+的最大值为2【答案】ABD2时成立，故A选项正确；42当且仅当x=y=时成立，故B选项正确；3=x=x,2时成立，故C选项错误；对D：由A知xy<10．已知由样本数据(xi,yi)2对D：由A知xy<10．已知由样本数据(xi,yi),即x=1，y=时成立，故D选项正确．去除两个异常数据(-2,7)和(2,-7)后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则()A．相关变量x，y具有正相关关系B．去除异常数据后，新的平均数x,=2C．去除异常数据后的经验回归方程为=3x-4.8D．去除异常数据后，随x值增加，的值增加速度变小【答案】AC【解析】A选项，因为回归方程的斜率为正，所以相关变量x，y具有正相关关系，所以A正确；B选项，因为x=2，所以去除两个异常数据(-2,7)和(2,-7)后，得到新的x,==，所以B错误；C选项，由x=2代入=1.5x-0.6得y=2.4， ,故去除两个异常数据(-2,7)和(2, ,,83因为得到的新的经验回归直线的斜率为3，所以y,-3x,=3.2-3x83所以去除异常数据后的经验回归方程为=3x-4.8，故C正确；D选项，因为经验回归直线=3x-4.8的斜率为正数，所以变量x，y具有正相关关系，且去除异常数据后，斜率由1.5增大到3，故值增加的速度变大，D错误.故选：AC.11．已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为.若P、Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是()A．三角形SPQ面积的最大值为5B．三棱锥O-SPQ体积的最大值C．四面体SOPQ外接球表面积最小值为11πD．直线SP与平面SOQ所成角余弦值最小值为【答案】ABD21217【解析】选项A，由母线长为，高为，可得底面半径为=2，22又SΔSPQ=则存在点P、Q，当经PSQ=90。时，sin经PSQ=1，三角形SPQ面积的最大值为，故A正确；根根选项C，设△OPQ的外接圆半径为r，因为SO与底面垂直，所以，四面体SOPQ外接球半径R满足R2=r2+2，若外接球表面积的最小，即外接球的半径R最小，又R2=r2+，即在底面圆中，△OPQ的外接圆半径r最小，OQ2(π)OQ2(π)△OPQ的外接圆半径无最小值，即四面体SOPQ外接球表面积无最小值，故C错误；d 选项D，设点P到平面SOQ的距离为d，直线SP与平面SOQ所成角θ的正弦值为sinθ=d 此时直线SP与平面SOQ所成角的余弦值最小，最小值为，故D正确；故选：ABD.6==a312．已知双曲线C:-，F2是双曲线C的两个焦点，经过点F2直线l垂直于双曲线C的一条渐近线，直线l与双曲线C交于A，B两点，若‘ABF1的面积为24，则()A．双曲线C的渐近线方程为y=土xB．双曲线C的实轴长为6C．线段AB的长为8D．‘ABF1是直角三角形【答案】BCD经过点F2直线l垂直于双曲线C的一条渐近线，不妨设直线l的斜率为kl=-，设直线l的方程为x=-2y+c，〈xy，消去x得15y2-16ay(-16a2-4 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=155a，y1y2=a2，所以S‘ABF=所以S‘ABF=1F1F2.y1-y2=1F1F2. (y122-4y1y2=c解得a=3，即：2a=6，故双曲线C的实轴长为6，故B正确；2-4y1y2=8，故C正确；所以双曲线方程为-=1，直线l的方程为x=-2y+3，-3,0)-50=2，kBF=4 5-0 4 27此时kAF.kl=1，所以AF1」AB，所以‘ABF1是直角三角形，故D正确，故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知(1+2x)n的二项式系数和为256，则展开式中含x2项的系数为.【答案】112【解析】因为二项式系数和为256，所以2n=256，即n=8，所以Tr+1=C(2x)r=2r.C.xr，令r=2，则T3(π](π]2.C.x2=112x2，所以展开式中含x2项的系数为112.tan2c=，则tanc=.【答案】0(π](π]若c=0，显然tanc=0，上式恒成立，2c牵tan2c=1，无解，综上可知tanc=0.【解析】由题可得，圆M:x2+(y一a)2=4，圆心为(0,a)，半径为2；1，圆心为(2,0)，半径为1.因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，x(a>0)，若不等式f(x)<0有且只有三个整数解，则实数a的取值范围xx8当x>x0时，Q(x)>0，可得h,(x)>0，所以h(x)单调递增，且x0e2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1710分）记‘ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=3b，cosB+5cosC=0.（1）求cosC；（2）若D是边AB上一点，BC」CD，且CD=，求‘ABC的面积，化简得a2=7b2，a22b2229b2)2故‘ABC的面积S=acsinB=x5x15x1=.1812分）已知数列{an},{bn},Sn是数列{an}的前n项和，已知对于任意neN*，都有3an=2Sn+3，数列{bn}是等差数9（1）求数列{an}和{bn}的通项公式.（2）记dn=+,nEN*，求数列{dn}的前n项和Tn.n,n为奇数2nn，bnn1n1n牵n一1即{an}是以首先a1=3，公比为3的等比数列，即an=3n.因为b12n23nn1)]0)2nc2n+1，n，前n项和为Kn，2n，23n…19n1…n32321912分）如图，在多面体ABCD一A1C1中，四边形ACC1A1是矩形，AD//BC，AA1」平面ABCD，E为CD的中点，（1）证明：DA1//平面AEC1；（2）求平面A1C1B与平面A1C1D的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析2）【解析】（1）连接A1C交AC1于点F，连接EF，因为四边形AA1C1C为矩形，则F为A1C的中点，又E为CD的中点，所以DA1//EF，因为EF一平面AEC1，DA1丈平面AEC1，所以DA1//平面AEC1.2BC2，所以经ACB=90。，又AD//BC，所以AD」AC，因为AA1」平面ABCD，AD,AC一平面ABCD，所以AA1」AD，AA1」AC，以A为坐标原点，以AD，AC，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，，D(2,0,0)，设平面A1C1B的法向量为=(x,y,z)，,,设平面A1C1B与平面A1C1D的夹角为C，故平面A1C1B与平面A1C1D的夹角的余弦值为.2012分）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：月份x1245带货金额y/万元350440580700880（1）求变量x，y之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额.（2）该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：参加过直播带货未参加过直播带货总计女性2530男性总计请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关.iy2PK之PK之k00.150.100.050.025k02.0722.7063.8415.024【答案】（1）=132x+194；预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元（2）列联表见解析，参加直播带货与性别有关(xi-x)(yi-y) i i所以变量x，y之间的线性回归方程为=132x+194，所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元.（2）补全完整的列联表如下.参加过直播带货未参加过直播带货总计女性25530男性25总计4055零假设H0：参加直播带货与性别无关，根据以上数据，经计算得到K2=555)2~根据小概率值C=0.1的独立性检验我们推断H0不成立，即有90%的把握认为参加直播带货与性别有关.2112分）在椭圆C：+=1（a>b>0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2+y2=a2+b2上，称此圆()()（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的蒙日圆上一点M，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若kOM，kON存在．证明：kOM.kON为定值.【答案】（1）+y2=12）证明见解析()()22()()22222222所以椭圆C的方程为：+y2=1.（2）由题意可知，蒙日圆方程