2022-2023学年湖北省武汉市武昌区高三（上）质检数学试卷及答案解析

2022-2023学年湖北省武汉市武昌区高三（上）质检数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若集合4={x∈N*∣x是4和10的公倍数},B={x∈R∖x2≤1000）,则4nB=（）

A.0B.{-20,20}C.{20}D.[20,30]

2.若复数Z满足(Z—3)(z-5)+2=0,则z•5=()

A.4B.√17C.16D.17

1,cosa

3.已知tαnα=,,则COS(a+9=()

ʌ.—2V2B.—V2^C.D.2√2

4.红薯于1593年被商人陈振龙引入中国，也叫甘薯、番薯等.红薯耐旱耐脊、产量丰富，曾

于数次大饥荒年间成为不少人的“救命粮食”，现因其生食多汁、熟食如蜜，成为人们喜爱

的美食甜点.小泽和弟弟在网红一条街买了一根香气扑鼻的烤红薯，准备分着吃，如图，该红

薯可近似看作三部分:左边部分是半径为R的半球；中间部分是底面半径为R、高为3R的圆柱；

右边部分是底面半径为R、高为R的圆锥，若小泽准备从中间部分的甲、乙、丙、丁四个位置

选择一处将红薯掰成两块，且使得两块的体积最接近，则小泽选择的位置是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

5.在AABC中，AB=2,BC=1,∆ABC=≡若点M满足丽=2拓?，则戒•刀=()

A.ɪB.IC.1D.I

6.若α=?湍，b=半∙In巨，c-e,则()

111110

A.b<c<aB.a<b<cC.c<b<aD.a<c<b

7.已知随机事件4B,C满足0<P(A)<l,O<P(B)<1,0<P(C)<1,则下列说法错

误的是()

A.不可能事件。与事件4互斥

B.必然事件。与事件4相互独立

C.P(4∣C)=P(4B∣C)+P(AB∖C)

D.若P(AIB)=P(Λ∣B)>则P(H)=P(A)=ɪ

8.已知4是椭圆E：W+/=l(α>b>0)的上顶点，点B,C是E上异于4的两点，△4BC是

以4为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的^ABC有且仅有1个，则椭圆E离心率的取值

范围是()

A∙(0,争B.(0,净C.(0,争D.(0,净

二、多选题(本大题共4小题，共20.()分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知数列｛a71｝的前n项和Sn=G)n-i,则下列说法正确的有()

A.｛Sn｝是递减数列B.｛αn｝是等比数列C.an<0D.Sn+αn=1

10.在正方体∕BCD-4ιBιGDι中，点E在线段BD上，且BE=

∖BD,动点F在线段BlC上(含端点)，则下列说法正确的有()

A.三棱锥久一40尸的体积为定值

B.若直线EF〃平面贝IJCF=gCBi

C.不存在点F使平面DEF_L平面BBiCiC

D.存在点F使直线EF与平面ABCD所成角为科

11.已知点P是曲线C:%2+y2=闭+∣y∣上的动点，点Q是直线y=X+3上的动点，点。是

坐标原点，则下列说法正确的有()

A.原点在曲线C上

B.曲线C围成的图形的面积为兀+1

C.过Q(0,3)至多可以作出4条直线与曲线相切

D.满足P到直线y=x+3的距离为苧的点有3个

12.声音中包含着正弦函数，周期函数产生了美妙的音乐.若我们听到的声音的函数是f(x)=

∣sm2x+ism4x+∣sm6xtWJ()

A./⑶的最小正周期是兀B.居)是f(x)的最小值

C.X=kτt｛k∈Z)是/(x)的零点D./(%)在弓,O存在极值

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若平面上有7条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，则共有一个交点（用

数字作答）.

14.若圆χ2+y2+6χ=0与圆/+y2-2ττiy+r∏2—16=0外离，则实数m的取值范围

是—.

15.已知（l+ayι的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则正整数

n=__.

16.某校采用分层随机抽样采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况，部分调查数据如

下：

项目样本量样本平均数样本方差

高一100167120

高二100170150

高三100173150

则总的样本方差S?=—.

四、解答题（本大题共6小题，共70.（）分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知α,b,C分别为△4BC的内角4,B,C的对边，且COSC+√5s讥C=处≡.

a

⑴求A;

（2）若α=2,AABC的面积为小，求b,c.

18.（本小题12.0分）

0n

已知数列｛a7l｝满足aj.=1,a2=1>an-CLn-ι=n-2（≥3,n∈N'）,Sn表示数列｛α洒的前n

项和.

（1）求证：arl=Sn-2+1：

（2）求使得I夫-1]≥焉成立的正整数k（k≥3,∕c∈N*）的最大值.

19.（本小题12.0分）

“惟楚有材”牌坊地处明清贡院旧址，象征着荆楚仕子朱衣点额的辉煌盛况和江城文脉的源

远流长，某学生随机统计了来此参观的100名游客，其中40名女性中有30名在“惟楚有材”

牌坊下拍照，60名男性中有20名在“惟楚有材”牌坊下拍照.

(1)用女性拍照的频率估计概率，若再来4名女性(是否拍照互相之间不影响)中至少有2名在

“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；

(2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析游客在“惟楚有材”牌坊下拍照是否与性别

有关

2

附.κ2=n(ad-bc)其中H=a+b+c+d

"—(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

P(K2≥fc0)0.1000.0500.0100.0050.001

及02.7063.8416.6357.87910.828

20.(本小题12.0分)

在三棱锥P-ABC中，PC=AB=AC=^BC=1，PCl平面ABC,点M是棱PA上的动点,

点N是棱BC上的动点，且PM=CN=X(O<x<√∑)∙

⑴当X=亨时，求证：MN>C；

(2)当MN的长最小时，求二面角力一MN-C的余弦值.

21.(本小题12。分)

已知点4(α,-l)是抛物线C：y2=2pχ(p>0)上一点，斜率为2的动直线，交C于M,N(异于4)

的两点，直线4M,AN的倾斜角互补.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若IMNl=√5)求SinNMAN.

22.(本小题12.0分)

己知函数∕^(x)=α*与g(x)=logαx(α>0,且a≠1).

(1)求g(x)在(l,g(l))处的切线方程；

(2)若a>l,∕ι(x)=f(x)-g(x)恰有两个零点，求a的取值范围.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解：集合力={x∈N*∣x是4和10的公倍数}={20,40,60,80,……},

B={x∈R∖X2≤1000]={x∣-10√10<x<10√10).

则4CB={20}.

故选：C.

求出集合4,B,利用交集定义能求出4CB.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：(z-3)(z-5)+2=0,

则Z2-8Z+17=0,即(Z-4)2=-1,

4=64—4X17=-4<0,

故Z=4÷i或Z=4—i,

当z=4+i时,z=4-i,Z-Z=(4+i)(4-0=17,

当z=4-i时，z=4+i,z∙z=(4-i)(4+i)=17.

所以Z-Z-Yl.

故选：D.

根据已知条件，先求出z,再结合共朝复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查共轨复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】D

icosacosa√2√ΣCK

【解析】解：因为tana=Q则两而飞(CoSa-SEa)=F=?仅

故选：D.

利用余弦的和角公式以及弦化切化简即可求解.

本题考查了余弦的和角公式以及弦化切，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：若从丁处分为两块，则左侧体积为|兀/?3+3兀&=9/?3,

右侧体积为gττR3,两者体积差为与兀R3,

若从丙处分为两块，则左侧体积为∣TTR3+27ΓR3=∣7TR3,

R

右侧体积为7ΓR3+g7τR3=27Γ3,两者体积差为g71R3,

3

若从乙处分为两块，则左侧体积为|近3+71R3=InR,

右侧体积为兀R2∙2R+g兀R3=97ΓR3,两者体积差为∣7ΓR3,

若从甲处分为两块，则左侧体积为∣7TR3,

右侧体积为π∙R2∙3R+^πR2-R=yπ∕?3,两者体积差为最R3,

故从乙处掰成两块，体积最接近，

故选：B.

算出分别从甲乙丙丁处分两块的体积之差，比较大小即可.

本题考查简单结合体的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由题意得荏•品=2x1x(-3=一1,

因为点M满足丽=2M~A,

则而7∙AC=1AB-AC=^AB-(AB+BC)=AB2+^AB-BC=^-∣=1.

故选：C.

由己知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解.

本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查导数的应用，考查导数判断函数的单调性，考查学生计算能力，属于较难题.

构造f(x)=ln(l+x)-X,X>—1,判断出单调性，可比较出b<c,构造九(X)=ex-ex,xeR,

判断出单调性，可比较出α>c,结合答案得出选项.

【解答】

解：构造/(久)=In(I+x)-X,X>—1,

∙(x)=Ξ⅛τ=Ξ⅛

令f'(χ)=解得％—0，

/(%)在(一1,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

/(式)≤/(0)=0,即In(I÷%)≤%,当且仅当％=0取等号，

,IOe211IOe2,1、IOe21/H,.,

b=---11，即Π力Z

11∙In1—0=-1-1--InIflH---I-O)7<--1-1--×——10=——11Ve=cVc;

构造∕ι(X)=ex—ex,X&R,

h'(x)=ex—e,

令∕ι'(X)-0,解得X=1,

/I(X)在(一8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

∕ι(x)≥∕ι(l)=0.MPex≥ex,当且仅当X=I取等号，

α=∣γβiδ>∣^×e×γ^=e=c>即a>c：

综上可得：b<c<a,

故选：A.

7.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4不可能事件。不会发生，与事件A互斥，A正确；

对于8,必然事件0一定会发生，与事件4是否发生没有关系，故必然事件O与事件A相互独立，B

正确；

对于C,PQ4∣C)=篝ξ而p(gc)+P(丽C)=胃祟+号*=器ɪ,故P(AlC)=P(4B∣C)+

P(ABlC)，C正确；

对于D,POIlB)=今需，p(4∣8)=嚅ɪ,若POIIB)=P(I田)，则有P(4∣B)=P(1|B)，P(4)=

P(A)=T不一定成立，力错误；

故选：D.

根据题意，由不可能事件和必然事件的性质分析可得4、B正确，由条件概率的公式性质可得C

正确，。错误，即可得答案.

本题考查概率的性质，涉及条件概率的性质，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：由题意可设：直线4B的方程为y=kx+b,(k>0),直线4C的方程为y=-1x+b,

'y=kx+b

2kba22k2ba2

联立My2(a>1),化为：(b+a2k2)x2+2kba2x=0,解得%B=—

(AL再赢74Bb2+a2

b.

同理可得：XC=器=，

bk+αz

232

yc=-

22

2bay∣l+k

|4Cl=∂2√+a2

•••∖AB∖=∖AC∖,

2222

2ba∣k∣yJl+k_2bay∣l+k

2222

'''h+a^k=bk+a2-

化为:α2(∕c2-fc)=62(fc3-l),

化为(k-l)[h2fc2-(a2-b2)k+b2]=0,

当k-l=0,即k=l时，此时满足条件的AABC只有一个;

当炉/_(a2_b2^k+b2=0时，

4=(a2-b2)2-4b4=(a2+h2)(a2-3炉)，

当l<a<√5b时，Δ<0,此时满足条件的△力BC只有一个；

a=VSb时，Δ=0,k=1,此时满足条件的△4BC只有一个；

a>√5b时，满足条件的△ABC有3个.

综上可得：当b<a≤gb,即乎≤2<1时，满足条件的△4BC只有一个.

3a

∙∙∙e=(=JlY)2=e(0,野

故选：B.

由题意可设：直线ZB的方程为y=依+b,(fc>0),直线4C的方程为y=—卜+6,分别与椭圆

方程联立解出B,C的坐标，利用IABl=MC并且对a分类讨论即可得出.

本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了数形结合方法、推

理能力与计算能力，属难题.

9.【答案】ABC

【解析】解：数列的前项和n

｛a7l｝nSn=φ-1,

•••6尸随着n的增大不断减小，

是递减数列，故正确；

∙∙∙｛Sπ｝A

数列的前项和n

｛αzι｝nSn=φ-1,

当n≥2时，an=Sn-Sn_1=G)'一昼严-】=一©)%

当ZI=I时，α⅛=SI=1=—手上式也成立，

∙∙∙ɑn=-(∣)n-

是等比数列,a<0,故正确;

∙∙∙｛αn｝nBC

nn

Sn+an=(∣)-1-(j)=-1,故D错误.

故选：ABC.

根据已知条件，结合时，即可求出即，即可依次求解.

n≥2α∏=Szi-Sri-I,

本题主要考查等比数列的性质，属于基础题.

10.【答案】AB

【解析】解：选项A,连接如图所示：设正方体的棱长为2α,

因为4出〃DC,A1B1=DC,

所以四边形AlBlDC为平行四边形,

所以BIC〃2D,

又BICU平面A1DU平面ADDlA1，

所以BlC〃平面

即BIC〃平面

所以直线BlC上的所有点到平面ADCi的距离都相等都等于正方体的棱长2α为定值，

所以点尸到平面4。Dl的高度为2a,

由SlDDl=ɪ×2αX2α=2a?为定值，

2

所以/)]-AOF=VF-DIAD=ɪ×2a×2a=ga3为定值，

故4正确，

以。为坐标原点，DA,DC,Onl分别为X,y，Z轴，建立空间直角坐标系，如图所示:

设方=/1两(0≤4≤l),设正方体的棱长为1,

因为点E在线段BD上，且BE=aBO,所以E在线段BD的中点,

则力(1,0,0),Dl(0,0,1),B1(l,l,l),F(i,j,O),

所以丽=(—1,0,1)，福=(0,1,1)，

设平面Dl的法向量为沅=(a,b,c),

m∙AD=—a+c=0ʌ“El,

___,Λ，令c=l,则Q=1,ð1=-1,

m∙TlB=Z?÷c=0

{1

所以平面4当。1的法向量为沅=(1,一1,1),

由C(0,l,0),设F(%,y,z),

所以谓=(%,y-Lz),又函=(1,0,1),

所以谓=Λ西，(％y-tz)=A(LOJ)，

所以y—1=0,所以y=l,

z=λ∖z=λ

所以F(4,l"),所以前=

直线EF〃平面4B】Di，所以前，沆，

即前•布=(2-ɪ)×1+∣(-1)+λ+1=0,

解得4=",CF=^CB1,故B选项正确；

当F处于C点时，平面DEF即为平面ABCD,

而在正方体中平面力BCD_L平面BBlGC，

故存在点F,使得平面DEF，平面BBlCIC,

故C错误，

由B选项知前==(44),由西_L平面ABCD,

所以西为平面4BCCD的一个法向量，

设直线EF与平面ABCD所成角为。,

由线面角的性质有:

廓•西I_______∣λ∣________

sinθ=Icos<EF>DDl>|==

∖EF∖-mJ(λ.l)2+φ2+λiχl'

假设存在点使直线E尸与平面ABCD所成角为全

,TT∣λ∣√3

则SmL中IW

即4M-64+3=0,

因为/=(—6)2-4x4x3=-12<0,无实数解，

所以不存在点F使直线EF与平面ABCD所成角为或

故。选项不正确；

故选：AB.

选项A连接4。，设正方体的棱长为2α,说明BIC〃平面Az)D1，可说明点F到平面AZ)Dl的高度为

定值，SJW/为定值，利用等体积法即可说明，选项B建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可，

选项C,当尸处于C处时即可判断，选项。借助选项B中的相关结论，假设存在点F使直线EF与平

面4BC。所成角为?根据假设条件，表示出线面角，列出等式，推出结论即可.

本题考查空间几何体的性质，考查线面角的求法，考查面面垂直的判断，属中档题.

II.【答案】ACD

【解析】解：对于4将原点坐标0(0,0)代入，O2+O2=∣0∣+∣O∣正确，故选项A正确;

对于B：当X>0,丫>0时;曲线C：X2+y2=X+y,

BPx2-x+y2-y=0,

即@_妒+(7)2弓，表示圆心为(另)，半径为苧的圆,

第一象限内曲线C与坐标轴围成的图形的面积为2×l×l+∣×τr×(y)2=ψ.

根据对称性可知，总面积为：牛X4=兀+2.故选项B错误；

由函数图像知过Q(0,3)至多可以作出4条直线与曲线相切，故选项C正确;

,∣-l×0+l×0+3∣3V2。百

原点到直线y=χ+3的距离为：d=]；+俨=〒,满足P到直线y=x+3的距离为挈的点

有P1，P2,。共3个，故选项D正确.

故选：ACD.

分类讨论后，根据对称性画出函数图像，从而可以进一步求解.

本题考查了曲线与方程的关系，注意数形结合思想的应用，属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：对于A选项，函数y=鼻山的最小正周期为7\=:=兀，

函数y=；sin4x的最小正周期为&=γ=p

函数y=*sin6x的最小正周期为△=ɪ=p且兀=Tl=2T2—^iT3,

因此，函数/(x)的最小正周期是几，A对；

对于B选项，因为展)=^sinπ÷^sin2π+^si∏3π=0,

又因为/(一/=jsin(-∣)÷isin(-≡)+∣sin(-≡)=-ʌ-ɪ<0>

故居)不是/(X)的最小值，B错；

对于C选项，对任意的keZ,∕(∕OT)=^sin2kπ+^si∏4kπ+^sinβkπ=0,

故x=∕ra(keZ)是/(x)的零点，C对；

对于。选项，•・•/(%)=-sin2x+-sin4x÷-sin6χ

八，246f

则/'(%)=cos2x+cos4x+cosβx=cos(4%—2x)+cos4x+cos(4x+2x)

=cos4xcos2x+sin4xsin2x+cos4x+cos4xcos2x—sin4xsin2x

=cos4x(2cos2x÷1)=(2cos22x—1)(2COS2x+1),

当即<X<TT时，<2x<2π,则CoS2%>0,令f'(τ)=0可得COS2%=乎,

z

所以，2%=?,可得％=等，

4O

当Y<x<与时，f'(x)<0,此时函数/(x)单调递减，

当?<%<兀时，f'(x)>O,此时函数f(x)单调递增，

O

因此，f(x)在第㈤存在极值，。对.

故选：ACD.

求出函数∕∙(X)的最小正周期，可判断4选项；利用特值法可判断B选项；计算出f(∕OT)(k6Z)的值,

可判断C选项；利用函数极值与导数的关系可判断D选项.

本题考查了三角函数的综合应用，属于中档题.

13.【答案】21

【解析】解：根据题意，平面内有7条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，

则任意两条直线确定一个交点，

则共有G=21个交点.

故答案为：21.

根据题意，分析可得7条直线中任意两条直线确定一个交点，由组合数公式计算可得答案.

本题考查组合数公式的应用，注意排列、组合的不同，属于基础题.

14.【答案】(一8,-2何)0(2内,+8)

22

【解析】解：「圆/+y+6x=O与圆/+y2_2my+TTi-16=O外离，

•••两个圆的圆心的距离大于半径之和，

(一3,0)与(0,m)之间的距离大于半径之和3+4=7,

：.√9+m2>7,

2√1O<m或m<—2√Tθ,

故答案为：(-∞,-2√Tθ)U(2√10,+∞).

写出两个圆的半径，和两个圆的圆心的距离，利用两个圆的圆心的距离大于半径之和，得到结果.

本题考查两个圆的位置关系，是一个基础题，本题解题的关键是正确写出两个圆的圆心和半径,

根据两个圆的位置关系得到结果.

15.【答案】14或23

【解析】解：(l+αyι的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，

则党+eɪɑ=2黑，n≥10,即W⅛+>("I=就焉，化简整理可得，标一37n+322=0,

解得Ji=14或23.

故答案为：14或23.

根据已知条件，结合等差数列的性质，推得您+巾。=2叱，再结合组合数的公式，即可求解.

本题主要考查二项式定理，属于基础题.

16.【答案】146

【解析】解：高一样本的均值记为五，方差记为

高二样本的均值记为看，方差记为黄，

高三样本的均值记为五，方差记为登，

IiiiiMJ.⅛_j_pH/古、IOO—.100—.100—167+170+173

则总样本均值为X=荻X】+荻&+而“3=-3—170,

22

所以总样本方差为S?=ɜɪɑ×{100×[sɪ+(x1—x)]+100×[si+(x2一ɪ)]+100×[sɜ+

(ɪʒ-ɪ)2])

=∣×{[120+(170-167)2]+[150+(170-170)2]+[150+(170-173)2]}

=146.

故答案为：146.

高一样本的均值记为套，方差记为名，高二样本的均值记为五，方差记为黄，高三样本的均值记

为京，方差记为受，利用定义求出总样本均值和方差即可.

本题考查了分层抽样方法的平均数和方差的计算问题，是基础题.

17.【答案】解:(1)VcosC+y∕3sinC=勺3即Q(CoSC+V3sinC)=b+c,

，在△ZBC中，由正弦定理得sE4cosC+小SmASinC=SinB+SmC,

•・•A+B+C=7T,・•・SinB=sin(4+C)=SinAcosC+CoSASinC,

・••SinAcosC+aSmASinC=SinAcosC+cosAsinC+SinC，

VC∈(O,"),：•sinC≠0,

ʌy[3sinA-cosA=1,即2sin(A-^)=1,sin(4Y)=

则4-∑=?÷2∕σr或A—7=+2kττ,

Oo66

V0<Tl<7T,则。=,

(2)•・•△"。的面积为8，

・•・S=ɪbcsinA=√3,则be=4,

22

由余弦定理得=6+C—2bccosAf即b+c=4,

∙∙b=c=2,

【解析】本题考查三角函数的恒等变换、正弦定理及余弦定理的应用，考查转化思想，考查逻辑

推理能力和运算能力，属于中档题.

(1)利用正弦定理将边转化成角，将已知等式中涉及的边和角进行转化，利用辅助角公式，即可得

出答案；

(2)根据三角形的面积公式及余弦定理，即可得出答案.

18.【答案】解：(I)证明：∙∙∙Q71-%T=αrι-25≥3,n∈N"),

⅛-ι一。几-2=Qn-3，an-2—an-3=Qn-4，…，a3~a2=aIf

aa

将以上各式相加得Qrι—∏n-ι+CLn-I~n-2+Qn-2—%-3+…+。3-。2=n-2+ɑn-ɜ+

α∏τ+…+。1=S九一2,

・••an-a2=Sn-2，

*∙'U∙2=1，

λa

n=Sn-2+1；

(2)由(1)得On=Sn_2+1，即以=S∕2+1,

...U_Sk-2+l_ɪ]

sk-2sk-2sk-2，

ʌɪ-l=^

Sk-2Sy

又—1∣≥ɪlʒ,即1≥焉，

2Ivv^k-2lʊv

Vα1=1,α2=1,an-an_1=an_2(n≥3f∏eN*),

∙*∙ɑɜ=Q，2+Ql=2,CI4=。2+ɑɜ=3,CI5=。3+。4=5,ɑð=Q5+。4=8,Gly=ɑð+Q5=13,

CLQ—CLj+。6=21,ɑg—CLQ+CLj—34,ɑɪθ—CLg+ɑɛ—55,

∙*∙Qχj>O,

'k-2

.J_>J_

∙∙sk-2-lθθ,

αaαα

・•・S9=6⅛+Ql+。3+。4+。6+。5+。8+。7+Q9=88V100,SlO=α2÷l÷3÷4÷6÷

α

α5+α8÷α7÷9÷QIO=143>100,

∙∙∙k-2的最大值为9,

故/c的最大值为11.

【解析】(1)根据数列的递推式可得α⅛-l-an-2=an-3<an-2-an-3=即-4.......α3-α2=aI'

即可证明结论；

i

(2)由(1)得αrl=sn_2+1，即%=S”2+1.则热=⅜⅛=1+在，题意转化为IelN击，

11

结合斯>0，可得司G2而，求出Sg=88,SlO=I43,即可得出答案.

本题考查数列的递推式和数列与不等式的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，

属于中档题.

19.【答案】解：⑴女性拍照的频率为券=*,用频率估计概率，若再来4名女性(是否拍照互相之

间不影响)中至少有2名拍照的概率为

p≈ι-(i4)4-cl×∣×(i4)3=1-⅛-≡=≡

(2)根据题意填写列联表，如下所示：

男性女性合计

拍照203050

没拍照401050

合计6040100

零假设为飞：游客拍照与性别之间无关联.

2

2

根据列联表中的数据，经计算得到式：κ=10°XGOxlO-30X40)=史。16,667>10,828=X0001.

50×50×60x403

根据小概率值α=0.001的独立性检验，即推断”o不成立，

因此可以认为游客在“惟楚有材”牌坊下拍照与性别有关.

【解析】(1)女性拍照的频率为本用频率估计概率，利用对立事件的概率计算即可；

(2)根据题意填写列联表，计算K2,对照附表得出结论.

本题考查了独立性检验和有关概率的计算问题，是中档题.

20.【答案】证明：(1)在平面ABC内过点C作CDI力C,使得点D与点B在AC同侧,

•••PC，平面ABC,CD⊂5F≡λBC,ACU平面ABC,

ʌPCLAC,PC1CDfUI∣JPC,AC,CD两两互相垂直.

以C为坐标原点，石?,而,而正方向为K,y,Z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

则C(O,O,O),4(1,0,0),P(OAl):

由4B=AC=:BC得，AB2+AC2=BC2,AB1.AC,

.•.△ABC为等腰直角三角形，.∙∙B(1,1,O);

同理可得：△力PC为等腰直角三角形，

当X=苧时，AM=^AP,CN=^CB,：.M,N分别是4P,CB中点,

∙∙∙w(i,θ,ɪ),/v(ɪ,ɪ,θ),.∙.MN=(O,∣,-∣),CΛ=(1,0,0),

.∙.M∕V∙CΛ=O×1+∣×O+(-∣)XO=0,MN1AC-,

(2)由(I)可得：A(1,0,0),P(0,0,l),B(l,l,0),∆ABC,△APC为等腰直角三角形,

∙∙∙M(yx,0,1-yX),∕V(γ%,yX,0)>

KIJM∕V2=(ɪɪ—ɪɪ)2+(0—ɪɪ)2+(1—ɪɪ)2=x2—V∑x+1；

.∙.当X=芋时，MN最小，.∙.M,N分别是4P,CB中点，

1

zl

jʃ-

j2

-历1

仇=

Mn2-o∖AM=(-ɪOɪ),^v=(-ɪɪO),

设平面CMN的法向量为方=(XI,Z1),

(CM-α=ɪɪɪ+ɪzɪ=O

则〈_,11,令％1=—1,解得：y1=lfZI=I.,,,・左=(—1,1,1)；

(CN.α=iχ1+iy1=O

设平面/MN的法向量q=(χ2,y2,z2),

AM./?=—：%2+；Z2=0

则《__>→ɪɪ，令％2=1，解得：72

1<Z2=1>-∙β=(1,1,1)；

。,

ANS=--x2+2)2=0

∙∙∙∣cos<环瓶>∣=禺=嬴=%

由图形可知：二面角A-MN-C为钝二面角，∙∙.二面角H-MN-C的余弦值为一宗

【解析】（1）作CDI4C,根据线面垂直的性质可知PC,AC,Cn两两互相垂直，以C为坐标原点

建立空间直角坐标系，易证得A4BC,AAPC为等腰直角三角形，由此可得M,N坐标，根据丽/.

CA=O可证得结论;

（2）用X表示M,N坐标，将MN2表示为关于X的二次函数，由此可确定X=乎时，MN最小，进而

得到M,N坐标；利用二面角的向量求法可求得结果.

本题考查了线线垂直的证明和二面角的计算，属于中档题.

21.【答案】解：（1）由直线MN的斜率为2,设直线MN；X-^y+nɪ,M（x1,yj）,/V（x2,y2）（^ι＜小），

y2=2px

联立,1,消去X得：y2—py—2pm=0,Δ=p2+8pm>0,

%=-y+τn

m>~l'

+丫

由韦达定理得:>12=P

,yιY2=-2pm'

由直线4M,4N的倾斜角互补且M,N为不同两点,

故直线AM,4N的斜率均存在，分别记为心M，kAN

则心"+心'=猾+纭=|^;+^^=0,

丫1+1丫2+1-1

,整理得：y02+(为+力)(僧一Q+2)+2η-2α=0,

∣y1+m-α∣y2÷m-α

代入•>1+y2=p

%%=-2pm,

ɪɪ

得：—2pm÷pm-pa-p+2m—2α=0,(2—p)ym÷-p—2α—pα=O,

由点4(Q,-1)是抛物线C：y2=2pχ(p>0)上一点，2ap=1,α=ɪ,