专题03函数图象与方程讲义-高三数学二轮复习

专题03·函数图象与方程命题规律函数图象与方程是高考中函数板块的又一个热点，常以基本初等函数为载体，主要考查函数图象的辨别、图象的变换、两函数交点的个数，及利用零点存在性定理判断零点是否存在以及零点所在区间、判断函数零点、方程根的个数，根据零点（方程根）的情况求参数的取值范围等。函数板块的主要功能以“选拔性”为主，是高考最具区分度的能力考点，考查了学生的转化、化归、数形结合与方程思想等方面均有体现和渗透。只有掌握好该专题内容，广大考生才能在高考中获得较为理想的成绩。题型归纳题型1函数图象辨析【解题技巧】1.定性分析：=1\*GB3①从函数的定义域、值域；=2\*GB3②从函数的奇偶性，判断图象的对称性；=3\*GB3③从函数的单调性，判断图象的变化趋势；=4\*GB3④从周期性，判断图象的循环往复。=5\*GB3⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.2.定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．注意：根据图象找解析式，一般先找差异，再对具体图象的特征值验证．【例1】（2022秋•赣州期中）函数f(x)=3xsinxA． B． C． D．【分析】由f（x）的奇偶性和特殊值利用排除法可得答案．【解答】解：对∀x∈R，f(−x)=3(−x)sin(−x)2−x+其图象关于y轴对称，所以排除选项A；令3xsinx2x+2−x=0，可得x＝0或sinx＝0，即x＝k当x∈（0，π）时，sinx＞0，所以f（x）＞0，故排除选项C；当x∈[π，2π]时，sinx≤0，2x+2﹣x＞0，所以f（x）≤0，所以排除选项D．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的性质在函数图象判断中的应用，属于基础题．【例2】（2023•沈阳模拟）如图是函数H（x）图像的一部分，设函数f（x）＝cosx，g（x）＝|x|+1，则H（x）可以表示为（）A．f（x）+g（x） B．f（x）﹣g（x） C．f（x）⋅g（x） D．f(x)【分析】根据题意，用排除法分析：由函数的解析式观察H（0）、H（π）的值，验证选项中解析式是否符合，即可得答案．【解答】解：根据题意，用排除法分析：由图象可知：H（0）＝1，H（π）＞﹣1，对于A，若H（x）＝f（x）+g（x），有H（0）＝f（0）+g（0）＝1+1＝2，不符合题意；对于B，若H（x）＝f（x）﹣g（x），有H（0）＝f（0）﹣g（0）＝1﹣1＝0，不符合题意；对于C，若H（x）＝f（x）g（x），有H（π）＝cosπ×（π+1）＝﹣（π+1）＜﹣1，不符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的图象分析，此类问题一般用排除法分析，属于基础题．题型2函数图象的应用【解题技巧】根据实际背景、图象判断函数图象的方法：=1\*GB3①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)．=2\*GB3②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．【例1】（2022春•海淀区校级期中）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a，给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④【分析】结合甲乙企业污水排放量与时间关系图象，利用曲线在区间的变化率判断企业的治污能力，进而判断各选项的正误即可．【解答】解：①：−f(b)−f(a)b−a表示区间端点连线斜率的负数，在[t1，t②：在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；③：在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；正确；④：甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，甲企业在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1，t2]的污水治理能力最强．错误；故选：C．【点评】本题主要考查函数模型及其应用，斜率的定义与应用，函数图像的应用等知识，属于中等题．【例2】（多选）（2022秋•浙江期中）某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用y1（千元），乙厂的总费用y2（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示，则（）A．甲厂的费用y1与礼品数量x之间的函数关系式为y1B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元 C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与礼品数量x之间的函数关系式为y2D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用【分析】直接根据函数图像求得函数解析式，进而分析各个选项．【解答】解：根据图像甲厂的费用y1与礼品数量x满足的函数为一次函数，且过（0，1），（8，5）两点，所以甲厂的费用y1与礼品数量x满足的函数关系为y1=1当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的总费用y2与礼品数量x之间的函数关系式为y2所以乙厂的加工费平均每个为32=1.5元，故易知当x＞2时，y2与x之间的函数为一次函数，且过（2，3），（8，5），所以函数关系式为y2=1当x＝6时，y1=12×6+1=4，y2=所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节省费用，故D不正确．故选：ABC．【点评】本题主要考查函数模型及其应用，属于基础题．题型3求零点或零点所在区间【解题技巧】1.求函数零点的方法：（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式.（2）几何法，即用的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.2.确定函数零点所在区间的方法：（1）解方程，直接求出零点.（2）利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.（3）数形结合法：观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【例1】（2022•红桥区一模）函数f（x）＝ex+2x﹣6的零点所在的区间是（）A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）【分析】判断函数的单调性，利用函数零点判断定理，推出结果．【解答】解：f（x）＝ex+2x﹣6是增函数，且f（1）＝e﹣4＜0，f（2）＝e2﹣2＞0，所以f（1）f（2）＜0，所以f（x）的零点所在的区间是（1，2），故选：C．【点评】本题考查了函数零点的判定定理，属于基础题．【例2】（2022•广州二模）函数f（x）＝sinπx﹣ln|2x﹣3|的所有零点之和为9．【分析】根据给定条件，构造函数y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|，作出这两个函数的部分图像，确定两个图像的交点个数，再结合函数图像的对称性即可求解．【解答】解：由f（x）＝0得sinπx＝ln|2x﹣3|，令y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|，显然y＝sinπx与y＝ln|2x﹣3|的图像都关于直线x=3在同一坐标系内作出函数y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|的图像，如图，由于ln（2×74−3）＝﹣ln所以，观察图像可知，函数y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|的图像有6个公共点，其横坐标依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，这6个点两两关于直线x=32对称，所以x1+x6＝x2+x5＝x3+x所以x1+x2+x3+x4+x5+x6＝9，即函数f（x）＝sinπx﹣ln|2x﹣3|的所有零点之和为9，故答案为：9．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．题型4求零点个数【解题技巧】函数零点个数的判断方法：1.直接法：直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点.2.定理法：零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.3.图象法：利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.4.性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到.若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.【例1】（2023•上饶一模）已知函数f（x）＝sin2x+2sinx﹣1，则f（x）在x∈[0，2023π]上的零点个数是（）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【分析】先确定函数的周期，求导可得函数在∈[0，2π]上的单调性，进而可得f（x）在x∈[0，2023π]上的零点个数．【解答】解：∵函数f（x）＝sin2x+2sinx﹣1，∴f（x）是周期函数，且最小正周期为2π，∴f′（x）＝2cos2x+2cosx＝4cos2+2cosx﹣2＝（2cosx﹣1）（2cosx+2），当x∈[0，2π]时，在x∈[0，π3]上单增，在x∈[π3，5π3]上单减，在x∈[5π则f（x）max＝f（π3）=332−1＞0，又f（0）＝f（π∴当x∈[0，2π]时，f（x）＝sin2x+2sinx﹣1有两个零点，故f（x）在x∈[0，2023π]上的零点个数是2024个．故选：B．【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，属中档题．【例2】（2022秋•临渭区校级月考）函数f(x)=sin(x+A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据函数零点个数即为图象交点个数，结合已知条件，数形结合求解即可．【解答】解：f（x）的零点个数，即为y=sin(x+π2)=cosx与在同一直角坐标系下，两函数图象如下所示：由图可知，两函数共有4个交点，故f（x）有4个零点．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于基础题．题型5已知零点个数求参数【解题技巧】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：1.直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．3.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【例1】（多选）（2022春•重庆月考）已知函数f(x)=ex−A．﹣1 B．−12 C．0【分析】问题转化为a＝（x﹣1）ex（x≠1）有唯一根，令g（x）＝（x﹣1）ex，利用导数研究其单调性，数形结合得答案．【解答】解：函数f(x)=ex−即a＝（x﹣1）ex（x≠1）有唯一根．令g（x）＝（x﹣1）ex，则g′（x）＝ex+（x﹣1）ex＝xex．当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）的单调减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，1），（1，+∞），如图：由图可知，要使函数f(x)=ex−故选：AD．【点评】本题考查函数零点的判定，训练了利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化、数形结合思想，是中档题．【例2】（2022•长春模拟）已知函数f（x）＝xex﹣x﹣lnx﹣a，若f（x）在（0，e）存在零点，则实数a值可以是（）A．﹣1 B．0 C．1e D．【分析】根据题意得a＝xex﹣x﹣lnx，令g（x）＝xex﹣x﹣lnx，x∈（0，e），则函数f（x）＝xex﹣x﹣lnx﹣a在（0，e）上存在零点等价于y＝a与g（x）的图像有交点，再根据g（x）的单调性求解即可．【解答】解：根据题意，令f（x）＝0，所以a＝xex﹣x﹣lnx，令g（x）＝xex﹣x﹣lnx，x∈（0，e），则f（x）＝xex﹣x﹣lnx﹣a在（0，e）上存在零点等价于y＝a与g（x）的图像有交点．g'(x)=e令h（x）＝xex﹣1，x∈（0，e），h′（x）＝ex+xex＞0，故h（x）在（0，e）上单增，因为h（0）＝﹣1＜0，h（1）＝e﹣1＞0，所以存在唯一的x0∈（0，1），使h（x0）＝0，即x0ex所以当0＜x＜x0时，h（x0）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x0＜x＜时，h（x0）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g(x)又x→0时，g（x）→+∞，故x∈（0，e），g（x）∈[1，+∞），所以a≥1．故选：D．【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查学生的运算能力，属于中档题．题型6复合函数的零点【解题技巧】2.二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，前提就是函数的基本功要扎实．【例1】（2022秋•潍坊期末）已知函数f（x）=(12)|x+1|，x≤0|lnx|，x＞0，若函数g（x）＝4[f（x）]2﹣（4t+3）fA．[12，1] B．(0，12【分析】先以f（x）为整体分析可得：f(x)=34和f（x）＝t共有7个不同的根，再结合f（【解答】解：令g（x）＝4[f（x）]2﹣（4t+3）f（x）+3t＝0，解得f(x)=34或f（x）＝作出函数y＝f（x）的图象，如图所示，y＝f（x）与y=34有4个交点，即方程由题意可得：方程f（x）＝t有3个不相等的实根，即y＝f（x）与y＝t有3个交点，故实数t的取值范围是(0，故选：D．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．【例2】（2023•银川一模）已知函数f(x)=2|x|+1，x≤0|log2x|，x＞0A．（0，1） B．（1，+∞） C．[1，2） D．[2，+∞）【分析】根据所给方程，求出f(x)=2，f（x）＝m，根据关于x的方程恰有5个不同的实根，借助于图像可知m【解答】解：∵f2(x)+2m=(m+2)f(x)，f2(x)−(m+2)f(x)+2作出函数f（x）的图像如图所示，由图知f（x）的图像与y=2若关于x的方程f2则f（x）的图像与y＝m有三个公共点，所以m的取值范围[2，+∞）．故选：D．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．题型7高斯函数型【解题技巧】取整函数（高斯函数）：1．具有“周期性”．2．一端是“空心头”，一端是“实心头”．3．还可以引入“四舍五入”函数作对比．【例1】（2022秋•黄浦区校级期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数y＝[x]（x∈R）称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2，则点集P＝{（x，y）|[x]2+[y]2＝1}所表示的平面区域的面积是（）A．1 B．π C．4 D．π+1【分析】由题意可得−1≤x＜00≤y＜1或0≤x＜11≤y＜2或1≤x＜20≤y＜1【解答】解：由题意可得−1≤x＜00≤y＜1或0≤x＜11≤y＜2或1≤x＜20≤y＜1如图所示，∴点集P＝{（x，y）|[x]2+[y]2＝1}所表示的平面区域的面积是4，故选：C．【点评】本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域，是基础题．【例2】（2022秋•安徽期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[﹣1.7]＝﹣2，[1.3]＝1．已知函数f(x)=12×4x−3×2A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．[−12，218【分析】利用换元法求得f（x）的值域，由高斯函数的定义求得正确答案．【解答】解：f(x)=1令＝2x，t∈（12，4），令g（t）=12t2﹣3tg（12）=218，g（3）=−12，g（4）＝0，所以g（t）∈所以f（x）的值域为（−12，218]，所以[f（x故选：A．【点评】本题主要考查函数值域的求法，考查换元法及二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．题型8函数的性质与零点【解题技巧】利用函数性质，推导出中心对称，轴对称等、周期等函数图像特征性质．【例1】（2022•保山模拟）已知函数f(x)=1−|1−x|，0≤x≤22f(x−2)，2＜x≤8，若方程f（x）＝kx恰好有四个实根，则实数A．(23，87) B．(【分析】画出f（x）的图象，根据f（x）与g（x）＝kx的图象有4个交点来求得k的取值范围．【解答】解：当x∈[0，2]时，f(x)=x，0≤x≤12−x，1＜x≤2，f（再把纵坐标变为原来的2倍，得到2f（x﹣2）的图象，也即f（x）在区间[2，4]上的图象．以此类推，则f（x）在区间[0，8]上的图象如图所示．记g（x）＝kx，若方程f（x）＝kx恰好有四个实根，则函数f（x）与g（x）的图象有且只有四个公共点，由图得，点A（1，1），B（3，2），C（5，4），D（7，8），则kOA＝1，kOB=23，kOC=45，kOD=87，则所以f（x）与g（x）的图象有且只有四个公共点时45所以k的取值范围为(4故选：D．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想和数形结合思想，属中档题．【例2】（2022春•道里区校级期末）已知奇函数f（x）满足f（x﹣2）＝﹣f（x）（x∈R），且x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则关于x的方程f（x）﹣m＝0（0＜m＜1）在区间[﹣4，8]上的所有根之和是（）A．10 B．8 C．6 D．4【分析】由题意首先确定函数的周期性，然后结合所给的函数解析式确定函数的对称轴，最后求解所有根的和即可．【解答】解：由题f（x﹣2）＝﹣f（x）（x∈R），则f（x）＝﹣f（x+2）＝f（x+4），故f（x）周期为4．又奇函数f（x）关于（0，0）对称且f（x﹣2）＝﹣f（x）＝f（﹣x）故f（x）关于x＝﹣1对称，又x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则可画出区间[﹣4，8]上对应的函数图像．易得f（x）﹣m＝0（0＜m＜1）即f（x）＝m（0＜m＜1）在区间[﹣4，8]上的根分别关于x＝﹣3，x＝1，x＝5对称，故零点之和为2x[（﹣3）+1+5]＝6．故选：C．【点评】本题主要考查函数的周期性，函数图象的应用，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．题型9函数不动点问题【例1】（2022春•沈阳期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（x）存在一个点x0，使得f（x0）＝x0，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A．f（x）＝2x+x B．f（x）＝x2﹣x+3 C．f(x)=2D．f(x)=【分析】分别令选项中的函数与y＝x联立，通过判断等式是否有解，即可求解．【解答】解：对于A，f（x）＝2x+x＝x，则2x＝0，x无解，故A错误，对于B，f（x）＝x2﹣x+3＝x，即x2﹣2x+3＝0，x无解，故B错误，对于C，当x≤1时，令2x2﹣1＝x，解得x＝1或x=−1当x＞1时，令|2﹣x|＝x，x无解，从而该函数为“不动点函数”，故C正确，对于D，令1x+2x=x，x无解，故故选：C．【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于基础题．【例2】（多选）（2022春•新邵县期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个点x0，使得f（x0）＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A．f（x）＝2x﹣x B．f（x）＝x2﹣2x+π C．f(x)=2D．f(x)=【分析】根据所给定义，逐一定性判断即可，A：x＝1满足条件，故A正确；B：方程无解，故B错误；C：x=−12或x＝1满足条件，故C正确；D：x=±2【解答】解：根据定义可知：若f（x）有不动点，则f（x）＝x有解．A．令2x﹣x＝x，所以2x＝2x，易知x＝1是方程的一个解，故f（x）是“不动点”函数；B．令x2﹣2x+π＝x，所以x2﹣3x+π＝0，方程的Δ＝9﹣4π＜0，故方程无解，所以f（x）不是“不动点”函数；C．当x⩽1时，令2x2﹣1＝x，所以x=−12或x＝1，所以f（D．令2x−x2=x，所以x=±故选：ACD．【点评】本题考查简单的合情推理，涉及新定义问题，属于基础题．题型10切线法解决零点问题【解题技巧】当分离参数较困难时，可以“分离函数”，一般情况下，一侧多为直线，一侧是可以研究出图像的函数．1．交点（零点）的个数和位置，多借助切线来寻找确定．2．切线虽然大多数可以通过导数来解得，但对于如一元二次等常见函数的切线，可以通过方程联立解决，这样可以简化一些计算．3．对于圆和圆锥曲线部分图像所获得的函数，导数求切线难度大，圆和圆锥曲线求切线的方法要注意总结掌握．【例1】（2022秋•芜湖期末）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2+x）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，若函数F（x）＝f（x）﹣kx在（﹣2，2）上恰有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣ln2，0）∪（0，ln2） C．（﹣1，﹣ln2）∪（ln2，1） D．(【分析】将问题可转化为y＝f（x）与y＝kx在（﹣2，2）上的图象有三个交点，易知函数f（x）是以2为周期的周期函数，作出函数f（x）的图象，结合图象求出k的取值范围即可．【解答】解：因为定义在R上的偶函数f（x）满足f（2+x）＝f（﹣x），所以f（x+2）＝f（x），所以函数f（x）是以2为周期的周期函数，又当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，作出函数f（x）的图象如下图所示，又函数F（x）＝f（x）﹣kx在（﹣2，2）上恰有三个零点，所以y＝f（x）与y＝kx在（﹣2，2）上的图象有三个交点，当k＞0时，设直线l1是y＝f（x）在原点时的切线，此时l1与y＝f（x）有两个交点，当直线l2过点（1，1）时，直线l2与y＝f（x）有两个交点，此时直线l2的斜率为1，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f′（x）＝2xln2，所以f′（0）＝ln2，即直线l1的斜率为ln2，所以要使y＝f（x）与y＝kx有三个交点，则ln2＜k＜1，由对称性可知，当k＜0时，﹣1＜k＜﹣ln2，综上，实数k的取值范围为（﹣1，﹣ln2）∪（ln2，1）．故选：C．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．【例2】（2023•南开区校级模拟）已知函数f(x)=x2+4x，−3≤x≤02x−3，x＞0，若方程f（x）+|x﹣1|﹣A．[−23，3−22) B．[【分析】由题可知y＝f（x）+|x﹣1|与y＝kx图象有三个交点，利用数形结合即得．【解答】解：因为f（x）+|x﹣1|﹣kx＝0有且只有三个不相等的实数根，所以y＝f（x）+|x﹣1|与y＝kx图象有三个交点，设h（x）＝f（x）+|x﹣1|=x画出y＝h（x）与y＝k的大致图象，当y＝k与y＝x2+3x+1相切时，由x2+3x+1＝kx，可得x2+（3﹣k）x+1＝0，Δ＝（3﹣k）2﹣4＝0，所以k＝1或k＝5（舍去），当y＝kx过A（﹣3，1）时，k=−1由图象可知，−13所以若方程f（x）+|x﹣1|﹣kx＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k的取值范围是[−1故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合是解题关键，属于中档题．最新模拟一、选择题1．（2022秋•西城区校级期中）函数f(x)=xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【题型】求零点个数【解析】解：当x≤0时，令f（x）＝x2﹣2＝0，解得x=−2当x＞0时，令f（x）＝2x﹣6＝0，解得x＝3．所以函数f（x）有2个零点．故选：C．2．（2023•晋城一模）函数f(x)=3xcosxA． B． C． D．【答案】B【题型】函数图象辨析【解析】解：因为x∈R，f(−x)=−3xcosxx2+1=−f(x)，所以f（当0＜x＜π2时，f（x）＞0，排除当π2＜x＜π时，f（x）＜0，排除故选：B．3．（2022秋•运城期末）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能为（）A．f(x)=x−x32x B．f（x）＝e|x|C．f（x）＝x3•ln|x| D．f(x)=【答案】D【题型】函数图象辨析【解析】解：根据题意，对于A，f（x）=x−x32x，其定义域为R，有f对于B，f（x）＝e|x|•（x2﹣1），其定义域为R，有f（﹣x）＝e|x|•（x2﹣1）＝f（x），f（x）是偶函数，符合题意；对于C，f（x）＝x3ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，不符合题意；故选：D．4．（2022•北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【题型】函数图象的应用【解析】解：对于A，当T＝220，P＝1026时，lgP＞3，由图可知二氧化碳处于固态，故A错误；对于B：当T＝270，P＝128时，2＜lgP＜3，由图可知二氧化碳处于液态，故B错误；对于C：当T＝300，P＝9987时，lgP≈4，由图可知二氧化碳处于固态，故C错误；对于D：当T＝360，P＝729时，2＜lgP＜3，由图可知二氧化碳处于超临界状态，故D正确；故选：D．5．（2022春•鼓楼区校级期末）函数f（x）＝sinπx﹣ln|2x﹣3|的所有零点之和为（）A．9 B．6 C．4.5 D．3【答案】A【题型】求零点或零点所在区间【解析】解：由f（x）＝0⇒sinπx＝ln|2x﹣3|，令y＝sinπx，y＝ln|2x﹣3|，显然y＝sinπx与y＝ln|2x﹣3|的图像都关于直线x=3在同一坐标系内作出函数y＝sinπx与y＝ln|2x﹣3|的图像，如图，观察图像知，函数y＝sinπx与y＝ln|2x﹣3|的图像有6个公共点，其横坐标依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，这6个点两两关于直线x=3有x1+x6＝x2+x5＝x3+x4＝3，所以x1+x2+x3+x4+x5+x6＝9．故选：A．6．（2023•东方模拟）函数y＝ex+x2+2x﹣1的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【题型】求零点个数【解析】解：函数y＝ex+x2+2x﹣1的零点个数即函数f（x）＝ex与g（x）＝﹣x2﹣2x+1的图象交点的个数，如图所示：两图象有两个交点，∴函数y＝ex+x2+2x﹣1的零点个数为2．故选：C．7．（2022秋•河西区校级期末）已知函数f(x)=ln(−x)，(x＜0)xe1−x，(x≥0)，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a2A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） C．（0，1] D．（﹣1，0）∪{1}【答案】C【题型】复合函数的零点问题【解析】解：当x≥0时，f′（x）＝e1﹣x（1﹣x），所以当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，且f（0）＝0，当x→+∞时，f（x）→0，当x＜0时，f（x）单调递减，所以f（x）的图象如图所示：令t＝f（x），则由如图可知当t＝0或1时，方程t＝f（x）有两个实根；当t∈（0，1）时，方程t＝f（x）有3个实数根；当t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，方程t＝f（x）有一个实数根，所以关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a2﹣a＝0有四个不等的实数根等价于关于t的方程t2﹣at+a2﹣a＝0有两个实数根t1＝0，t2＝1或t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），当t1＝0，t2＝1时，a＝1，当t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，（02﹣a×0+a2﹣a）（12﹣a×1+a2﹣a）＜0，解得0＜a＜1，综上所述，a∈（0，1]．故选：C．8．（2022春•运城月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1．已知函数f(x)=12x2−x+1(0＜x＜3)，则函数yA．(12，52)【答案】D【题型】高斯函数型【解析】解：∵f(x)=12x2∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增．∴f(x)min=f(1)=1∵y＝[f（x）]，所以y∈{0，1，2}．故选：D．9．（2022秋•芜湖期末）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2+x）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，若函数F（x）＝f（x）﹣kx在（﹣2，2）上恰有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣ln2，0）∪（0，ln2） C．（﹣1，﹣ln2）∪（ln2，1） D．(【答案】C【题型】函数的性质与零点【解析】解：因为定义在R上的偶函数f（x）满足f（2+x）＝f（﹣x），所以f（x+2）＝f（x），所以函数f（x）是以2为周期的周期函数，又当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，作出函数f（x）的图象如下图所示，又函数F（x）＝f（x）﹣kx在（﹣2，2）上恰有三个零点，所以y＝f（x）与y＝kx在（﹣2，2）上的图象有三个交点，当k＞0时，设直线l1是y＝f（x）在原点时的切线，此时l1与y＝f（x）有两个交点，当直线l2过点（1，1）时，直线l2与y＝f（x）有两个交点，此时直线l2的斜率为1，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f′（x）＝2xln2，所以f′（0）＝ln2，即直线l1的斜率为ln2，所以要使y＝f（x）与y＝kx有三个交点，则ln2＜k＜1，由对称性可知，当k＜0时，﹣1＜k＜﹣ln2，综上，实数k的取值范围为（﹣1，﹣ln2）∪（ln2，1）．故选：C．二、多选题10．（2022秋•杜集区校级期中）如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y＝at的图象，则下面叙述正确的是（）A．这个指数函数的底数为2 B．第5个月时，浮萍面积就会超过30m2 C．浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月 D．若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t3【答案】ABD【题型】函数图象的应用【解析】解：对于A，∵点（1，2）在函数图象上，∴2＝a1，解得a＝2，故A正确，对于B，萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为y＝2t，当t＝5时，y＝32，故B正确，对于C，4对应的t＝2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故C错误，对于D，由题意可得，2t1=2，2t2=3，2t3=6，则t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，t1+t2＝log22+log故选：ABD．11．（2022秋•薛城区校级期末）设定义域为R的函数f（x）=|2x−1|，x＜21x−1，x≥2，若关于x的方程[f（x）]2+bf（x）+c＝0有五个不同的解，且从小到大分别为x1，x2，x3A．﹣4＜b＜﹣2 B．x3+x4＝3 C．2x1+2x2+x【答案】BCD【题型】复合函数的零点问题【解析】解：令f（x）＝t，则方程[f（x）]2+bf（x）+c＝0转化为t2+bt+c＝0，方程[f（x）]2+bf（x）+c＝0有五个不同解，等价于方程t2+bt+c＝0有两个实数解，由图可知，0＜t1＜1，t2＝1，且x1＜0＜x2＜x3＝1＜x4＝2＜x5，∴c＞01+b+c=0∴c＞0−2＜b＜−1，故A错误，B因为1−2x1=2x2−1，则2x1由基本不等式可得2=2x1+2x2＞22x1+故选：BCD．12．（2022•洪山区校级开学）已知函数f（x）=−x，x≤0−x2+2x，x＞0，若方程f2（x）+bf（xA．﹣2 B．﹣1 C．−62 【答案】BD【题型】复合函数的零点问题【解析】解：作出函数f（x）的图象如图所示：令t＝f（x），要使方程f2（x）+bf（x）+1则t2+bt+18=0在∴Δ=b2−12＞00＜−b2∵−98＜−1＜−∵−62−(−98∵−98−（−9+4216）=42−9故选：BD．13．（2022秋•长春期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名了“高斯函数”．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[a]称为高斯函数．例如：[﹣3.5]＝﹣4，[1.1]＝1．已知函数f（x）=x22+x2−12．则关于函数A．g（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数 C．g（x）的值域是{﹣1，0} D．g（x）是R上的减函数【答案】AC【题型】高斯函数型【解析】解：显然f(−x)=(−x)22+(−x)2由f(x)=x当x2+2≥4时，即x≤−2或x≥2时，f(x)∈[0，12)，g（x当x2+2＜4时，即−2＜x＜2时，f(x)∈[−12，0)，g（所以g(x)=0，x∈(−∞，−2]∪[2，+∞)由解析式可知，函数没有单调性，g（x）的值域为{0，﹣1}，故选：AC．14．（2021春•汕头期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个点x0，使得f（x0）＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A．f（x）＝2x﹣x B．f（x）＝x2﹣2x+π C．f（x）=2D．f（x）=【答案】ACD【题型】函数不动点问题【解析】解：根据定义可知：若f（x）有不动点，则f（x）＝x有解．A．令2x﹣x＝x，所以2x＝2x，知x＝1是方程的一个解，故f（x）是“不动点”函数；B．令x2﹣2x+π＝x，所以x2﹣3x+π＝0，方程的Δ＝9﹣4π＜0，故方程无解，所以f（x）不是“不动点”函数；C．当x≤1时，令2x2﹣1＝x，所以x=−12或x＝1，所以f（D．令2x−x2=x，所以x=±故选：ACD．三、填空题15．（2022•房山区一模）函数f（x）的图象在区间（0，2）上连续不断，能说明“若f（x）在区间（0，2）上存在零点，则f（0）•f（2）＜0”为假命题的一个函数f（x）的解析式可以为f（x）＝．【答案】f（x）＝（x﹣1）2，（答案不唯一）【题型】求零点或零点所在区间【解析】解：函数f（x）＝（x﹣1）2在[0，2]上连续不断，且函数f（x）存在零点x＝1，但f（0）•f（2）＜0不成立，则满足条件的f（x）可以是f（x）＝（x﹣1）2，故答案为：f（x）＝（x﹣1）2，（答案不唯一）．16．（2022秋•成都月考）已知函数f(x)=x3−2x，x＜0，x+a，x＞0若方程f（x）+f（﹣x）＝0有且仅有两不等实根，则实数【答案】[0，+∞）∪{﹣2}【题型】函数的性质与零点【解析】解：方程f（x）+f（﹣x）＝0，即f（x）＝﹣f（﹣x）有且仅有两不等实根，即y＝f（x）与y＝﹣f（﹣x）的图象有且仅有两个不同公共点，因为这两个函数图象关于原点对称，故只需射线y＝x﹣a（x＜0）与曲线y＝x3﹣2x（x＜0）有一个公共点即可，作出图象：当射线在位置①时：令y′＝（x3﹣2x）′＝3x2﹣2＝1，解得x＝﹣1或1（舍），故切点为（﹣1，1），代入y＝x﹣a得：a＝﹣2；当射线在位置②时：只需射线与y轴的公共点（实为空心点）在x轴下方或过原点，即﹣a≤0，解得a≥0，综上，所求a的范围是：[0，+∞）∪{﹣2}．故答案为：[0，+∞）∪{﹣2}．17．（2022秋•青浦区校级月考）已知函数f(x)=|x|，x≤ax2−4ax+2a，x＞a，若存在实数t，使得关于x的方程f（x）＝t有四个不同的实数根，则实数【答案】（14，2【题型】已知零点个数求参数【解析】解：要使方程f（x）＝t有四个不同的实根，则需使直线y＝t与y＝f（x）的图象有四个不同的交点．因为直线y＝t与y＝|x|的图象及直线y＝t与二次函数的图象的交点都是最多为两个，所以直线y＝m与y＝|x|，x≤a的图象和y＝x2﹣4ax+2a，x＞a的图象的交点都是两个．（1）若存在实数t，使直线y＝t与y＝|x|，x≤a的图象有两个交点，则需a＞0，此时0＜t≤a；（2）因为y＝x2﹣4ax+2a，x＞a的图象的顶点的纵坐标为2a﹣4a2，所以要使直线y＝t与y＝x2﹣4ax+2a，x＞a的图象有两个交点，只需2a﹣4a2＜t＜2a﹣3a2．综上，因为直线y＝t与y＝f（x）的图象有四个不同的交点，如图所示，所以a＞02a−3a2＞02a−4a2＜a，解得14故答案为：（14，2真题在线一．选择题1．（2019•天津）已知函数f（x）=2x，0≤x≤1，1x，x＞1．若关于x的方程f（x）=−14x+A．[54，94] B．（54，94] C．（54，94]∪{1}【答案】D【题型】切线法解决零点问题【解析】解：作出函数f（x）=2x，0≤x≤1，1x关于x的方程f（x）=−14x+a（a∈即为y＝f（x）和y=−14x+平移直线y=−14有两个交点，可得a=94或a=54，考虑直线与y=1x在x由Δ＝a2﹣1＝0，解得a＝1（﹣1舍去），综上可得a的范围是[54，9故选：D．2．（2019•新课标Ⅰ）关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（π2，π③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【题型】求零点个数【解析】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（π2，π）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故②当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx，由f（x）＝0得2sinx＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，0）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确的是①④，故选：C．3．（2019•新课标Ⅲ）函数f（x）＝2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【题型】求零点个数【解析】解：函数f（x）＝2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零点个数，即方程2sinx﹣sin2x＝0在区间[0，2π]的根个数，即2sinx＝sin2x＝2sinxcosx在区间[0，2π]的根个数，即sinx＝0或cosx＝1在区间[0，2π]的根个数，解得x＝0或x=π或x＝2π．所以函数f（x）＝2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零点个数为3个．故选：B．4．（2019•新课标Ⅲ）函数y=2A． B． C． D．【答案】B【题型】函数图象辨析【解析】解：由y＝f（x）=2x32x+2∴f（x）是[﹣6，6]上的奇函数，因此排除C又f（4）=21128+1故选：B．5．（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数y=1ax，y＝loga（x+12A． B． C． D．【答案】D【题型】函数图象辨析【解析】解：由函数y=1ax，y＝loga（当a＞1时，可得y=1函数y＝loga（x+12），是递增函数，图象恒过（当1＞a＞0时，可得y=1函数y＝loga（x+12），是递减函数，图象恒过（∴满足要求的图象为：D故选：D．6．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ex，x≤0lnx，x＞0，g（x）＝f（x）+x+a．若g（A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【题型】已知零点个数求参数【解析】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．7．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝（）A．−12 B．13 C．【答案】C【题型】已知零点个数求参数【解析】解：因为f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）＝﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+1所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2＝a（ex﹣1+1等价于函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（ex﹣1+1①当a＝0时，f（x）＝x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（ex﹣1+1所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（ex﹣1+1ex−1）的图象的最高点为B由于2a＜0＜1，此时函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（ex﹣1+1③当a＞0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（ex﹣1+1所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（ex﹣1+1ex−1）的图象的最低点为B由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a＝1，即a=1综上所述，a=1方法二：f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）＝（x﹣1）2+a（ex﹣1+e﹣x+1）﹣1，令t＝x﹣1，则y＝t2+a（et+e﹣t）﹣1为偶函数，图象关于t＝0对称，若y＝0有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当t＝0时，y＝﹣1+2a＝0，所以a=1故选：C．8．（2016•天津）已知函数f（x）=x2+(4a−3)x+3a，x＜0loga(x+1)+1，x≥0（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|fA．（0，23] B．[23，34] C．[13，23]∪{34} D．[【答案】C【题型】已知零点个数求参数【解析】解：y＝loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：3−4a2解得，13由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|＝2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|＝2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞23时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|＝2﹣则Δ＝（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）＝0，解得a=3当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[13，23]∪{故选：C．9．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），若函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则i=1mxA．0 B．m C．2m D．4m【答案】B【题型】函数的性质与零点【解析】解：∵f（x）＝f（2﹣x），故f（x）的图象关于直线x＝1对称，函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x＝1对称，故函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点也关于直线x＝1对称，不妨设x1＜x2＜…＜xm，则点（x1，y1）与点（xm，ym），点（x2，y2）与点（xm﹣1，ym﹣1），…都关于直线x＝1对称，所以x1+xm＝x2+xm﹣1＝…＝xm+x1＝2，由倒序相加法可得i=1mxi=12×故选：B．二．填空题10．（2023•上海）已知函数f（x）＝2﹣x+1，且g（x）=log2(x+1)，x≥0f(−x)，x＜0，则方程g（【答案】x＝