2023-2024学年河北省邯郸市永年区高二年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年河北省邯郸市永年区高二下学期期中数学模拟试题

一、单选题

1.已知函数f(x)在x=%处的导数为3,则Iim小之生匕&J=()

AkfO3∆x

2

A.3B.1C.2D.-

3

【正确答案】B

(分析】根据已知条件及函数在X=Xo导数的定义即可求解.

【详解】因为函数/(X)在X=Xo处的导数为3,

所以r(%)=Iim/(x。+.)-"*。)=3,

V7Av→0Aχ

所以Iim"&+AX)Ta)Jlim"X”Ar)TG)Jχ3=l∙

&T。3∆x3δλ→0ΔX3

故选：B.

2.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮

船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为()

A.1+1+1=3B.3+4+2=9

C.3×4×2=24D.以上都不对

【正确答案】B

【分析】根据分类加法计数原理可求.

【详解】根据分类加法计数原理可得，一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为3+4+2=9种.

故选：B.

3.已知函数y(x)=x2-2x-41nx+3,则/(x)的极小值为()

A.2B.2-31n2C.In2-3D.3-41n2

【正确答案】D

【分析】利用导数法求函数的极值的步骤及函数的极小值的定义即可求解.

【详解】函数/(x)的定义域为(O,+e),

因为/(x)=f-2x-4InJV+3

LLy…、42(x+l)(x-2)

所以/'(M=27——=J——△——L,

XX

令r(x)=0,则2(x+l)(l)=0,解得χ=2或X=-1(舍)，

X

X（0,2）2(2,+∞)

尸⑴—0+

/(ɪ)单调递减极小值单调递增

由此表可知，当x=2时∙，/（x）的取得极小值为/（2）=4—4—41n2+3=3-41n2.

故选：D.

体重（单位：kg）

4.目前,国际上常用身体质量指数BMl=来衡量成人人体胖瘦程度以及是否健

身高2（单位：H?）

康.某公司对员工的BMZ值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为g；女员工中，肥胖者的占

比为已知该公司男、女员工的人数比例为3:2,为了解员工肥胖原因，现从该公司中任选一名

肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（）

3349

A.-B.—C.-D.—

45510

【正确答案】A

【分析】记事件A为“选到的员工为肥胖者”，事件8为“选到的员工为男性“，求出尸（A8）、P（A）的

值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】记事件A为“选到的员工为肥胖者”，事件B为“选到的员工为男性”.

则P(A8)=3χ±=3,P(A)=Ix±+*x上=：,

v75525—5551025

则鹤小需VXu

故选：A.

5.某人用字母九r√各1个和2个字母e拼写英语单词“比女尸,那么他写错这个英语单词的概率为（）

59C919C119

A.—B.—C.—D.----

601020120

【正确答案】A

【分析】利用排列组合知识得出英语单词的不同写法的总数，利用古典概型概率公式计算即可.

【详解】因为用字母上S各1个和2个字母e拼写一个英语单词，共有C；A；=60（种）不同的写法,

而写对的可能只有∙1种，故所求概率为P=5=9.

故选：A.

6.已知函数/(x)=αr+sin2x+cosx在R上单调递增，则实数Q的取值范围是()

「33、

A.(2,+∞)B.(→o,l]C.[3,-κo)D.-γ∣,+∞I

【正确答案】C

【分析】因为函数/(X)在R上单调递增，则r(x)≥O对x∈R恒成立，分离参数通过求解函数最值

即可得出结果.

【详解】由/'(X)=4+2cos2x-sinx,

若函数/(x)在R上单调递增，则α+28s2x-SinXNO对XeR恒成立.

有a+20-2SilrX)—sinx20,可得α24sin,x+sinx—2,

又由4sin2x+sinx-2=(2sinx+"-∣^≤3,可得4N3.

I4j16

故选：C

7.甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局(必须分出

22

胜负)，且每一局甲赢的概率都是。，随机变量X表示最终的比赛局数，若X的数学期望为κ,则

P=()

A.!B.ɪC.?D.;或I

【正确答案】D

【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量X可能的取值为2和3,分别求出概率，列出分布列,

利用离散型随机变量的期望公式计算求得。的值.

【详解】随机变量X可能的取值为2,3.

P(X=2)=dC;(I-P)2=2∕-2p+l,

P(X=3)=C；Ml-P)P+C；P(I-P)(I-P)=2p-2",

故X的分布列为：

X23

P2p~—2∕?÷12p-2p2

故E(X)=2x(2p2_2p+l)+3x(2p_2/)=_2p2+2p+2,

77ιɔ

由一2∕+2p+2=彳，解得A=：或

故选：D.

8.已知log2Q=](o≠2),log3⅛=^(⅛≠3),log4c=^(c≠4),贝!]()

A.a<b<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

【正确答案】C

■八4T,A∙A∙j→r-τr"UkIlnQln2InZ?In3Incln4「/`Inx_LX0/口乂、.

【分析】先对等式变形得到一=—,—=—,——=—,构造/(X)=—,求导得到其单调

a2h3c4X

性，结合(=殍，a≠2,c≠4,得到a=4,c=2,由9>8推出与>掾，结合函数单调性求出

2<b<e,从而比较出大小.

__-,a∖naaIn。In2ln⅛In3Incln4

【详a解t3】由1M=En蔽=/7=三，同理丁=亍，丁丁，

令"x)=(,/(X)=WΞ,

当x>e时，∕,(x)=l^^<0,当O<χ<e时，∕,(x)=≥^>0,

可得函数f(x)的递减区间为(e,+∞),递增区间为(0,e),而2<e<3<4,

,ln4In2C._„,C

又由——=——，a≠2,c≠4,可z得。=4,c=2,

42

9>8n21n3>31n2=>—>—,

32

又由e<3,b≠3及的单调性，可知2<6<e,

故CVbV4.

故选：C.

关键点点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导

函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，变形得到蛔=苧，华=孚，

a2b3

乎浮,从而构造“X)=F,达到比较大小的目的.

二、多选题

9.若直线/为曲线G：y=Y与曲线c∕y=r'的公切线，则直线/的斜率为()

【正确答案】AD

【分析】根据导数的几何意义即可求解.

【详解】曲线G：y=Y,贝∣Jy'=2x,曲线G：y=V,则y'=3∕,

设直线/与曲线Cl的切点坐标为(〃,储)，则切线方程为y=2"-/,

设直线/与曲线G的切点坐标为(肛加)，则切线方程为y=3"*-2〉,

8

22

.∙.2a=3mya=2Λ∏3,.∙.ZW=O或机=-,

・••直线/的斜率为0或6"4.

故选：AD.

10.设(l+2x)K)=q+平+49++即3°,则下列说法正确的是()

A.%=10B.cιl+Ci2++α∣o=3'°-1

C.展开式中二项式系数最大的项是第5项D.a2=9at

【正确答案】BD

【分析】对于A,令X=0,从而即可判断；对于B,令x=l,结合A的结论，即可判断；对于C,

由二次项的展开式中系数的特征即可判断；对于D,利用二次项的展开式公式求出如出即可判断.

【详解】解：对于A,令X=O得%=1,故A不正确；

对于B,令X=I得%+4+牝++4O=3'°,

10

而由A知：⅜=1,因此4+/++a10=3-l,故B正确；

对于C,因为(l+2x)K)的展开式中二项式系数最大的项是第6项，故C不正确；

K)rr

对于D,因为(1+2X)的展开式中，Tr+i=2C{0x,

222

所以n=2C：οx=20x,T3=2C10X=180x,

因此4=20,4=180,所以外=9α∣,故D正确.

故选：BD.

11.已知函数/(x)=x2∣nx,下列说法正确的是()

A.当x>l时，/(x)>0;当OCXCl时，/(x)<0

B.函数/(x)的减区间为(0,旧,增区间为(G,+∞)

C.函数/(x)的值域-：，+8)

D./(x)2x-l恒成立

【正确答案】ACD

【分析】由对数函数的性质直接判断A,利用导数确定函数的单调性与极值判断BC,D选项中，不

等式变形为InX-L+±≥0,然后引入函数g(x)=InX-L+二，由导数求得最小值判断D.

XXXX

【详解】对于选项A,当OVXVl时，In%<O；当x>l时，lnx>O,故选项A正确；

对于选项B,./^ɪ)=2XInX+x=x(2InX+1),令/彳1)>0可得21nx+l>0,有工>十，可知函数F(X)

的减区间为(0,9),增区间为(9，—],故选项B错误；

对于选项C,由上可知"XL=/1%)=[111%=-',X→R时，/(x)→+<x>,故选项C正确:

对于选项D,f(x∖≥x-∖<=>x2lnx-x+l≥0<≠>l∏Λ-i+->0,令g(x)=lnx--+ɪ,有

XXXX

g,(X)=]■+[二/+12=(1胃+2),令/(无)>()可得X>l,故函数g(x)的增区间为

XX~XX'X'

(M),减区间为(0,1),可得g(x)πta=g(l)=O,故选项D正确.

故选：ACD.

12.“新高考”后，普通高考考试科目构成实“3+2+1”模式.“2”就是考生在思想政治、地理、化学、

生物这4门科目中选择2门作为再选科目.甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选两门科目

学习，设4表示事件“甲乙两人所选科目恰有一门相同”，B表示事件“甲乙两人所选科目完全不同”,

C表示事件“甲乙两人所选科目完全相同”，。表示事件“甲乙两人均选择生物“，则()

A.A与B为对立事件B.8与。为互斥事件

C.C与。相互独立D.A与。相互独立

【正确答案】BD

【分析】根据互斥事件、对立事件的概念即可判断A,B,再利用概率的计算公式求出

P(A),P(B),P(C),P(D)即可判断C,D.

【详解】甲、乙两名同学所选科目共有''所选科目完全不同”，”所选科目恰有一门相同“所选科目

完全相同”这三种情况，即A与B为互斥事件但不对立，选项A错误；

B与D为互斥事件，选项B正确；

易知P(A)='窘=［，P(B)=品=(P(C)=I-P(A)-P伊)=：,

「⑵=器T"S)=品WW(C)P⑷，

P(Ao)=5⅛=!=P(A)∙P(O)，选项C错误；选项D正确.

C4C4O

故选：BD.

三、填空题

13.已知某随机变量4的概率分布列如表，其中x>0,y>0,则随机变量J的数学期望Eq)=

Xi123

P(DXyX

【正确答案】2

【分析】根据分布列的性质以及期望的计算公式即可求解.

【详解】由题意，*+y+x=1,即2x+y=l

.∙.E(j)=x+2y+3x=4x+2y=2(2x+y)=2

故2

14.设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%,甲、乙车间生产的

产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%,则推测丙车间的

次品率为■

【正确答案】5%

【分析】令A表示“取到的是一件次品”，B1,B2,Bi分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生

产的，设P(A同)=加，由全概率公式即可求解.

【详解】解：令A表示“取到的是一件次品“，B,,B2,B3分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车

间生产的，显然%Bz，层是样本空间S的一个划分，且有P(A)=O45,P(S2)=0.35,P(S3)=0.2.

由于P(AIBJ=O.02,P(A∣B2)=0.03,设P(A同)=加，

由全概率公式得：

P(A)=P(A∣Bl)P(Bl)+P(A∣β2)P(B2)+P(A∣B,)P(β,)=0.02×0.45+0.03×0.35+m×0.2,

而P(A)=2.95%,故m=5%.

故5%.

15.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在

提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色

方法种数为.

【正确答案】72

【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、8、C、。、E的涂色方法数目，由分步计数原理计

算答案.

【详解】分4步进行分析：

①，对于区域A,有4种颜色可选；

②，对于区域B,与A区域相邻，有3种颜色可选；

③，对于区域C,与A、B区域相邻，有2种颜色可选；

④，对于区域。、E,若。与B颜色相同，E区域有2种颜色可选，

若。与B颜色不相同，O区域有1种颜色可选，E区域有1种颜色可选，

则区域力、E有2+lxl=3种选择，

则不同的涂色方案有4x3x2x3=72种；

故72

16.已知函数/(x)=∕+(C-I)χ+其中e是自然对数的底数，经研究：“在平面直角

坐标系中，X轴是函数g(x)的图象的渐近线若方程)(g(x))=O有六个互不相等的实数解，则C的

取值范围为

【正确答案】(θ,3-2√Σ)

【分析】利用导数研究函数g(x)的性质，作出g(x)的大致图象,设g(x)=f，则/(r)=0,设")=0

的两根为4名，可知4/e(0,4),且4声芍，列式求解即可.

【详解】g<x)=⅛^,令g'(x)=O,解得X=O或x=2,

e

当x<0或x>2时，g'(x)<O;当OCX<2时，g'(x)>O,

则g(x)在(e,0)和(2,+8)上单调递减，在(0,2)上单调递增，

当x=0时，g(x)取极小值g(0)=0;当χ=2时，g(x)取极大值g(2)=4,

当x<0或x>0时，g(x)>0.

作出g(x)的大致图象，如图，

设g(x)=r,则/⑺=0,设/⑺=0的两根为4耳，可知4冉«°，4),且…2,

Δ=(c-l)2-4c>0,

x1+x2=1-c>0,

xx=c>0,

有，l2

0<--^^<4,

2

/(4)=16÷4(c-l)+c>0,

得O<c<3-20,即C的取值范围为(0,3-2忘).

故答案为.(θ,3-2√Σ)

四、解答题

17.已知(21?+二］(n∈N*).

(1)若其展开式中第5项和第6项的二项式系数相等，求”；

(2)若展开式中存在常数项，求〃的最小值.

【正确答案】(1)9

(2)5

【分析】（I）由题意C：=c：,由组合数的性质可得结果;

（2）展开式通项为4M=C：2”"3，川，令3〃_5厂=0,即可求得答案.

【详解】（1）由题意C：=C：，;.〃=9；

（2）展开式通项为2I=α（2χ3）'f（（）=C,r,2"-rx3"-5r,

令3"-5r=0,可得"=∙∣r,

.∙∙r=3时，”有最小正整数值5.

18.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是2:和：3，假设每次射击是否击中目标，相互之

34

间没有影响.（结果需用分数作答）.

（1）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；

（2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.

191

【正确答案】（I）u（2）Z

27O

（1）事件A（甲射击3次至少有1次未击中目标）与事件B（甲射击3次都击中目标）为对立事件,

计算得到答案.

（2）甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率尸=《由，计算得到答案.

23

【详解】（1）设甲、乙击中目标的概率分别是为P∣,P2,则口=：，P?=:,

事件A（甲射击3次至少有1次未击中目标）与事件B（甲射击3次都击中目标）为对立事件，所

（2）甲射击2次恰好击中目标2次的概率为G=GlJJ=1，

313

乙射击2次恰好击中目标1次的概率为R=GXTXT=三，二事件相互独立，

448

431

所以甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标I次的概率尸=A七=5、京=了

本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

19.已知函数〃X）=渥-勿√+A（αHθ）在区间上的最小值为一2,最大值为1.

（1）求实数a，6的值；

（2）若函数g（x）=∕（x）-〃?有且仅有三个零点，求实数机的取值范围.

【正确答案】⑴优或：二；⑵当α=b=l时,忌,1%当α=T,"-2时,12,一||

【分析】(1)求出f(X),对。的取值进行分类讨论，分别利用导数研究函数的单调性，由最值列出

方程组，求解即可;

(2)利用(1)中的结论，讨论两种情况，得到函数F(X)的最值与极值情况，然后由零点的定义求

解即可.

【详解】(1)由/'(耳=3办2—4Or=OV(3x-4)

①当”>0时，令/”)>0,可得x>g或x<0,此时函数/(x)的增区间为(一8,0),(*+8)，减

区间为(Og)

、643232

由/(0)=6,f(-])=-a-2a+b=b-3a,f∖l∖=^a~z^a+b=b~^a>f(2)=8a-8a+b=b

b=∖

有,可得

b-3a=-2

②当“<0时，令制x)>0,可得O<x<g,此时函数f(x)的减区间为(-8,0),1*+00｝增区间为

由/(0)=b,f[-∖)=-a-2a+b=b-2>a,f(2)=Sa-8a+b=b

b=-2a=-↑

有,可得

b-3a=lb=-2

二;或

由上知

b=-2

(2)当α=6=l时，f(O)=1,/^j=l-∣∣=-^∙

若函数g(x)有且仅有三个零点，实数机的取值范围为‘方』)

、

当α=T,匕=一2时，/(0)=-2,/^,4-J=-2+32-=-—22

若函数g(x)有且仅有三个零点，实数〃?的取值范围为12,一||

20.某学习小组有3个男生和4个女生共7人.

(1)将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？

(2)将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？

(3)从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种选派方法？

【正确答案】（1）144

（2）3720

（3）432

【分析】（1）按照插空法，先排男生，再排女生，即可求解；

（2）分男生甲在最右边和男生甲不站最左边也不在最右边两种情况，结合排列数公式，即可求解；

（3）按照先选再排的方法，结合组合数和排列数公式，即可求解.

【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：

①，将3个男生全排列，有A：种排法，排好后有4个空位，

②，将4名女生全排列，安排到4个空位中，有A：种排法，

则一共有A；A：=144种排法；

（2）根据题意，分2种情况讨论：

①，男生甲在最右边，有A：=720,

②，男生甲不站最左边也不在最右边，有A；A；A；=3000,

则有720+3000=3720种排法;

（3）根据题意，分2步进行分析：

①，在3名男生中选取2名男生，4名女生中选取2名女生，有C；C；种选取方法，

②，将选出的4人全排列，承担4种不同的任务，有A：种情况，

则有C；C；A：=432种不同的安排方法

21.我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利.为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的

质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38,70,

50,45,48,54,49,57,60,69,已知质量指标不低于60分的产品为优质品.

（1）从这io件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为y,求y的分布列和

数学期望

（2）根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布N（〃,4）,其中〃近似为样本质量

指标平均数，/近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%.那么这种农

产品是否满足生产合同的要求？请说明理由.

附:若则p(〃-2σ∙<X<〃+2b)=0.9545,P(ju-σ<X<ju+σ)=0,6827,√94≈9.7.

3

【正确答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：I

(2)这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由见解析

【分析】(1)求出y的取值和对应的概率可得分布列及期望；

(2)求出这10件农产品的平均数和方差，可得〃=54,σ=9.7,记这种产品的质量指标分值为X,

可知X~W(54,9.72),再根据P(44.3<X<63.7)ɪP(χ∕-σ<X<∕∕+σ),

有尸(乂》60)>尸(乂》63.7)可得答案

【详解】(1)因为质量指标分值不低于60分的产品为优质品，所以优质品有3件，

则S*高

11

p(y=l)=尊CC=，7

I)GV15

P(Y=I)=

C.015

所以y的分布列如下:

Y012

771

P

151515

7713

⅛E(r)=o×-÷1×-+2×-=-

1515155

(2)这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下:

这10件农产品的平均数为∖x(38+70+50+45+48+54+49+57+60+69)=54,

这10件农产品的方差为

木x[(38-54『+(70-54)2+(50-54),(45-54)2+(48-54)。+(54-54)2+(49-54),(57-54):

(60-54)，(69-54)[=94,

由痈“9.7,可令M=54,σ=9.7,

这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下:

记这种产品的质量指标分值为X,由题意可知，X~7V(54,9.72),

可得P(44.3<X<63.7)=P^μ-σ<X<〃+b)=0.6827,

有P(X160)>P(X263.7)==15865>15%

所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求.

22.已知函数/(X)=X(Inx-a)+l有且仅有两个零点不,々(々>xl>0).

⑴求实数。的取值范围；

(2)证明：x,x2>1.

【正确答案】(I)(I,+∞)

(2)证明见解析

【分析】(1)求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，依题意f