2023-2024学年河北省部分学校联考高二年级下册3月月考数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年河北省部分学校联考高二下册3月月考数学

模拟试题

一、单选题

1.若/(x)=SinJ,则,甲”2、；/(°)=()

A.0B.ʌ-C.1D.2

【正确答案】D

【分析】利用导数的定义和导数公式进行计算.

【详解】由题意可知，/(X)=COSX,/'(0)=1

lim/(20-7(0)=21im/(0+2Q-/(0)=

Γ→Ot2f→02/

故选：D.

2.己知等比数列｛%｝的公比为且％%=2%,则％=()

A.2B.1C.~D,一

24

【正确答案】C

【分析】利用等比数列下标和性质可得知，由等比数列通项公式可求得结果.

【详解】a5ai=a｝=2ai,/.α4=2,/.¾=α4j=2x；=g.

故选：C.

3.一质点做直线运动，它所经过的路程S与时间，的关系为s(r)=∕+/+ι,若该质点在时

间段［L2］内的平均速度为匕，在f=2时的瞬时速度为匕，则匕+丹=()

A.10B.16C.26D.28

【正确答案】C

［分析］利用曾三；⑴计算vl,利用√(2)计算V2,相加可得答案.

【详解】由题，V,=S⑵-S(I)=23+22+1-R-12-I=H)

,2-11

由题s'(r)=3*+2f,V2=s'(2)=3X2?+2X2=16,则4+匕=26.

故选：C

4.已知尸(X)是函数/(x)的导函数,若"x)=χ2-x∙∕'⑶，则/⑴=()

A.-1B.-2C.2D.3

【正确答案】B

【分析】求导后，代入x=3可求得了'(3),从而求得了(x),代入X=I即可得到结果.

【详解】∕,(x)=2x-Γ(3),ΛΓ(3)=6-∕r(3),解得：八3)=3,

Λ∕(X)=X2-3X,.∙.∕(l)=l-3=-2.

故选：B.

5.己知S“是等差数列｛%｝的前"项和，若Sχ>=15,S60=75,则邑。=()

A.40B.45C.50D.55

【正确答案】A

【分析】根据等差数列和的性质，分析即得解.

【详解】由等差数列的性质得：

$20,邑。-$20，SSO-SJO成等差数列,

所以2(S40-15)=15+(75-%),

解得S40=40.

故选：A

6.已知。>0,〃>0,实数。,不看功成等差数列，〃，Wy2/成等比数列，则(斗+々)的最

一为

小值为()

A.2B.4C.6D.8

【正确答案】B

【分析】根据等差数列、等比数列性质可化简所求式子为f+^+2,利用基本不等式可求得

ba

结果.

【详解】。,和当力成等差数列，“，％，%，6成等比数列，，王+*2="+6，My2="，

.∙.α+")~=更生=上直+2=q+%2≥2∖R^+2=4(当且仅当α=匕时取等号)，

yxy2abahba∖ba

.∙.(~+”)的最小值为4.

乂为

故选：B.

7.已知数列应｝的前八项和为S,,,4=焉，q+。向+《,+2=需，则％23=()

1Vz14ɪKzɪ乙

A.675B.674C.1384D.2023

【正确答案】A

【分析】采用并项求和的方式，结合等差数列求和公式可求得结果.

【详解】

‰23=a∖+(%+/+。4)+(〃5+%+%)~**^(¾)18+¾)19+“2020)+(¾02l+¾022+¾23)

14720202023675x(1+2023)

-------1-------H+•••4F------=675.

101210121012-------101210122x1012

故选：A.

8.已知S”是数列｛〃〃｝的前〃项和，若a〃+2+ajCOS"7r=〃，S20=355,则4=()

A.OB.2C.4D.6

【正确答案】B

【分析】当〃为奇数时，利用累加法可求得a”=勺匚+卬；当”为偶数时，可求得偶数项

的和，由此得到奇数项的和，由此可构造方程求得％.

【详解】当"为奇数时，an+2-an=n,

∙,∙an=(%一%-2)+(〃〃-2一4-4)+…+(〃5一%)+3-4)+4

,八/人(l+rt-2)×∙-(”_[)2

=(〃-2)+(〃-4)+…+1+4=---------------------卜a∣=—―---Fcιl

当”为偶数时，all+2+aιl=n,

.∙.g+α∣+4+•一+Wo=2+6+10+14+18=50,

XS20=355,/.q+%+%+…+《9=305；

(IQ2Λ

+at+•=10«,+(1+4+9+16+25+36+49+64+81)

Y+Qi+亍<4

=10«,+285=305,解得.4=2

故选：B.

二、多选题

9.下列运算错误的是()

AA

A.(2)'=2log2eB.(√7)(=-

2x

C.(sin1/=coslD.(Iogx)f=--—

3%In3

【正确答案】AC

【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.

【详解】对于A,(2)=2Un2,A错误；

对于B,(«y=(x；y=L-=正，B正确；

2Ix

对于C,(sinl),=0,C错误；

对于D,(l0g3X)'=一二，D正确.

Xln3

故选：AC

10.设S,,为等差数列｛。“｝的削”项和，若5+l)S,<,。21>23$2022<“202352021，$2023-邑021<。，

则()

A.数列｛q｝的公差小于0

B.。2022V0

C.S,,的最小值是$2023

D.使Sf,>0成立的”的最小值是4045

【正确答案】BD

【分析】根据给定条件，结合等差数列前“项和公式及等差数列的性质，逐项计算判断作答.

【详解】在等差数列｛%｝中，由("+DS“<nsπtl,得("+缪+"")<"5+"+%),即

an<4+],

因此等差数列｛见｝为递增数列，公差大于0,A错误;

又^2O23⅛22<。2023$2021'即⅛23(¾)22-^2021)<θ，整理得。2023。2022<θ'

因此。2022<。，。2023>°，S”的最小值是S?-B正确，C错误；

因为

S4044=4044(%⅛A)=2022(6⅛+<⅛)=2022(S2023-52021)<0,

S4iw5=4045(°；+6⅛)=4045a2023>0,所以使S“>0成立的〃的最小值是4045,D正确.

故选：BD

II.已知数列出｝满足4=2,a,”,,=24-l("∈N*),4=20%,%=a/"(〃eN*),数

列｛“｝的前〃项和为7.，且对V〃wN*,2(+400≥∕l”恒成立，则()

A.¾=∣B,数列I-LJ为等差数列

5a„-1

C.〃=16〃D.2的最大值为225

【正确答案】BD

2a”一1

【分析】根据递推关系式可推导得到4,知A错误；根据=二一可推导得到

——7=—→1,可知B正确；利用累乘法可求得"，知C错误；利用等差数列求和公式

1

¾+l-4-1

可求得结合基本不等式可求得2的最大值，知D正确.

【详解】对于A,由。“+4=2见-1（,”叶）得：a2ai=2at-],即2%=3,解得：«2=|；

34

a2a3=2a2-l9即耳％=2,解得：%=§；

455

a3a4=2a3-∖f即§%=§，解得：4=（，A错误；

2a—1

对于B,由4+“=24“一1（"∈N*）得：%+ι=―-—,

L

又」7=1,数列I-J是以1为首项，1为公差的等差数列，B正确;

GTETJ

._..ɪ1z?+1n~∖^∖.

对于C,由B得α：∖~ny,,an~l"l=-----»∙∙⅛+∣=------⅛，

-1nnn

又4=20%=20x(=25,

ɪ⅛⅜,-∣.....⅛,A.,二〃“T32

则当〃22时,hz2x—x25=25〃，

""I勿2b?b∖'n-∖n—2

Λ-1n—LLI21'

⅛1=25满足bn=25〃，.∙.bn=25〃(〃∈N∙),C错误;

25n+1

对于D,由C得：T11=25×(l+2+3+∙∙∙+n)=^^,

由2η,+400≥2〃得：25n(H+l)+4∞>λn,:.λ<25n+^-+25,

25«+—≥2,∣25n-=200(当且仅当25〃=理，即〃=4时取等号),

n∖nn

.∙.∣25n+-+25I=225,则2≤225,二4的最大值为225,D正确.

n

I√min

故选：BD.

12.已知数列｛q｝是斐波那契数列，4=%=1,¾÷2=¾+ι+⅛.记S“是数列佃,｝的前"项

和，I,是数列｛“；｝的前”项和，则下列结论正确的是（）

aa

A.2023~2O12=¾O24'β202lB.4+%%*^¾23="2025

⅛23=¾25—a

C.D.(O23="2023-2024

【正确答案】ACD

【分析】由平方和公式，结合已知关系式可知A正确；将B式中的《替换为的,结合已知

关系式推导可知B错误；由an+2-all+^a„可推导得到C正确；根据已知关系式可得

aaaaa

Ll=n+in+2-,,n+l＞加和整理即可知D正确.

a

【详解】对于A,4+2=n+l+。〃，••“2023+。2022=¾024，‰23—々2()22=々2021，

¾)23-%O22=(%)23+4()22)(生023—¾)22)=。2024."2021'A正确;

对于B,,ai=a2=↑,

÷Cltt++•,,+〃2023=〃2++,••+〃2023=。4+。5++',+〃2023="**=〃2022+〃2023=〃>>024，B

错误；

对于C,4+2=4,

lj

•∙S2θ23=4+%+%^----------/023=(%-%)+(%—%)+(¾一。4)"1-------------^

(¾025—¾O24)=%025—%=%O25-ɪ»C正确；

=a=aa,

对于D，"〃+2¾+l+"〃，∙∙∕ι+ln+2~n>∙¾+∣=。〃+1(4〃+214)=4+l°”+2—44+1，

∙'∙7≡3=α∣2+a2+a3+∙~+⅛23=402+(β√⅞^^4%)+(α√j4_%%)+.•,+

(02023t⅛024^^fl2O22%O23)=4θ23t⅛24，Djii确.

故选：ACD.

三、填空题

13.在公差不为0的等差数列｛%｝中，S“为其前”项和，若53。=5(牝+34。+24),则正整

数4=.

【正确答案】29

【分析】利用等差数列通项公式和求和公式可直接构造等式求得Z的值.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d(d*0),

3029

由S30=5(%+3/+24*)得：30αl+^t∕ɪ5[α,+4d+3al+27d+2q+2(Z-l)d],

即64+87d=6q+(2&+29”，.∙.2k+29=87,解得.k=29

故答案为.29

14.设等差数列｛4｝满足4=4,%=12,且4=2,⅛+,-bn=%(〃eN),则bm=.

【正确答案】IOloo

【分析】利用等差数列通项公式可求得公差d和”“，采用累加法可求得力,代入〃=Ioo即

可求得结果.

【详解】设等差数列｛α,,｝的公差为d,则为=4+4d=4+4d=12,解得：d=2,

aιl=4+2(〃-l)=2"+2,则OHJ—=2"+2=2("+l),

当”22时，

b+-+-+

n=也-⅛-l)(⅛-l2-2)+(2-2—⅛-3)+-∙+(⅛-⅛)(⅛⅛)Λ

「/、/、-I〃(/7+1)/、

=2[H+(∕7-∣)+(W-2)H----ι-2j+2=2×----=n(∕7÷l),

又4=2满足％="(∕2+l),∙∙∙2=*"+D02∈N*),

Λ⅛100=100x101=10100.

故答案为.ιoιoo

15.若曲线y="e、与曲线y=√7在公共点处有相同的切线，则实数。=.

【正确答案】叵

2e

【分析】令/(x)=αe',g(x)=√L公共点为(七,%),结合导数几何意义可构造方程组

∕,(⅞)=^,(⅞)

由此可解得吃,进而求得。的值.

/(⅞)=^(⅞)

【详解】令"x)=4e*,g(x)=G,则r(x)="e',g，(X)=^；

设F(X)与g(x)的公共点为(Xo，%)，

与g(x)在公动点处有相同的切线，

(-X1

,,ae"1

,∕(⅞)=^(⅞)0π"TTT--AT的徂ɪ

∙∩ʃ/、I\,即V4∕ΛO,∙∙/--vxo,解得：X=->

/(⅞)=⅛(⅞)*L2o√⅞02

aex°=JXo

ɪ√2Λ,z_√2√2e

.∙.αe-=----，解2得aʌCi=—产=-----

22√e2e

故答案为.叵

2e

16.某集团第一年年初给下属企业甲制造厂投入生产资金4000万元，到年底资金增长了

40%,以后每年资金年增长率与第一年相同.集团要求甲制造厂从投入生产资金开始，每年

年底上缴资金800万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第〃年年底甲制造厂上缴资金

后的剩余资金为。“万元，若4≥16000,则正整数2的最小值为.(取

lg7≈0.845,ig5≈0.699)

【正确答案】6

【分析】根据。“与4τ的关系可推导证得数列。-200。｝为等比数列，利用等比数列通项公式

可得〃“，进而解不等式可求得女的范围.

【详解】由题意知：4=4000x(1+40%)—800=4800：

7

当“≥2时，α,,=(l+40%)¾-,-8∞=-an,l-800,

7

.∙.an-2000=-2000),又α∣-2000=2800,

7

.∙.数列U-2000｝是以2800为首项，y为公比的等比数列,

二4-2000=2800XG),则为=2800x(q)+2000,

令&=2800x(3+2000≥16000,则［ɪ)≥5,

0.699

.∖k-∖≥Iog5=—————≈a48,解得:⅛≥5.8,

ɪ7Ig7-lg50.845-0.699

・•・正整数2的最小值为6.

故答案为.6

四、解答题

17.已知等差数列｛叫的前W项和为S“，4=13,S7=13a,.

⑴求数列｛叫的通项公式；

(2)求证：｛后西｝是等差数列.

【正确答案】(IM=2〃+5

(2)证明见详解

【分析】(1)根据题意列方程组，从而解得％,d,进而即可得到数列｛%｝的通项公式;

(2)结合(1)可得到｛、斤§｝的通项公式，进而即可证明其为等差数列.

【详解】(1)设等差数列｛%｝的公差为止

7×6

由4=13,S7=i34,得α∣+3d=13,7tz1+—^―J=13tz1,解得4=7,d=2,

所以%=q+5-l)d=2"+5.

(2)结合(1)可得Sn=叫+Dd=力2++6月,

所以JS〃+9=√n2÷6π+9=〃+3,

故=I+3=4,√5π+,÷9-√S^？9=(n+4)-(H+3)=l,

所以数列｛、降百｝是以4为首项，以1为公差的等差数列.

18.已知数列｛4｝是由正数组成的等比数列，且%=256,ai+a4=20a2.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列也｝满足2=an+Iog2a,,求数列也｝的前n项和.

【正确答案】⑴q=4"T

【分析】(1)根据等比数列通项得q/+qq3=20a“，解出q,《的值，即可得出其通项;

(2)btt=4"-'+2n-2,分组求和即可.

【详解】(1)设等比数列｛4｝的公比为q(4>0),

2

由%+a4=20a2,得atcj+*=20alq,

｛4｝是由正数组成的等比数列，则q>0,q>0,

贝∣J∕+g-20=0,解得4=4或q=-5(舍)，

又4=256,

所以勾/=256,解得q=l,

所以勺=q∕τ=4"τ.

,

(2)bn=al,+Iog2an=4-'+log24"∣=4"-'+2n-2,

所以7；=(1+0)+(4+2)+(16+4)++(4,,^l+2n-2)

=(1+4+16++4"T)+(0+2+4++2Π-2)

n

]>(>4")77(0+2/7-2)41

1-4+2^T-n——

3

19.已知各项均不为O的数列｛%｝满足4=1,4-4“=44…

(I)求证：数列为等差数列，并求数列｛4｝的通项公式;

⑵设Sn为数歹U｝的前"项和，求证.Sn<1

【正确答案】（1）证明见解析，a,,=--

n

（2）证明见解析.

【分析】（1）利用给定的递推公式，变形推理即可，再求出通项公式作答.

（2）由（1）结合裂项相消法求和即可作答.

【详解】（1）因为数列｛可｝的各项均不为0,则4,必产0,

1I1

将4-q+∣=44+∣两边同时除以44+1，得1-；=1，又7=1，

4+1ana∖

11

因此数歹!!｛f—｝1是以1为首项，1为公差的等差数列，则一=〃，

anan

所以数列｛4｝的通项公式是anΛ.

所以S,<l.

20.在数列｛。“｝中，4=6,（2〃—l）a“=（4"+2）α,τ,“≥2且"eN*.

⑴设H=善匕,证明：也｝是等比数列；

2n+1

（2）设7；为数列｛⅛｝的前n项和，是否存在互不相等的正整数机,〃/满足2〃=加+1,且1-2,

Tn-2,4-2成等比数列?若存在，求出所有满足要求的八的值；若不存在，请说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）不存在，理由见解析

【分析】（1）利用已知递推关系式可推导得到a=2勾」,由此可得结论;

（2）假设存在满足题意的孙〃"，由等比数列定义可构造方程，结合2〃=加+r可化简整理

得到m=，，由此可得结论.

【详解】(1)当〃22时，

2n-l

由(2〃T)/=(4〃+2)a,i得：-¾=∣^-,即2=2"τ,

又4=1=2,数列也｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)得:H=-^=2",.∙.4,,=(2"+l)∙2",

2〃+1

.口=3X2∣+5*22+7X23+∙∙∙+(2"-1)∙2"T+(2"+1)∙2",

2^=3×22+5×23+7×24+-+(2n-l)∙2,'+(2n+l)∙2,,+l,

.∙.-7；=6-(2"+1)∙2"+∣+2'+2'+…+2"+'=6-(2M+1)∙2n+'+?)

=6-(2Π+1)∙2,,+'+2H+2-8=-2+(1-2Λ)∙2W+',

/.7；,=(2∕J-1)∙2,,+1+2;

假设存在互不相等的正整数机，〃"满足2〃=m+f,且，-2,Tn-2,1-2成等比数列，则

(2n-l)2∙22"+2=(2m-l)∙2n,+*∙(2?-l)∙2,+l,

即(2"-1)2∙22n+2=(2w-l)(2f-l)∙2m+,+2,又2〃=加+1,

.∙.(∕n+f-l)2=(2∕n-l)(2r-l),整理可得：(∕zz-r)2=O,

即MZ=与初〃,f互不相等矛盾,

二不存在互不相等的正整数机,"J满足2〃=m+/,且l,,-2,Tn-2,Z-2成等比数列.

21.已知无穷等差数列和也｝中，ai=bl=l,b3=a3+l,a5+b5=22.

⑴求｛%｝和也｝的通项