Chapter-9常微分方程数值解法

第九章常微分方程数值解法/*NumericalMethodforOrdinaryDifferentialEquations*/本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。

初值问题及其数值解的概念§1引言常用的一些解析解法：Lapalace变换等分离变量法、常数变易法、一阶常微分方程初值问题：对于初值问题，如果在下列区域内连续：（解的存在唯一性）且关于满足Lipschitz条件，即存在常数，使则初值问题存在唯一解，且解是连续可微的。所谓数值解是指：在解的存在区间上取一系列点逐个求出的近似值等距节点：步长

初值问题的解析解及其数值解的几何意义：初值问题的解表示过点的一条曲线初值问题的数值解表示一组离散点列可用拟合方法求该组数据的近似曲线积分曲线§2Euler方法

Euler方法的导出将在点处进行Taylor展开略去项：然后用代替，即得称上述公式为向前Euler

公式。若将在点处进行Taylor展开称上述公式为向后Euler

公式。向后Euler

公式为隐式格式，一般需要迭代求解略去高阶项，即得向前Euler公式：例1：分别用向前和向后Euler方法求解初值问题

（取步长为）向后Euler公式：具体计算结果见教材表。解：本题

常微分方程数值解法的稳定性设一个数值方法以定步长求解实验方程得到线性差分方程的解。当时，若，则称该方法对步长为绝对稳定的；否则称为不稳定的。将数值方法应用于实验方程，若对一切都是绝对稳定的，则称区域为该方法的绝对稳定域。上述定义表明，若数值方法可使任何一步产生的误差在后面的计算中都能逐步削弱，则该方法为绝对稳定。例如，对于向前Euler法：将其应用于实验方程当时，误差将逐步减弱，故此时方法稳定。向前Euler法绝对稳定区间：当因有误差变为时，则有

单步方法的局部误差和阶单步法的一般形式隐式单步法通常称为增量函数显式单步法设是准确的，用某种方法计算时产生的截称为某方法在点的整体截断误差。断误差，称为该方法的局部截断误差，即其中为自然数，则称该方法是阶的或具有阶精度。如果给定方法的局部截断误差为如果一个阶单步方法的局部截断误差为则称为该方法的局部截断误差的主项。如向前Euler方法的局部截断误差(Taylor展开)一阶方法主项

Euler方法的误差分析对初值问题中的微分方程两端在区间上积分如果用左矩形公式计算右端积分，并令其中上述等式中如果用代替，即得向前Euler格式。其局部截断误差为设关于和均满足Lipschitz条件，即和其中而整体截断误差为注意到对于初值问题，如果关于满足（向前Euler方法的整体截断误差）Lipschitz条件，为对应的Lipschitz常数，当时，向前Euler方法的数值解一致收敛于初值问题的精确解，且整体截断误差满足估计式如果，Euler方法的整体截断误差为一、Runge-Kutta方法的根本思想§3龙格-库塔〔Runge-Kutta〕方法显式单步法的一般形式：R-K方法是利用一些点的线性组合构造增量函数，使得相应方法的局部截断误差的阶数尽可能高。

二阶Runge-Kutta方法确定参数，使得与在点的Taylor展开式有尽可能多的相同项。将在点展开，有从而比较两式的相同项得方程组有无穷多解另一方面，由Taylor展开若取其一组解那么得到改进的Euler公式〔二阶方法〕若取其另一组解那么得到二阶的Heun〔休恩〕公式〔见教材〕。二、显式Runge-Kutta方法及其稳定性设是一个正整数，代表使用函数值的个数，和是一些待定的权因子（均为实数），则称下列方法（公式）为初值问题的m级显式Runge–Kutta公式，其中类似前面的处理方法，可以得到四级方法：m=4局部截断误差最常用的一种四阶方法：经典显式Runge-Kutta公式解：例2：用经典的四阶Runge-Kutta方法求解下列初值问题。经典的四阶Runge-Kutta公式：注：

对于显式N级R-K方法，最多只能得到N阶方法。

上述构造方法的缺陷：计算非常复杂。

可通过积分方法确定参数。例2：确定如下三级三阶显式Runge-Kutta公式中的参数：解：对微分方程两边积分得采用Simpson公式计算上式右端积分项可设参数则有选择剩余参数，使得（I）（II）令，则局部截断误差I对（I）式第一项在处Taylor展开，即比较取并将上式第一项在处Taylor展开，得上式中划线处分别在处Taylor展开Ⅱ=取再利用Taylor展开利用Taylor展开，代入当时，例3：求经典四阶的R-K方法的绝对稳定域。解：其绝对稳定域为一、k步线性多步法

§4线性多步法与预估-校正格式/*LinearMutistepMethodandPredictor-CorrectorFormat*/所谓的线性多步法，指的是某一步解的公式不仅与前一步的值有关，而且与前面假设干步解的值有关的方法。对初值问题两边积分得将换为节点取节点，构造的q+1个点的Lagrange插值多项式：

多步显式公式其中记若函数值已知，则得r+1步显式方法如时，可得二步显式阿达姆斯（Adams）格式

Adams显式公式的局部截断误差：由Lagrange插值余项知其中〔积分第一中值定理〕q+1阶方法令取节点，构造的q+1个点的Lagrange插值多项式：

多步隐式公式其中记那么得到r+1步q+1阶的隐式方法如时，可得二阶隐式阿达姆斯（Adams）格式梯形公式

常用的一种预报-校正公式：四阶Adams预报-校正公式：（显式）（隐式）初始迭代值由4阶R-K方法计算例4：用Adams预报-校正公式求解下列初值问题。解：Adams预报-校正公式：R-K方法Adams预-校法

精确解

0

11.0000000000

0.11.0954461.0954451153

0.21.1832171.1832159566

0.31.2649121.2649110640

0.41.34164135711.3416407864