2023年北京重点校初二（上）期末数学试卷汇编：尺规作图及轴对称

第1页/共1页2023北京重点校初二（上）期末数学汇编尺规作图及轴对称一、单选题1．（2023秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在Rt中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，则的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）如图，，，．有下列结论：①把沿直线翻折180°，可得到；②把沿线段的垂直平分线翻折180°，可得到；③把沿射线DC方向平移与相等的长度，可得到．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）如图，将一张四边形纸片沿对角线翻折，点恰好落在边的中点处．设，分别为和的面积，和数量关系是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）已知．下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·北京通州·八年级统考期末）在△ABC的BC边上找一点P，使得PA＋PC＝BC．下面找法正确的是（

）A．如图①以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求B．如图②以C为圆心，CA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求C．如图③作AB的垂直平分线交BC于点P，点P为所求D．如图④作AC的垂直平分线交BC于点P，点P为所求二、填空题7．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）如图，在是的平分线，于点E，．则的面积大小为___________．三、解答题8．（2023秋·北京通州·八年级统考期末）已知：线段及过点A的直线l．如果线段与线段关于直线l对称，连接交直线l于点D，以为边作等边，使得点E在的下方，作射线交直线l于点F，连结．(1)根据题意补全图形；(2)如图，如果，①；（用含有α代数式表示）②用等式表示线段与的数量关系，并证明．9．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）（1）设计作平行线的尺规作图方案：已知：直线及直线外一点P．求作：经过点P的直线，使得．分析：如图1所示，之前我们学过“推”三角尺画平行线，这种画法的实物操作图可以启发我们预设目标示意图，分析尺规作图思路．①请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法；②在①中用到的判定的依据是_______．（2）已知：如图，在中，，．求作：凸四边形，使得，且为等腰三角形．请完成尺规作图并写出所求作的四边形，保留作图痕迹，不必写作法．10．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）如图，在四边形中，，平分，．(1)画出的高；(2)的面积等于______．11．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）在中，．点在的延长线上，的平分线交于点．的平分线与射线交于点．(1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；(2)求的度数．12．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）课堂上，老师提出问题：如图1，，是两条马路，点A，B处是两个居民小区．现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何确定活动中心P的位置？小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完整．步骤1分析：若要使得点P到点A，B的距离相等，则只需点P在线段的垂直平分线上；若要使得点P到，的距离相等，则只需点P在的平分线上．步骤2作图：如图2，作的平分线，线段的垂直平分线，交于点P，则点P为所求．步骤3证明：如图2，连接，，过点P作于点F，于点G．∵，，且（填写条件），∴（）（填写理由）．∵点P在线段的垂直平分线上，∴（）（填写理由）．∴点P为所求作的点．13．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）课堂上，老师提出问题：如图1，是两条马路，处是两个居民小区．现要在两条马路之间的空场处建活动中心，使得活动中心到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心的位置？小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的过程补充完整．步骤1分析：若要使得点到点的距离相等，则只需点在线段的垂直平分线上；若要使得点到的距离相等，则只需点在的角平分线上．步骤2作图：如图2，作的平分线，线段的垂直平分线交于点，则点为所求．步骤3证明：如图2，∵连接．过点P作于点，于点．∵，且（填写条件），∴（）（填写理由）．∵点在线段的垂直平分线上，∴（）（填写理由）．∴点为所求作的点．14．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）已知：在中，，边的垂直平分线分别交于点D，交于点E．(1)求证：；(2)连接，若，求的周长．15．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）数学课上，李老师布置如下任务：如图，已知，点D是边上的一个定点，在边上确定一点E，使．下面是小莉设计的尺规作图过程．作法：①以点D为圆心，长为半径作弧交边于点F，连接．②作的角平分线，交边于点E；则点E即为所求．根据小莉设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明，并在括号内填写推理的依据．证明：∵，∴＝．（

）∵是的角平分线，∴．∵，（

）即，∴．∴．16．（2023秋·北京通州·八年级统考期末）下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段求作：一个直角三角形，使线段为斜边．作法：①过任意作一条射线；②在射线上任取两点，；③分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点；④作射线交射线于点．则就是所求作的直角三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)证明：连接，∵______∴点在线段的垂直平分线上（______________________）．（填推理的依据）同理可证：点在线段的垂直平分线上根据两点确定一条直线，可知是线段的垂直平分线．∴．(3)在中，，如果，猜想：与满足的数量关系_____________，并证明．17．（2023秋·北京通州·八年级统考期末）如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的四种方案不能重复．

参考答案1．A【分析】利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积；【详解】解：由作法得平分，点到的距离等于的长，即点到的距离为，所以的面积；故选：A．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质．2．A【分析】由已知可得，进而根据对称或平移确定结论是否正确．【详解】解：∵，∴，在、和中．，∴（SAS）把沿直线翻折180°，可得到，故①正确；把沿线段的垂直平分线翻折180°，可得到，故②正确；把沿射线DC方向平移与相等的长度，不能得到．故③错误，综上所述：正确的结论是①②．故选A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和平移和翻折变换，培养良好的空间想象能力是解题关键．3．D【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.【详解】解：根据轴对称图形的定义可得：A、B、C均不能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；D是轴对称图形，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握此定义是解题关键．4．B【分析】由折叠可知，根据中点的性质可知的面积和的面积相等，进而求出与数量关系．【详解】解：∵由折叠可知∴∵点恰好是的中点∴∵的面积为，的面积是∴【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形中线的性质等相关知识点，找出各个三角形的面积关系是解题的关键．5．B【分析】根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合两个三角形全等的判定定理即可确定答案．【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是，故选：B．【点睛】本题考查尺规作图“作两角相等”以及两个三角形全等的判定定理，掌握尺规作图及两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．6．C【分析】根据题意得到PA=PB，根据线段垂直平分线的判定、尺规作图判断即可．【详解】解：A、由作图知BA=BP，不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意；B、由作图知CA=CP，不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意；C、由作图知点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB，∴PA+PC=PB+PC=BC，故该选项正确，符合题意；D、由作图知点P在线段AC的垂直平分线上，∴PA=PC，不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质．7．13.5【分析】根据角平分线的性质可得D到的距离为3即可求得的面积．【详解】∵是的平分线，∴D到的距离等于的长，∴，故答案为：13.5．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，解题的关键是会把已知转化到所求问题上．8．(1)见解析(2)①；②，理由见解析【分析】（1）根据要求作出图即可；（2）①利用等腰三角形得性质以及三角形得内角和定理求解即可；②结论：，在上截取，使得，连接，证明，推出，推出，可以得出结论．【详解】（1）图形如图所示：（2）解：①∵线段与线段关于直线对称，∴垂直平分线段，∵是等边三角形，，，故答案为：；②结论：理由如下：在上截取，使得，连接，是等边三角形在和中，，即．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形得性质，等边三角形得性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．9．(1)①见解析；②同位角相等，两直线平行；(2)见解析【分析】(1)①过点P任意作一条直线，交直线于点G，以点P为顶点，根据作一个角等于已知角的作法，即可作得；②根据作法，由平行线的判定定理，即可解答；(2)分别以点A、B、D为圆心，长为半径画圆，再作线段的垂直平分线，根据交点即可求得．【详解】解：(1)①作法：a、过点P任意作一条直线，交直线于点G，b、以点G为圆心，任意长为半径画弧交直线于点M，交直线于点N，c、以点P为圆心，长为半径画弧交直线于点K，d、以点K为圆心，长为半径画弧交上一弧于点Q，e、过点P、Q作直线，直线即为所求作的直线作图如下：②由①作法可知：，(同位角相等，两直线平行)，故答案为：同位角相等，两直线平行；(2)分别以点A、B、D为圆心，长为半径画圆，再作线段的垂直平分线，由作法可知：，、、都是等腰三角形，作图见图．则凸四边形、、为所求作的凸四边形．【点睛】本题考查了尺规作图，理解题意要求，熟练掌握和运用基本图形的作图方法是解决本题的关键．10．(1)见解析；(2)3．【分析】（1）根据三角形高线的作法作图即可；（2）根据角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质得出，再由三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：如图所示，高即为所求；（2）∵平分，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，故答案为：3．【点睛】题目主要考查三角形高线的作法，角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．11．(1)作图见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法即可作的平分线；（2）根据角平分线的定义可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】（1）解：如图所示：即为所求；（2）解：∵，∴，∵是的平分线，∴，∵是的平分线，∴，∴．【点睛】本题考查基本尺规作图-角平分线，在熟练掌握五种基本作图的基础上按照题意进行作图，一般是结合几何图形的性质和基本作图方法灵活求解，在第一问基础上由等腰三角形性质、角平分线定义、邻补角定义及外角性质求解是解决问题的关键．12．点P在的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等【分析】利用角平分线的性质，可得出，利用线段垂直平分线的性质，可得出，进而可得出点P为所求作的点．【详解】证明：如图2，连接，，过点P作于点F，于点G．∵，，且点P在的平分线上，∴（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．∵点P在线段的垂直平分线上，∴（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），∴点P为所求作的点．故答案为：点P在的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键．13．点P在∠MON的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；线段垂直平分线上的点与这条线段两端的距离相等【分析】根据题意，由角平分线的性质及垂直平分线的性质即可得到答案．【详解】证明：如图2，∵连接．过点P作于点，于点．∵，且点在的平分线上（填写条件），∴（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）（填写理由）．∵点在线段的垂直平分线上，∴（线段垂直平分线上的点与这条线段两端的距离相等）（填写理由）．∴点为所求作的点．故答案为：①点P在∠MON的平分线上；②角的平分线上的点到角的两边的距离相等；③线段垂直平分线上的点与这条线段两端的距离相等．【点睛】本题考查角平分线的性质及垂直平分线的性质，读懂题意，熟记角平分线的性质及垂直平分线的性质是解决问题的关键．14．(1)见解析(2)9【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，再根据角平分线的性质得到；（2）判定是等边三角形，即可求出周长．【详解】（1）证明：∵在中，，∴，∵是边的垂直平分线，∴，∴，∴∴平分，∵，∴；（2）解：∵在中，，，

∴，

∵是边的垂直平分线，∴，∴，∵，