江苏省无锡市第二高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析

江苏省无锡市第二高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（

）A．性别与喜欢理科无关

B．女生中喜欢理科的比为80%

C．男生比女生喜欢理科的可能性大些

D．男生不喜欢理科的比为60%参考答案：C本题考查学生的识图能力，从图中可以分析，男生喜欢理科的可能性比女生大一些．

2.为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如右)，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是

A.30

B.60C.70

D.80参考答案：C3.如果数列满足且，则数列的通项公式是A.

B.

C.

D.ks5u参考答案：D略4.用“斜二测”画法画出△ABC（A为坐标原点，AB在x轴上）的直观图为△A′B′C′，则△A′B′C′的面积与△ABC的面积的比为（）A． B． C． D．参考答案：C5.名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均数为,中位数为,众数为，则有(

)A

B

C

D

参考答案：D6.已知双曲线-=1和椭圆+=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形参考答案：B略7.已知数列{an}中，，（n∈N+），则在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是（）A．a1，a50 B．a1，a8 C．a8，a9 D．a9，a50参考答案：C【考点】数列的函数特性．【分析】令=1+，根据，，我们易判断数列各项的符号及单调性，进而得到答案．【解答】解：∵=1+，（n∈N+），∵，，∴数列的前8项小于1且递减，从第9项开始大于1且递减，故数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a8，a9．故选C．8.设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=2.2a+b=8，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．log23参考答案：B【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由ax=by=2，求出x，y，进而可表示，再利用基本不等式，即可求的最大值．【解答】解：∵ax=by=2，∴x=loga2，y=logb2∴，∴=log2a+log2b=log2ab，∵2a+b=8≥，∴ab≤8（当且仅当2a=b时，取等号），∴≤log28=3，即的最大值为3．故选B．【点评】本题考查基本不等式的运用，考查对数运算，考查学生分析转化问题的能力，正确表示是关键．9.已知a=（3,1），b=（-2,5）则3a-2b=（

）（A）（2，7）

（B）（13，-7）

（C）（2，-7）

（D）（13，13）

参考答案：B略10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A．64 B．72 C．80 D．112参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题． 【分析】由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可 【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64， 上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×， 故该几何体的体积是64+8=72． 故选B． 【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，则_

_。参考答案：略12.经过两圆和的交点的直线方程是____________．参考答案：略13.抛物线y=4x2的准线方程为

．参考答案：考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．解答：解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．点评：本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质．属基础题．14.甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数及其标准差s如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是________.

甲乙丙丁7887s3

参考答案：乙【分析】在射击比赛中，平均环数越高越好，标准差越小说越稳定.【详解】平均数反映平均水平大小，标准差表明稳定性．标准差越小，稳定性越好．乙的平均数大并且标准差小，故选乙.【点睛】本小题主要考查平均数和标准差的理解.平均数反映平均水平，标准差表示稳定程度，属于基础题.15.“渐升数”是指正整数中每个数字比其左边的数字大的数，如：24578，则五位“渐升数”共有个．参考答案：126【考点】EM：进位制．【分析】分析可得“渐升数”中不能有0，则可以在其他9个数字中任取5个，按从小到大的顺序排成一列，即可以组成一个“渐升数”，即每种取法对应一个“渐升数”，由组合数公式计算C95即可得答案，【解答】解：根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取5个，每种取法对应一个“渐升数”，则共有“渐升数”C95=126个．故答案为：126．【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是理解“渐升数”的含义，属于基础题．16.命题“”的否定是

▲

.参考答案：17.在平面几何里，已知的两边互相垂直，且，则边上的高；拓展到空间，如图，三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,且,则点到面的距离参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，（Ⅰ）分别求，，的值；（Ⅱ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．参考答案：详见解析.试题分析：通过计算发现每两个数的和都是，故猜想，通过计算证明上式是成立的.试题解析：；同理由此猜想证明：故猜想成立.19..如图1，平面四边形关于直线对称，．把沿折起（如图2），使二面角的余弦值等于．对于图2，（1）求；（2）证明：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：解：（Ⅰ）取的中点，连接，由，得：

就是二面角的平面角，…2分在中，

………4分

（Ⅱ）由，，

，

又平面．………………8分（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面，平面∴平面平面，平面平面，作交于，则平面，就是与平面所成的角………………13分方法二：设点到平面的距离为，∵

于是与平面所成角的正弦为

．方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，

则．设平面的法向量为，则，，取，则，

于是与平面所成角的正弦即．

略20.已知椭圆焦点在x轴上，下顶点为D（0，﹣1），且离心率．直线L经过点P（0，2）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若直线L与椭圆相切，求直线L的方程．（Ⅲ）若直线L与椭圆相交于不同的两点M、N，求三角形DMN面积的最大值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为：，由已知得b=1，，又a2=b2+c2，得a2，b2（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，显然不成立，故可设直线l的方程为：y=kx+2．由整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0，由△=k2﹣1=0得k；（Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由（Ⅱ）△＞0，得k2＞1，x1+x2=，x1x2=，s△DMN=|s△PMD﹣s△PDN|=|PD|?|x1﹣x2|=即可【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为：，由已知得b=1，，又a2=b2+c2，∴a2=3，b2=1，∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，显然不成立，故可设直线l的方程为：y=kx+2．由整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0，由△=k2﹣1=0得k=±1．，设直线l的方程为：y=±x+2．（Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由（Ⅱ）△＞0，得k2＞1，x1+x2=，x1x2=，s△DMN=|s△PMD﹣s△PDN|=|PD|?|x1﹣x2|==9．∴当k=时，三角形DMN面积的最大值为．21.（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）若AC与BD交于点G，求三棱锥的体积。参考答案：（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，∴AE⊥平面BCE。 4分（2）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF， 10分∵G是AC的中点，∴F是CE的中点，∴FG∥AE且，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE。∴在Rt△BCE中，，， 12分。 14分22.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x