湖南省邵阳市昭陵实验学校高二数学理联考试题含解析

湖南省邵阳市昭陵实验学校高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1+a7+a13的值是一确定的常数，则下列各式：①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8﹣S5．其结果为确定常数的是（）A．②③⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤参考答案：A【分析】直接利用等差数列的性质以及已知条件求出a7是常数，即可判断选项②③⑤正确．【解答】解：等差数列{an}中，a1+a7+a13的值是一确定的常数，可得3a7是常数，故②正确；S13=13a7，所以S13是常数，故③正确；S8﹣S5=a6+a7+a8=3a7是常数，故⑤正确．故选：A．【点评】本题考查等差数列的基本性质的应用，考查计算能力．2.集合的值为（

）

A．1

B．2

C．4

D．8参考答案：C略3.设集合，，则A∩B=（

）A. B. C. D.参考答案：D试题分析：集合，集合，所以,故选D.4.已知直线和双曲线相交于两点，线段的中点为.设直线的斜率为，直线的斜率为,则=(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.已知函数f（x）=，则方程f2（x）﹣3f（x）+2=0的根的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求解方程f2（x）﹣3f（x）+2=0，得f（x）=1或f（x）=2，画出函数f（x）=的图象，数形结合得答案．【解答】解：由f2（x）﹣3f（x）+2=0，得f（x）=1或f（x）=2．画出函数f（x）=的图象如图：由图可知，方程f（x）=1有1根，方程f（x）=2有2根．∴方程f2（x）﹣3f（x）+2=0的根的个数是3．故选：A．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．6.若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数t的取值范围是(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：B略7.如图，已知a，b,，用a，b表示，则（

）A．ab

B．ab

C．ab

D．ab参考答案：C8.过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线方程为x=my+2m，代入y2=16x可得y2﹣16my﹣32m=0，利用韦达定理，结合三角形的面积公式，即可得出结论．【解答】解：设直线方程为x=my+2m，代入y2=16x可得y2﹣16my﹣32m=0，∴y1+y2=16m，y1y2=﹣32m，∴（y1﹣y2）2=256m2+128m，∵y12﹣y22=1，∴256m2（256m2+128m）=1，∴△OAB（O为坐标原点）的面积为|y1﹣y2|=．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质、直线和抛物线的位置关系的综合运用，注意抛物线性质的灵活运用，是中档题．9.函数在上的最大值是(▲)A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：C略10.某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有（

）A.12种 B.24种 C.36种 D.72种参考答案：C试题分析：由题意可知，从4人中任选2人作为一个整体，共有种，再把这个整体与其他3人进行全排列，对应3个活动小组，有种情况，所以共有种不同的报名方法，故选C.考点：排列、组合中的分组、分配问题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中,角A、B、C的对边分别为，已知,则下列结论正确的是

(1)一定是钝角三角形；

(2)被唯一确定；(3)sinA:sinB:sinC=7:5:3；

(4)若b+c=8，则的面积为。参考答案：(1)(3)12.已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=__________．参考答案：考点：分段函数的应用．专题：计算题．分析：判断的范围代入相应的解析式求值即可解答：解：∵2+log23＜4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）==故应填点评：本题考查分段函数求值及指数对数去处性质，对答题者对基本运算规则掌握的熟练程度要求较高13.已知函数的定义域为A，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是

．参考答案：略14.在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴所围成的面积是．参考答案：215.如图，已知是椭圆

的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为

▲

参考答案：16.如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为，那么△ABC的面积是．参考答案：6π【考点】模拟方法估计概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，先试验发生包含的所有事件是三角形的面积S，然后求出阴影部分的面积，代入几何概率的计算公式即可求解．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积S，阴影部分的面积S1=π22=2π．点P落在区域M内的概率为P==．故S=6π，故答案为：6π．17.定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．参考答案：﹣3＜m≤【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【分析】函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．由x3+mx=?x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．又1?（﹣1，1）∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即?﹣3＜m≤．?＜m≤∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤．故答案为：﹣3＜m≤．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n﹣an（n∈N*）．（1）求a1，a2，a3，a4的值；（2）猜想an的表达式，并加以证明．参考答案：考点：归纳推理．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据Sn=2n﹣an，利用递推公式，分别令n=1，2，3，4，求出a1，a2，a3，a4，（2）由（1）猜想（n∈N*）．利用an=Sn﹣Sn﹣1，整理出an的递推式，进而构造等比数列{an﹣2}中求出an．解答：解：（1）因为Sn=2n﹣an，Sn=a1+a2+…+an，n∈N*（1分）所以，当n=1时，有a1=2﹣a1，解得；

（2分）当n=2时，有a1+a2=2×2﹣a2，解得；

（3分）当n=3时，有a1+a2+a3=2×3﹣a3，解得；

（4分）当n=4时，有a1+a2+a3+a4=2×4﹣a4，解得．（5分）（2）猜想（n∈N*）

（9分）由Sn=2n﹣an（n∈N*），得Sn﹣1=2（n﹣1）﹣an﹣1（n≥2），（10分）两式相减，得an=2﹣an+an﹣1，即（n≥2）．（11分）两边减2，得，（12分）所以{an﹣2}是以﹣1为首项，为公比的等比数列，故，（13分）即（n∈N*）．（14分）点评：本题主要考查数列递推关系式的应用，考查归纳推理及等比数列的通项公式．属于中档题．19.(本小题共12分)设的内角、、的对边分别为、、，且满足．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．参考答案：（1）（2）（1）∵，所以，∵，∴．∴．∴．在△中，．∴，．（2）∵，．

∴∴，当且仅当时取“=”，∴三角形的面积．∴三角形面积的最大值为．20.（本小题满分12分）已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x2－x＋a.(1)当a＝2时，求函数y＝g(x)在[0,3]上的值域；(2)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>－成立.参考答案：(1)∵g(x)＝(x－1)2＋，x∈[0,3]，当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝；当x＝3时，g(x)max＝g(3)＝，故g(x)在[0,3]上的值域为[，].(2)f′(x)＝lnx＋1，当x∈(0，)，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增.①0<t<t＋2<，t无解；②0<t<<t＋2，即0<t<时，f(x)min＝f()＝－；③≤t<t＋2，即t≥时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tlnt；所以f(x)min＝.(3)g′(x)＋1＝x，所以问题等价于证明xlnx>－(x∈(0，＋∞))，由(2)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－，当且仅当x＝时取到；设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，易得m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到，从而对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>－成立.21.是否存在常数a、b，使等式对一切都成立？Ks**5u参考答案：存在，用数学归纳法证明。略22.已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）当时，求函数