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河南省商丘市涧岗乡联合中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.如右图,已知一个锥体的正(主)视图,侧(左)视图和俯视图均为直角三角形,且面积分别为3,4,6,则该锥体的体积为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D2.已知函数在区间上不存在极值点,则的最大值是(
)A.1
B.2
C.3
D.4参考答案:C略3.下列说法错误的是(
)
A.若命题,则;B.若命题,,则“”为假命题.;C.命题“若,则”的否命题是:“若,则”;D.“”是“”的充分不必要条件参考答案:D略4.已知椭圆,过椭圆的右焦点且与轴垂直的直线交椭圆于两点,设椭圆的左焦点,若为正三角形,则此椭圆的离心率为(
)A. B. C. D.参考答案:C5.不等式的解集是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D略6.对于非零向量a,b,“a+2b=0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案:A7.已知,函数,下列四个命题:①f(x)是周期函数,其最小正周期为2π;②当时,f(x)有最小值;③是函数f(x)的一个单调递增区间;④点是函数f(x)的一个对称中心.正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3参考答案:D【考点】9R:平面向量数量积的运算;2K:命题的真假判断与应用.【分析】利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式可得:函数=+2.再利用三角函数的图象与性质即可判断出正误.【解答】解:∵函数====+2.对于①:函数f(x)的周期为,∴①为错误的;对于②:当时,f(x)取得最小值,此时,即,当k=0时,,∴②为正确的;对于③:令,解得,∴函数f(x)的增区间为,当k=﹣1时,函数f(x)的增区间为,∴③为正确的;对于④:令=kπ(k∈Z),解得,∴函数f(x)的对称中心为,当k=0时,得点是函数f(x)的一个对称中心,∴④为正确的.综上所述,②③④是正确的命题.故选:D.【点评】本题考查了数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质,考查了数形结合的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f()=0,则不等式f(logx)>0的解是(
)(A)(,1)
(B)(2,+∞)
(C)(0,)∪(2,+∞)
(D)(,1)∪(2,+∞)参考答案:C9.已知定义在R上的函数满足,当时,,若函数的零点个数为
(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D10.若A(-2,3),B(3,-2),C(,m)三点共线,则m的值()A、
B、
C、-2
D、2w参考答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设(是两两不等的常数),则的值是____________
参考答案:012.
参考答案:13.有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直;③异面直线a、b不垂直,那么过a的任一个平面与b都不垂直.其中正确命题的个数为
参考答案:3略14.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是
.(请用分数表示结果)
参考答案:15.已知圆方程为:,圆的方程为:,动圆M与外切且与内切,则动圆圆心M的轨迹方程是_________________参考答案:16.函数的定义域为_______________参考答案:[-2,2)【分析】根据函数成立的条件,列出不等式,即可求出函数的定义域。【详解】要使函数有意义,则,解得:,故函数的定义域为【点睛】本题主要考查函数定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件,属于基础题。17.凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系如下表.凸多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569长方体6812五棱柱71015三棱锥446四棱锥558
猜想一般结论:F+V-E=____.参考答案:2【分析】根据前面几个多面体所满足的结论,即可猜想出【详解】由题知:三棱柱:,则,长方体:,则,五棱柱:,则,三棱锥:,则四棱锥:,则,通过观察可得面数、顶点数、棱数的关系为。【点睛】本题由几个特殊多面体,观察它们的面数、顶点数、棱数,归纳出一般结论,着重考查归纳推理和凸多面体的性质等知识,属于基础题。三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)如图,边长为4的正方形ABCD中,(1)点E是AB的中点,点F是BC的中点,将,分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点.求证:.(2)当时,求三棱锥的体积.
参考答案:(1)证明:∵
∴
∴为面内两相交直线∴面EF面∴……——……——……6分(2)解:(H为EF的中点)
∴∴∴……………12分
19.(12分)设函数?(x)=x2ex-1+ax3+bx2,已知x=-2和x=1为?(x)的极值点.(1)求a和b的值(2)讨论?(x)的单调性;(3)设g(x)=x3-x2,试比较?(x)与g(x)的大小.参考答案:解:(1)因为?′(x)=ex-1(2x+x2)+3ax2+2bx=xex-1(x+2)+x(3ax+2b),又x=-2和x=1为?(x)的极值点,所以?′(-2)=?′(1)=0,因此-6a+2b=0,3+3a+2b=0,解得方程组得a=-,b=-1.(2)因为a=-,b=-1所以?′(x)=x(x+2)(ex-1-1),令?′(x)=0,解得x1=-2,x2=0,x3-=1.因为当x∈(-∞,-2)∪(0,1)时,?′(x)<0;当x∈(-2,0)∪(1,+∞)时,?′(x)>0.所以?(x)在(-2,0)和(1,+∞)上是单调递增的;在(-∞,-2)和(0,1)上是单调递减的.(3)由(1)可知?(x)=x2ex-1-x3-x2,故?(x)-g(x)=x2ex-1-x3=x2(ex-1-x),令h(x)=ex-1-x,则h'(x)=ex-1-1.令h'(x)=0,得x=1,因为x∈(-∞,1)时,h'(x)<0所以h(x)在x∈(-∞,1]上单调递减.故x∈(-∞,1]时,h(x)≥h(1)=0.因为x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,所以h(x)在x∈[1,+∞﹚上单调递增。故x∈[1,+∞)时,h(x)≥h(1)=0.所以对任意x∈(-∞,+∞),恒有h(x)≥0,又x2≥0,因此?(x)-g(x)≥0,故对任意x∈(-∞,+∞),恒有?(x)≥g(x).略20.(本小题满分12分)已知过点且斜率为的直线与圆C:相交于两点。(1)求实数的取值范围;(2)若O为坐标原点,且,求直线的方程.参考答案:(本小题满分10分)已知过点且斜率为的直线与圆C:相交于两点。(1)求实数的取值范围;(2)若O为坐标原点,且,求直线的方程.解:(1)设过点的直线方程:,即:。………2分已知,圆C的圆心C:(2,3),半径R=1。故,解得:,。Ks5u此时,当时,过点的直线与圆C:相交于两点。
……………4分(2)设圆C上两点,,经过M、N、A的直线方程:,(,),圆C:。由已知条件,可列:,
……………①,
……………②,
……………③,
……………④①
-②:,即:
……………⑤由④和⑤得,,
……………⑥解之为,,。恰好为(2,3),即为圆心C。
……………8分故,直线的方程为:,写成一般式为:。……………10分略21.(本小题满分12分)设分别是椭圆的左,右焦点。(1)若是第一象限内该椭圆上的一点,且·=求点的坐标。(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且为锐角(其中O为坐标原点),求直线的斜率的取值范围。参考答案:(Ⅰ)易知。,联立,解得,(Ⅱ)显然可设联立
由
22.已知曲线x2+y=8与x轴交于A,B两点,动点P与A,B连线的斜率之积为.(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)MN是动点P轨迹C的一条弦,且直线OM,ON的斜率之积为.求的最小值.参考答案:【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)由已知曲线方程求出A,B的坐标,设P(x,y),结合kAPkBP=列式求得动点P的轨迹C的方程;(2)设直线MN的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线方程与椭圆方程,由根与系数的关系结合直线OM,ON的斜率之积为可得m与k的关系,进一步求出的范围得答案.【解答】解:(1)在方程x2+y=8中令y=0得:x=
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