湖南省衡阳市红桥中学高二数学理联考试卷含解析

湖南省衡阳市红桥中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量＝(1,2)，＝(x，－4)，若∥，则(

)A．4

B．－4 C．2 D．参考答案：D2.右图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积(

)A．

B.

C.

D.参考答案：D3.f（n）=+…则（）A．f（n）中有n项，且f（2）=+B．f（n）中有n+1项，且f（2）=++C．f（n）中有n2+n+1项，且f（2）=++D．f（n）中有n2﹣n+1项，且f（2）=++参考答案：D【考点】RG：数学归纳法．【分析】根据各项分母的特点计算项数，把n=2代入解析式得出f（2）．【解答】解：f（n）中的项数为n2﹣n+1，f（2）=．故选D．4.已知是成立的充分条件，则正实数的取值范围是（）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.以下给出的是计算的值的一个程序框图，如右图所示，其中判断框内应填入的条件是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A6.若复数，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

参考答案：D略7.在等比数列{an}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，则a2的值为（）A．2 B．3 C．4 D．9参考答案：B【考点】等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，可得=9，=27，两式相除可得答案．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，由题意可得a3a6===9，①a2a4a5===27，②可得a2=3故选B8.已知（x2﹣3x+1）5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+a3+…+a10=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．0参考答案：C【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，令x=0，可得a0=1，令x=1，可得a0+a1+a2+a3+…+a10=﹣1，由此求得a1+a2+a3+…+a10的值．【解答】解：由于（x2﹣3x+1）5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，令x=0，可得a0=1，令x=1，可得a0+a1+a2+a3+…+a10=﹣1，∴a1+a2+a3+…+a10=﹣2，故选：C．9.已知函数，则的大小关系是(

)A、

B、C、

D、参考答案：B略10.命题“若AB，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A．4B．0C．2D．3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线

存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是

参考答案：略12.不等式的解集为

参考答案：略13.已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为

.参考答案：＝1略14.过四面体的一条底边的平面把正四面体的体积自上而下分成m，n两部分，则此平面与正四面体的底面夹角的余切值等于_________。参考答案：15.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为

参考答案：3略16.集合有8个子集，则实数a的值为

参考答案：17.在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则

参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)已知曲线，直线．（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点在曲线上，求点到直线的距离的最小值．参考答案：（1）；（2）19.在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2）．定义：dα(A，B)=，其中α∈R+（R+表示正实数）．（Ⅰ）设A（1，1），B（2，3），求d1（A，B）和d2（A，B）的值；（Ⅱ）求证：对平面中任意两点A和B都有d2(A，B)≤d1(A，B)≤d2(A，B)；（Ⅲ）设M（x，y），O为原点，记Dα={M(x，y)|dα(M，O)≤1，α∈R+}．若0＜α＜β，试写出Dα与Dβ的关系（只需写出结论，不必证明）．参考答案：【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（Ⅰ）dα（A，B）的定义代入即可得出．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则d1（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，．通过计算展开即可证明．（Ⅲ）Dα?Dβ真子集．任取（x0，y0）∈Dα，．对x0，y0分类讨论，即可证明．【解答】（Ⅰ）解：d1（A，B）=|1﹣2|+|1﹣3|=3，d2（A，B）===．（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则d1（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，．=．=．所以d2（A，B）≤d1（A，B）成立．因为，所以===．所以成立．（Ⅲ）Dα?Dβ真子集．证明如下：任取（x0，y0）∈Dα，．当x0=1，y0=0时，dα（M，O）=0，dβ（M，O）=0，此时Dα?Dβ．当|x0|=1，|y0|=0时，，dβ（M，O）=1．此时Dα?Dβ．同理可得，当|x0|=0，|y0|=1时，Dα?Dβ．当|x0|≠1，|y0|≠1时，因为，所以．又因为0＜α＜β，所以．此时Dα?Dβ．反之不成立．所以Dα?Dβ．【点评】本题考查了新定义、集合之间的关系、两点之间的距离公式、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【分析】（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案．【解答】解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：21.如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1⊥CE；（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求．【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（Ⅱ）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（Ⅲ）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量