河南省许昌市第十八中学2022年高二数学理摸底试卷含解析

河南省许昌市第十八中学2022年高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 （ ）A． B． C． D．参考答案：C略2.设动直线与函数，的图像分别交于M，N，则的最小值为（

）A. B. C. D.参考答案：A分析：将两个函数作差，得到函数，再求此函数的最小值，即可得到结论.详解：设函数，，令，函数在上为单调减函数；令，函数在上为单调增函数，时，函数取得最小值.故所求|MN|的最小值即为函数y的最小值：.故选：A.点睛：本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值.3.，，动点满足，则点的轨迹方程是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：B4.在△ABC中，∠A=60°，，，则△ABC解的情况（） A．无解 B．有唯一解 C．有两解 D．不能确定参考答案：B【考点】正弦定理． 【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值． 【分析】根据正弦定理，结合题中数据解出sinB，再由∠B+∠C=180°﹣∠A=120°，得出B＜120°，所以∠B=30°，从而∠C=90°．由此可得满足条件的△ABC有且只有一个． 【解答】解：∵△ABC中，∠A=60°，a=，b=， ∴根据正弦定理，得sinB===， ∵∠A=60°，得∠B+∠C=120° ∴由sinB=，得∠B=30°，从而得到∠C=90° 因此，满足条件的△ABC有且只有一个． 故选：B． 【点评】本题给出三角形ABC的两条边的一个角，求满足条件的三角形个数．着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题． 5.抛物线

的准线方程是(

）.A．

B.

C．

D.参考答案：C略6.，则（

）A.0 B.－1 C.1 D.参考答案：C【分析】由赋值法令，解得，令，解得再由平方差公式计算可得解.【详解】解：令，解得，令，解得，又=（）（）==，故选C.【点睛】本题考查了二项式定理及赋值法求展开式系数的和差，属基础题.7.设，则关于的方程在上有两个零点的概率为(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：B8.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】要注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提．【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∵A＞30°，∴30°＜A＜180°，∴0＜sinA＜1，∴可判断它是sinA＞的必要而不充分条件．故选：B．9.若，则复数在复平面上对应的点在A.第一象限

B.第二象限

C.

第三象限

D.第四象限参考答案：D10.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线与椭圆的中心在原点，其公共焦点在轴上，点是在第一象限的公共点．若，的离心率是，则双曲线的渐近线方程是

．参考答案：12.定积分等于______．参考答案：分析：先根据定积分的几何意义求出，再根据定积分计算出的值，即可求解结果．详解：因为表示以为圆心，以为半径的圆的四分之一，所以，所以．点睛：本题主要考查了定积分的几何意义及微积分基本定理的应用，其中熟记定积分的几何意义和微积分基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．13.某射手射击所得环数X的分布列如图：X78910P0.10.3y

已知X的均值，则y的值为__________．参考答案：0.4.【分析】由概率的性质得到，再由期望得到的关系式，两式联立，即可得出结果.【详解】由题中分布列，根据概率的基本性质可得，又的均值，所以，即，由，解得.故答案为0.4【点睛】本题主要考查根据分布列与期望求参数，熟记概念即可，属于常考题型.14.大家知道：在平面几何中，的三条中线相交于一点，这个点叫三角形的重心，并且重心分中线之比为2∶1（从顶点到中点）．据此，我们拓展到空间：把空间四面体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线，则四条中轴线相交于一点，这点叫此四面体的重心．类比上述命题，请写出四面体重心的一条性质：________．参考答案：15.已知且，则实数a的取值范围是▲

．参考答案：在同一个坐标系中，画出函数的图像，函数的图像，之后上下平移的图像，根据题意，要求的图像落在的下方的部分横坐标的取值范围要求是的子集，经过观察可以发现，在移动的过程中，当时，两曲线都过，就不能再往上移动了，可以无下限的往下移动，所以实数的取值范围是.

16.函数的单调递增区间是_________________.

参考答案：略17.已知条件p:x≤1，条件q：<1，则p是q的

条件参考答案：充分不必要略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，其中a为常数．(1)若a=0，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在(0,－a)上单调递增，求实数a的取值范围．参考答案：（1）当时：的定义域为

令，得当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，的极大值为，无极小值。（2）上单调递增在上恒成立。只需在上恒成立在上恒成立令则令，则：①若即时在上恒成立在上单调递减，这与矛盾，舍去②若即时当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，有极小值，也是最小值，综上19.已知函数f（x）=k（x﹣1）ex+x2．（Ⅰ）当时k=﹣，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围；（Ⅲ）当k≤﹣l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）k=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）ex+x2，得f′（x）=x（2﹣ex﹣1），从而求出函数f（x）在（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）f′（x）=kx（ex+）＜x2+（k+2）x，即：kxex﹣x2﹣kx＜0，令h（x）=kex﹣x﹣k，讨论当k≤0时，当0＜k≤1时，当k＞1时，从而综合得出k的范围；（Ⅲ）f′（x）=kx（ex+），令f′（x）=0，得：x1=0，x2=ln（﹣），令g（k）=ln（﹣）﹣k，则g′（k）=﹣﹣1≤0，得g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，讨论当﹣2＜k≤﹣1时，当k=﹣2时，当k＜﹣2时的情况，从而求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）k=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）ex+x2，∴f′（x）=x（2﹣ex﹣1），∴f′（1）=1，f（1）=1，∴函数f（x）在（1，1）处的切线方程为y=x，（Ⅱ）f′（x）=kx（ex+）＜x2+（k+2）x，即：kxex﹣x2﹣kx＜0，∵x＜0，∴kex﹣x﹣k＞0，令h（x）=kex﹣x﹣k，∴h′（x）=kex﹣1，当k≤0时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，当0＜k≤1时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，当k＞1时，h（x）在（﹣∞，﹣lnk）递减，在（﹣lnk，0）递增，∴h（﹣lnk）＜h（0）=0，不合题意，综上：k≤1．（Ⅲ）f′（x）=kx（ex+），令f′（x）=0，解得：x1=0，x2=ln（﹣），令g（k）=ln（﹣）﹣k，则g′（k）=﹣﹣1≤0，g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，∴x2=ln（﹣）＞k，当﹣2＜k≤﹣1时，x2=ln（﹣）＞0，f（x）的最小值为m=min{f（0），f（1）}=min{﹣k，1}=1，当k=﹣2时，函数f（x）在区间[k，1]上递减，m=f（10=1，当k＜﹣2时，f（x）的最小值为m=min{f（x2），f（1）}，f（x2）=﹣2[ln（﹣）﹣1]+[ln（﹣）]2=﹣2x2+2＞1，f（1）=1，此时m=1，综上：m=1．20.已知椭圆C：(a>b>0)的焦点在圆x2+y2=3上，且离心率为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，F为右焦点，若△FAB为直角三角形，求直线l的方程.参考答案：解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x轴上，所以焦点为圆x2+y2=3与x轴的交点，即，.所以.又离心率，所以a=2.故所求椭圆方程为.

4分（Ⅱ）当△FAB为直角三角形时，显然直线l斜率存在，可设直线l方程为y=kx，设A(x1,y1)，B(x2,y2).（ⅰ）当FA⊥FB时，，.由消y得(4k2+1)x2-4=0.则x1+x2=0，.解得.此时直线l的方程为.

8分（ⅱ）当FA与FB不垂直时，根据椭圆的对称性，不妨设.所以解得所以此时直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.

13分21.设函数.（1）若求的极小值；

（2）在（1）的结论下，是否存在实常数k和m，使得同时成立？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．（3）设有两个零点x1和x2，若，试探究值的符号．参考答案：22.在正项等比数列{an}中，a1=4，a3=64．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）记bn=log4an，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）记y=﹣λ2+4λ﹣m，对于（2）中的Sn，不等式y≤Sn对一切正整数n及任意实数λ恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】数列与不等式的综合；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由a1=4，a3=64可求公比，根据等比数列的通项公式可得数列{an}的通项公式；（2）由于bn=log4an=n，所以数列{bn}是首项b1=1，公差d=1的等差数列，故可求和；（3）先求得Sn取得最小值Smin=1，要使对一切正整数n及任意实数λ有y≤Sn恒成立，即﹣λ2+4λ﹣m≤1，分离参数得m≥﹣λ2+4λ﹣1恒成立，故可求参数的范围．【解答】解：