2022-2023学年广东省东莞重点学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省东莞重点学校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数z满足金=2-i,则£=（）

A.4-3iB.4+3iC.3-4iD.3+4i

2.在△4BC中，目知a=U，b=C，B=60°,则角4等于（）

A.45°B,135°C.45°或135°D,60°或120°

3.某学校高一年级有300名男生,200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，

抽取总样本量为50,男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级

学生的数学平均成绩约为（）

5.设。为△ABC所在平面内一点反;=3方，贝立）

A.AD=^AB+^ACB.AD=^AB-^AC

C.AD=1AB-^ACD.AD=-1AB+^AC

6.己知向量日=（1,0）,b-（2,1）-则向量益在向量3方向上的投影向量为（）

A.（等怜B.（|,0）C,（Y，—|）D.6|）

7.己知一个直三棱柱的高为1,如图，其底面AABC水平放

置的直观图（斜二测画法）为4A'B'C,其中00=0®=

O'C'=1,则该三棱柱的表面积为（）

A.6+2/7

B'0'

B.6+4「

C.6+2仁

D.6+4门

8.在《九章算术少中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖蠕.在鳖腐4-BCD中ABJL

平面BCD,BC1CD,且4B=BC=CO=2,则鳖腌4一BCD外接球的表面积为（）

A.y7TB.67rC.12TTD.167r

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.设直线m,n是两条不同的直线，a,。是两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（）

A.若m〃a,n〃£,mln,则a1/?

B.若m〃a,n〃夕，m//n,则。〃£

C.若m_La,n1/?,m//n,则a〃夕

D,若m_La,m,n不平行，贝Un与a不垂直

10.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A.i+i2+i3+14=0

B.2+i>1+i

C.若z=（l-2i）2,则z在复平面内对应的点位于第四象限

D.若1+是虚数单位）是关于x的方程产+px+q=0的根，则pq=-4

11.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生.随机询问了该班5名男生和5名女生在

某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,5名女生的成绩分别

为88,93,93,88,93,下列说法一定正确的是（）

A.这种抽样方法是分层抽样

B.这5名男生成绩的20%分位数是87

C.这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差

D.该班男生成绩的平均数一定小于该班女生成绩的平均数

12.在△4BC中，内角力，B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（）

A.若A>B,一定有>sinB

B.若。2+62一©2<0,那么△ABC一定是钝角三角形

C.一定有bcosC+ccosB=a成立

D.若acosA=bcosB,那么△4BC一定是等腰三角形

三、填空题（本大题共4小题，共20.（）分）

13.总体是由编号为01,02,…，29,30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,

选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出

78161572080263150216431997140198

来的第5个个体的编号为.

32049234493682003623486969387181

14.已知向量d=（1,2）,另=（4,k）.若（2五一尤）〃（2五+石），则实数k的值为

15.和谐钟塔位于江西省赣州市章贡区赣州大桥东岸引桥南

侧，有四个直径达12.8米的钟面.小赵同学经过和谐钟塔时，想

利用正弦定理的知识测量该钟塔的高度，他在该钟塔塔底B点

的正西处的C点测得该钟塔塔顶4点的仰角为30。，然后沿着东

偏南67。的方向行进了180.8m后到达。点（B,C,D三点处于同一

水平面），且B点在。点北偏东37。的方向上，则该钟塔的高度为

（参考数据：取sin53。=0.8）

16.如图，若正方体的棱长为2,点P是正方体4BCD-力道1（71。1的

上底面AB1C15上的一个动点（含边界），E,F分别是棱BC,AD1上

的中点，有以下结论：

①△P4E在平面CDCiG上的投影图形的面积为定值；

②平面4EF截该正方体所得的截面图形是五边形；

@\PE\+|PF|的最小值是

④若保持|EP|=2。，则点P在上底面内运动路径的长度为学.

其中正确的是—.（填写所有正确结论的序号）

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知复数Zi=1—ai,z2=2a+3i（ae/?）.

（1）若Z1Z2是纯虚数，求|Zi+Z2|的值；

（2）若复数式在复平面内对应的点在直线y=5x±,求a的值.

18.（本小题12.0分）

2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举

行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某校为了提

高学生对体育运动的兴趣，举办了一场体育知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次

答题活动.为了解本次比赛的成绩，从中抽取了100名学生的得分进行统计，所有学生的得分

都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组［60,70),第二组［70,80),第三组

［80,90),第四组［90,100］(单位：分)，得到如下的频率分布直方图.

(1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动学生得分的中位数；

(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行

奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖.(以每组中点作为该组数据的代表)

19.(本小题12.0分)

已知平面向量入b^，满足，闷=1，〜=2,c=ta+b(te/?).

⑴若向量心石的夹角为今且313求t的值；

(2)若团的最小值为C，求向量出族的夹角大小.

20.(本小题12.0分)

已知△ABC的内角力，B,C的对边分别为a,b,c,向量沆=(b-2c,a),亢=(cos4cosB),

且沅1n.

(1)求角4

(2)若△ABC的周长为3q，且△力BC外接圆的半径为1,判断△ABC的形状，并求△力BC的

面积.

21.(本小题12.0分)

如图，已知三角形P'48是等腰三角形，P'4=AB=2,P'ALAB,C,D分别为P'B,P'4的

中点，将△P'CD沿CD折到△PCD的位置如图2,且24=，9，取线段PB的中点为E.

(1)求证：CE〃平面PAD；

⑵求点B到面4CE的距离.

图1图2

22.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P-4BCD中,PAJL平面ABCO/BAD=乙BCD=^,AB=BC=1,PA=BD=2.

过点作直线AB的平行线交4D于F,G为线段PD上一点.

(1)求证：平面PAD_L平面CFG；

(2)求平面PBC与平面PDC所成二面角的余弦值.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：因为z=(1+21)(2-i)=4+3i,

所以£=4-3i.

故选：A.

根据复数的乘法运算求得z,再求z的共轨复数.

本题主要考查复数的四则运算，以及共朝复数的定义，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：•••在△力BC中，已知a=71,b=B=60°,

•••由正弦定理可得乌=二』

sinAstn60

解得sinA=?

再根据a<b,可得A<B,

故4=45°,

故选：A.

由正弦定理求得sin4=殍.再根据a<b,可得4<8,由此求得4的值.

本题主要考查正弦定理的应用，大边对大角，根据三角函数的值求角，属于中档题.

3.【答案】C

【解析】解：由题意，应抽取男生50x右鹄5=30（人）,

O\J\JI41UU

应抽取女生5°x凝5=2。（人），

所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为I?。'察祟X20=116（分）.

故选：C.

根据分层抽样求出应抽取男生和女生的人数，求出平均数即可.

本题考查平均数的定义，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：如图，连接48，BD,

由正方体的结构特征可知，A\B“DiC,

••・异面直线直线与BiC所成的角为4B4D,

为等边三角形，

•••4BaD=宗

故选：C.

由&B〃D】C,得异面直线4D与AC所成的角为由△B4D为等边三角形，即可求出异面

直线40与DiC所成的角.

本题考查两异面直线所成角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，是基础题.

5.【答案】D

【解析】解：如图，AD=AC+CD=AC+^BC=AC+^（BA+AC）

市v万,

分析：本题考查向量的线性运算及平面向量基本定理，属于中档题.

6.【答案】D

【解析】解：vH=(1,0),b=(2,1)»

.•.五•方=2，\b\=V22+I2=V-5-

・响量,在向量3方向上的投影向量为管xX=

故选：D.

根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解.

本题主要考查向量的投影公式，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：由斜二测画法还原底面平面图如图所示，

其中。4=20B=20C=2,

所以AB=AC=

所以此直三棱柱的底面积为:x2x2=2,高为1,

故直三棱柱表面积为S=2X2+（2+2/亏）x1=6+2，亏.

故选：C.

根据斜二测画法还原底面平面图，然后由直三棱柱的表面积公式可解.

本题考查了三棱柱的表面积公式，属基础题.

8.【答案】C

【解析】解：如图，取4。的中点为。，连接8。，CO,

A

因为力BJ■平面BCD,BDu平面8M故AB1BD,

同理4B1CD,

因为40的中点为。，故。4=。8=。£）,

而BC1C0,BCCtAB=B,BC,48u平面4BC,故BCL平面ABC,

而力Cu平面4BC,故CZXLAC,

故0C=。。，所以。为三棱锥4—BCD外接球的球心，

又AB=BC=CD=2,故B0=2/7,所以4。=V4+8=2/3,

故三棱锥4-BCD外接球半径为「，故其外接球的表面积为127r.

故选：C.

取AD的中点为。，连接B。，CO,可证。为三棱锥A-BCD外接球的球心，故可求外接球的表面积.

本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题.

9.【答案】CD

【解析】解：若m〃a,n"B，mln,则a〃6或a与0相交，故A错误；

若m〃a,n//p,m//n,则a〃/?或a与夕相交，故B错误；

若7nl.a,m//n,则n_La,又n工0,则《!〃0，故C正确；

若mla,m,n不平行，贝加与a不垂直，否则，m与n平行，故。正确.

故选：CD.

由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思

维能力，是基础题.

10.【答案】AD

【解析】解：对于4i+i2+i3+i4=i-l-i+l=0,故A正确；

对于8,虚数不能比较大小，故B错误;

对于C,z=(1-2i)2=-3-4t,

则z在复平面内对应的点(-3,-4)位于第三象限，故C错误；

对于O,1+i(i是虚数单位)是关于x的方程/+px+q=o的根，

则1-i也是关于％的方程M+px+q=0的根，

故｛；1；0(11：)二:'解得P=-2,q=2,

故pq=-4,故£＞正确.

故选：AD.

根据己知条件，结合复数的四则运算，虚数不能比较大小，以及复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

II.【答案】BC

【解析】解：由于抽样比不同，故不是分层抽样，故A错误，

5名男生成绩的20%分位数是殁西=87,故8正确，

5名男生成绩的平均数为,x(86+94+88+92+90)=90,

5名女生成绩的平均数为4x(88+93+93+88+93)=91,

5名男生成绩的方差为或=1x(16+16+44-4+0)=8,

5名女生成绩的方差为登=1x(9+4+4+94-4)=6,

由于从这五名学生的成绩得不出该班的男生成绩和女生成绩的平均分，故C正确，。错误.

故选：BC.

根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及平均数、百分位数和方差的公式及样本与总体的关系

逐项判断即可.

本题主要考查统计的知识，属于基础题.

12.【答案】ABC

【解析】解：对4选项，,.•/>8<=>a>b=s讥力,sinB,4选项正确；

对3选项，丁M+/—c2V0,・•.cos。V0,，。为钝角，・•・8选项正确；

对C选项，1s讥/=sin(B+C)=sinBcosC4-cosBsinC,

・•.由正弦定理可得a=bcosC+ccosB,・•.C选项正确；

对。选项，vacosA=bcosB,

，由正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB,

・•・sin2A=sin2B,・••2A=28或2/+2B=兀，

・•・A=B或4+8=],.•.。选项错误.

故选：ABC.

根据三角形的性质，正弦定理，三角函数公式，解三角方程，即可分别求解.

本题考查解三角形问题，正弦定理与三角函数公式的应用，三角方程的求解，属中档题.

13.【答案】19

【解析】解：随机数表第1行的第5列和第6列数字为15,则选取的5个个体依次为：15,08,02,

16,19,故选出来的第5个个体的编号为19.

故答案为：19.

根据随机数表选取编号的方法求解即可.

本题考查随机数表选取编号的方法，属于基础题.

14.【答案】8

【解析】解：由题意可知2寸一石=(一2,4—k),2五+1=(6,4+£)，

由(2五一1)〃(2五+1)可得-2(4+k)=6(4—k)=>fc=8.

故答案为：8.

根据向量的坐标运算，结合平行满足的坐标关系即可求解.

本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题.

15.【答案】113

【解析】解：如图，

乙BCD=67°,4CDB=90°-67°+37°=60°,则NCBD=180°-60°-67°=53°.

屈丁什生ImBCCD4日八「CDsinZ.CDB180.8s沅60°

由正弦定理...,得BC=.=—,+，

s\nz.CDBsin乙/CraBrDs\nz.CBDstn53

rrpi»DG,DC。180.8sin60°ono180.8(1々

所以48D=BC-tan30°=———tan30=-r7-=1137n.

si"531.6

故答案为：113.

先利用正弦定理求出BC,再求出力B.

本题主要考查解三角形，正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题

16.【答案】①③④

【解析】解：对于①，由于△PAE在平面CDDiG上的投影图形为底为2,高为2的三角形,

则投影图形的面积为定值2,故①正确；

对于②，如图，取CC1的四等分点M,

则EM〃4F,平面AEF截该正方体所得的截面图形是4EMF,为四边形，故②错误;

对于③，如图，延长尸为，使得FDi=DiN,连接EN交上底面于点P,

则|PE|+\PF\=\PE\+\PN\=\EN\,

当E,P,N三点共线时，其和最小为EN,且ED=C，ND=3,

EN=VED2+ND2=<14-即|PE|+|P用的最小值是诵，故③正确;

④建立如图所示的空间直角坐标系，

则E(l,2,0),P(x,y,2),

由|EP|=2V7,得(x-1)2+(y—2)2+22=(2<7)2,

化简得圆0：0—1)2+(y-2)2=4,如图，

点P在上底面内运动路径的长度为劣弧记为I,

VHI=0H=01=2,

:'乙HOI=(则/=//?=卜2=给故④正确.

•5O0

故答案为：①③④.

根据正方体的性质，结合题意作出对应的图形，逐项进行分析验证即可判断.

本题考查简单儿何体的结构特征以及命题的真假判断，考查逻辑推理能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为Z1Z2=(1-ai)(2a+3i)=5a+(3—2a2)i,

要使Z1Z2是纯虚数，需满足5a=0,3-2a20,解得a=0,

所以ZI—1,z2=3i.|Z］+z2|=114-3iI=V_10•

(2)因为言=鬻=士鬻包所以复数日在复平面内对应的点为(品,需)，

又因为复数搂在复平面内对应的点在直线y=5x.h,

所以黠=5义急丁

整理得2a2+5a+3=0.解得a=-1或a=-|.

故a的值为—1或-

【解析】(1)求得Z1Z2=5a+(3-2a2)i,根据纯虚数的定义求得a=0,再根据模长公式求解即

可；

(2)求得攵=_。+(工+3)i,从而可得与?=5XS，求解即可.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由频率分布直方图知：0+0.03+0.04+0.02)x10=1,解得m=0.01,

设此次竞赛活动学生得分的中位数为因数据落在［60,80)内的频率为0.4,落在［60,90)内的频

率为0.8,

从而可得80<x0<90,由(%。—80)X0.04=0.1W：x0=82.5,

所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5.

(2)由频率分布直方图及(1)知：数据落在[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的频率分别为:

0.1,0.3,0.4,0.2,

x=65x0.1+75x0.3+85x0.4+95x0.2=82，

此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为0.2+^0.4=0.52,

则1000x0.52=520,

所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82,在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖.

【解析】(1)根据频率和为1可求m,利用频率为0.5时对应的横坐标可得中位数；

(2)利用区间中点值估计平均数，结合得分不低于平均数的频率可得获奖人数.

本题考查频率分布直方图的性质、中位数、概率等基础知识，考查数据分析能力，属于基础题.

19.【答案】解：(1)依题意，小«五+另)=0,

所以t五•K+&2=o»

则[五||1|cos^+I郎=0,

X|a|=l,\b\=2,

则t=-4；

(2)设入B夹角为。，

则IH五2+2tW•匕+3=t2+4cos0•t+4，

可知当£=-2cos。时，|口『有最小值4一4cos2。，

所以4-4COS2。=3,

解得cos。=

又ee[o,TT],

所以。号或""

【解析】(1)根据题意可得万•«方+尤)=o.展开计算即可得解；

(2)设出坂夹角为仇表示出|1|2,结合题意可得4-4COS2®=3,进而得解.

本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题.

20.【答案】解：(1)因为万J■元，所以(b—2c)cos/+acosB=0,

即2ccos4=acosB+bcosA.

由正弦定理得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA,

因为si几4cosB+sinBcosA=sin(4+8)=sinC,所以2s沅CcosA=sinC.

因为Ce(O,jr),所以sinC。。,所以cos4=g.

因为4€(0,〃)，所以4=泉

(2)设△ABC外接圆的半径为R,则R=1.

由正弦定理，得a=2RsinA=O.

因为△ABC的周长为3「，所以匕+C=2，3.

由余弦定理，得a?=b2+c2-2bccos^=(b+c)2-3bc,

即3=12—3bc,所以be=3.

则竹+c=2C0b=c=厂.

(be=3

所以△ABC为等边三角形，△ABC的面积S=|besinA=gx3x—=矢三

【解析】(1)由记五，可得2ccosA=acosB+bcosA,后由正弦定理结合sin。+B)=sinC即可

得答案；

(2)由(1),的周长为3「，且△ABC外接圆的半径为1,可得b+c=2「，

后由余弦定理可得be=3,解出b,c即可得答案.

本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)证明：取P4中点F,连接DF,EF,

•••E为PB的中点，则PE=EB,PF=FA,•••EF//AB,

EF=^AB,

又：C,。分别为P'B,P'4的中点，贝IJCO〃AB,CD=

\AB,

；.CD=EF,CD〃EF,.•.四边形CDEF为平行四边形,

图1图2

则CE〃尸D.

•••CE0平面PAD,FDu平面P4D,二CE〃平面PAD；

(2)由条件知：PA=V2-PD=AD=1,AB=2,BD=>J5,PD1DA,

5LPD±DC,ADODC=D,AD,DCa^ABCD,：.PDl^ABCD,

又BDu面ABC。，：.PD1BD,PB=V-6.

・•.△P4B为直角三角形，二4E=?;

vAC=AA_2.CE=DF=［，；♦△4EC为直角三角形.

S&4CE=1，SAABC=1，

点E到面ABC的距离为gPD=1

^E-ABC—§SAABC.'PD=不，

设点B到面4CE的距离为d,则/_ACE=yE-ABC'

11141亨

d即

-=-d

363-46-=

【解析】(1)取P4中点F,连接£>F,EF,证明四边形CDEF为平行四边形得CE〃FC,从而证得CE/

/平面P4D；

(2)等积转化法，由%TCE=求得点B到面力CE的距离.

本题考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，等体积法求解点面距问题，化归转化思想，属

中档题.

22.【答案】解：(1)证明：因为24,平面ABC。，ABu平面力BCD,

所以PA1AB,

因为/BAD=今

所以4B14。，

因为P4n4D=4,PA,力Du平面PAD,

所以4B1平面PA