线性代数（财经类） 课件 第四章 其它矩阵

§4.1

矩阵的特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量的性质目录Part1

特征值与特征向量特征值与特征向量注：1.阶方阵

的特征值，就是使齐次线性方程组定义1设

是

阶矩阵，如果数

和

维非零向量

使等式成立，则称数

为矩阵

的特征值，非零向量

称为矩阵

对应于特征值的特征向量.有非零解的值，满足方程的

都是

矩阵的特征值.特征值与特征向量2.称关于

的一元

次方程

为

的特征方程，称

的一元

次多项式

为

的特征多项式.特征值与特征向量特征向量的定义：设

为方阵

的一个特征值，则由齐次线性方程组

可求得非零解

，那么

就是

的对应于

的特征向量.若

是方程组

的基础解系，则

的对应于特征值

的特征向量的全体可以表示为

（

不同时为0）.特征值与特征向量综上所述，可给出求解n阶方阵A的特征值和特征向量的步骤：(1)求矩阵A的特征方程

的全部特征根(有重根)；(2)对每一个特征值

，求出齐次线性方程组的一个基础解系

，则属于特征值

的全部特征向量为其中

不同时为零

特征值与特征向量例1求矩阵

的特征值和特征向量.解矩阵的特征方程为

即

所以的特征值为

，

特征值与特征向量当

时，由齐次线性方程组

，即得基础解系

当

时，由齐次线性方程组

，即故

是矩阵

对应于

的全部特征向量.

得基础解系

故

是矩阵

对应于

的全部特征向量.

特征值与特征向量练习1求矩阵

的特征值和特征向量.答案：参照课本例2.

特征值与特征向量的性质性质1

阶矩阵

与它的转置矩阵

有相同的特征值.

性质2设

是

阶矩阵，则

其中

是

的全体

k阶子式的和.设

是

的

个特征值，则由

次代数方程的根与系数的关系知，有，

特征值与特征向量的性质性质3*设

是

阶矩阵，如果

或

有一个成立，则矩阵

的所有特征值

的模小于1，即

.

证用数学归纳法时，因为特征向量是非零向量，结论成立.设前个特征值对应得特征向量线性无关，欲证线性无关.定理1若

是

阶矩阵

的

个互不相等的特征值，并且

是与之对应的特征向量，则

线性无关.

特征值与特征向量的性质设有常数

，使得成立，用矩阵

左乘

式两端，由

整理得

由

式消去

得

由于

线性无关，

故

因为

特征值与特征向量的性质所以

于是

式化为

又因为

所以

，故

线性无关.

例2设

是方阵

的特征值，证明(1)是

的特征值；(2)当

可逆时，

是

的特征值；证

因为

是

的特征值，所以有

使得

，

(1)有

，因

，知

，故

，

是

的特征值；(2)有

，因

，知

，故

，

是

的特征值.特征值与特征向量的性质练习2设3阶矩阵

的特征值为1，-1，2，求

.答案：参照课本例4.

§4.2相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵的概念相似矩阵的性质矩阵与对角矩阵相似的条件目录相似矩阵的概念对

进行运算

称为对

进行相似变换，称可逆矩阵

为相似变换矩阵.例1设矩阵

，

，试验证存在可逆矩阵

使得

与

相似.定义2

设,都是

阶矩阵，若存在可逆矩阵

，使则称

是

的相似矩阵，并称矩阵

与矩阵

相似，记为

.相似矩阵的概念证

易见

可逆，且

，由故

与

相似.由于矩阵的相似关系是一种等价关系，所以满足

(1)反身性：对任意

阶矩阵

，有

；

(2)对称性：若

，则

；

(3)传递性：若

，

，则.

相似矩阵的概念两个常用运算表达式：

相似矩阵的性质定理2

若矩阵

与

相似，则

与

的特征多项式相同，从而

与

的特征值亦相同.证

设

与

相似，则存在可逆矩阵

使得

，又

因此，矩阵

与

有相同的多项式，从而矩阵

与

有相同的特征值.相似矩阵的其它性质：(1)相似矩阵的秩相等；

(2)相似矩阵的行列式相等；(3)相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似.

相似矩阵的概念例

设A与B相似，且

，B的特征值为

，求

的值.例

设

与

相似，求

的值.矩阵与对角矩阵相似的条件下面讨论矩阵对角化的相关定理以及推论对于

阶方阵

，若存在可逆矩阵

，使得

为对角矩阵，则称方阵

可对角化.

定理3

阶矩阵

与对角矩阵

相似的充分必要条件为

矩阵

有

个线性无关的特征向量.矩阵与对角矩阵相似的条件设

，则由上式可得

证

必要性.设

阶矩阵

与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵

使得上式等式两端同时左乘矩阵

，得

矩阵与对角矩阵相似的条件

由上式可得即

因为

是可逆矩阵，所以

是非零向量，并且是线性无关的，

矩阵与对角矩阵相似的条件故

是矩阵

的

个线性无关特征向量.

充分性.设

是矩阵

的特征值

对应的

个线性无关特征向量，则有构造矩阵

，则

矩阵与对角矩阵相似的条件

即

上式等式两端同时左乘

，得

即矩阵

与对角矩阵

相似（

可对角化）.注:上述定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法.推论1若

阶矩阵

有

个相异的特征值

，则

与对角矩阵

相似.矩阵与对角矩阵相似的条件定理4

阶矩阵

可对角化的充分必要条件是矩阵

的每个特征值

（重数为

）对应的线性无关的特征向量

的个数恰好等于该特征值的重数.矩阵与对角矩阵相似的条件例2试对矩阵

验证前述定理3的结论.解由上一节例1可知，题设矩阵

有两个互不相同的特征值

其对应的特征向量分别为

，如果取

，

，

则有

，即.矩阵与对角矩阵相似的条件如果取

，

，

则有

，即.注

中列向量的次序与矩阵对角线上的特征值的次序相对应.练习1判断矩阵

能否化为对角矩阵.答案：参照课本例7.

§4.3实对称矩阵的

特征值和特征向量规范正交基及其求法内积及其性质正交向量组目录向量的长度与性质实对称矩阵的特征值与特征向量正交矩阵与正交变换内积及其性质定义3

设有

维向量，令称

为向量

与

的内积.内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，按矩阵记法可表示为内积及其性质内积的运算性质(其中

，，，为

维向量，):(1);

(2);

(3);

(4)，当且仅当

时，.

向量的长度与性质定义4

设

，称

为

维向量

的长度（或范数）.向量的长度具有下述性质：(3)三角不等式

;

(1)非负性

；当且仅当

时，;

(2)齐次性;

(4)对任意

维向量

，

有

.

向量的长度与性质当

时，称

为单位向量.对

中任一非零向量

，向量

是

一个单位向量，因为注：用非零向量

的长度去除向量

，得到一个单位向量，这一过程通常称为把向量

单位化.当

，

，定义

，称

为

维向量

与

的夹角.正交向量组定义5

若两向量

与

的内积等于零，即

则称

与

相互正交，记作.显然，若

，则

与任何向量都正交;

定义6

若

维向量组

是一个非零向量组，且

中的

向量两两正交，则称该向量组为正交向量组.

正交向量组证

设有

，使得

以

左乘上式两端，得

，因

，从而

类似可以证明

，于是向量组

线性无关.定理5

若

维向量组

是一组正交向量组，则

线性

无关.规范正交基及其求法*定义7

设

是一个向量空间，

(1)若

是向量空间

的一个基，且是两两正交的向量组，则

称

是向量空间

的正交基.

(2)若

是向量空间

的一个基，

两两正交，且都是单

位向量，则称

是向量空间

的一个规范正交基.

若

是

的一个规范正交基，则

中任一向量

能由

线性表示，设表示式为规范正交基及其求法为求其中系数,可用

左乘上式，有

即

这就是向量在规范正交基中的坐标计算公式.利用这个公式能方便地

求得向量

在规范正交基

下的坐标.因此，我们在给出向量

空间的基时常常取规范正交基，下面介绍一种求规范正交基的方法.

规范正交基及其求法规范正交基的求法：

设

是向量空间

的一个基，要求

的一个规范正交基，也就是

要找一组两两正交的单位向量

，使

与

等价.

这样一个问题，称为把

规范正交化，可按如下两个步骤进行：

(1)

正交化（Schimidt施密特正交化）

规范正交基及其求法(2)

单位化

容易验证

两两正交，且

与

等价.取

，

，

，.则

是

的一个规范正交基.

注：Schimidt正交化过程可将

中任一组线性无关向量组

化

为与之等价的正交组

，再经过单位化，得到一组与等价的规范正交组.

规范正交基及其求法例1用Schimidt正交化方法，将向量组规范正交化解显然

是线性无关的，先正交化，取不难验证

为正交向量组，接下来将

单位化：规范正交基及其求法可以验证

为单位正交向量组，并且和

等价.正交矩阵与正交变换定义8

若

阶方阵

满足

（即

）

则称

为正交矩阵，简称正交阵.定理6

为正交矩阵的充分必要条件是

的列（行）向量组都是单位

正交向量组.

证

设

，其中

是

的列向量组.

是正交矩阵等价于

，而

正交矩阵与正交变换

由此可见

等价于即

为正交矩阵的充分必要条件是其列向量组是单位正交向量组.

正交矩阵与正交变换类似可证，由

与

等价，

为正交矩阵的充分必要条件是

行向量组是单位正交向量组.

实对称矩阵的特征值与特征向量定理7实对称矩阵的特征值都为实数.

证

设复数

为实对称矩阵

的特征值，复向量

为对应的特征向量，即

记

表示

的共轭复数，

表示

的共轭复向量，则

由于以及以上两式作差因为

，所以

，从而有

，即

，这说明

为实数.实对称矩阵的特征值与特征向量定理8设

是实对称矩阵

的两个特征值，

是对应的特征向量.

若

，则

与

正交.证

设

是实对称矩阵

的两个相异的特征值，

是与之对应的特征向量，即

，

因为

是实对称矩阵，于是有

上式两端同时右乘

得

即

由于

，故

即

与

正交.

实对称矩阵的特征值与特征向量定理9

设

为

阶