高等数学（财经类） 课件 2.1 导数的概念

§2.1

导数的概念

CONTENT1导数的定义目录2用定义计算导数3导数的几何意义4函数的可导性与连续性的关系

前言微积分极限微分学积分学不定积分定积分导数微分

前言微积分学的创始人:

英国数学家牛顿

(Newton)

德国数学家莱布尼茨

(Leibniz)

他们把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题).

前言牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的.

牛顿在1671年写了《流数术和无穷级数》,他把连续变量叫做流动量,把这些流动量的导数叫做流数.他所提出的中心问题是:已知连续运动的路径,求给定时刻的速度(微分法);已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法).百科全书式“全才”

前言1686年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献,他是历史上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大的影响.现今我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的.历史上少有的“通才”

前言十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素.归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题;第二类问题是求曲线的切线的问题;第三类问题是求函数的最大值和最小值问题;第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力.

前言微分学

导数:描述函数变化快慢

微分:描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数的定义Chapter1第一部分:变化率问题举例引例1

变速直线运动的瞬时速度设一质点按某种规律做变速直线运动,质点运动的路程s与时间t的关系s=s(t),求质点在时刻的瞬时速度.质点从到这段时间内的平均速度为:质点在时刻的瞬时速度为:第一部分:变化率问题举例

设从0到t这段时间通过导体横截面的电量为Q(t),求t0时刻的电流强度

i(t0).引例2

非恒定电流的电流强度

物理学中,对于恒定电流来说,电流强度(简称电流),即单位时间内通过导线横截面的电量,可用公式

来计算,其中Q为通过的电量,t为时间.但在实际问题中,常会遇到非恒定的电流.例如,正弦交流电.

时间t在时刻t0有增量,则在

这段时间内的平均电流强度为

第一部分:变化率问题举例

设从0到t这段时间通过导体横截面的电量为Q(t),求t0时刻的电流强度

i(t0).引例2

非恒定电流的电流强度

当

时,的极限就是t0时刻的瞬时电流强度

i(t0),即

第二部分:导数的定义注:函数的导数:函数的改变量与自变量的改变量之比

在自变量增量趋于零时的极限.第二部分:导数的定义定义1设

y=f(x)在点

x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量(点

仍在该邻域内)时,相应地,函数

y取得增量若当

时,极限存在,则称此极限为函数

y=f(x)在点

x0处的导数,并称函数

y=f(x)在点

x0处可导,记为第二部分:导数的定义导数定义式的其它形式：第二部分:导数的定义说明:在经济学中,边际成本率、边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.根据导数概念,前面两个问题可以表述为:(1)求变速直线运动的质点在时刻的瞬时速度,即求路程函数s=s(t)

在处的导数即(2)求非恒定电流在t0时刻的电流强度,即求通过导体横截面的电量函数Q(t)在t0处的导数即第二部分:导数的定义注:用导数的定义求函数f(x)在点处导数的步骤为:(1)求增量：(2)算比值：(3)取极限：第三部分：单侧导数定义2设函数f(x)在点

x0的某个左邻域(或右邻域)内有定义,且极限

(或)存在,则称此极限值为f(x)在点

x0的左导数(或右导数),记为(或),即第三部分：单侧导数定理1函数f(x)在点

x0处可导的充分必要条件是:函数y=f(x)在点

x0处的左、右导数均存在且相等,即

练习例1讨论

在

x=0处的可导性.

解

而

由于,因而

在

x=0处不可导.

练习例2求函数

在

x=0处的导数.

解

当

时,故

当

时,由,得第四部分：函数在区间内可导及导函数定义3若函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,则称f(x)在(a,b)内可导；若f(x)在(a,b)内可导,且在点a右侧可导,在点b左侧可导,则称

f(x)在闭区间[a,b]上可导.注:f(x)在(a,b)内可导时,对任意的,总存在唯一的导数值

与之对应.因此

是x的函数,称

为f(x)的导函数,简称导数,导函数

也可记为第四部分：函数在区间内可导及导函数

函数y=f(x)在点处的导数

,也就是导函数在处的函数值,即第四部分：函数在区间内可导及导函数?思考

函数

f(x)在某点

x0处的导数

与导函数

有什么区别与联系？

解

是

在点

x0的导数值,是一个具体的数值.

是由于f(x)在某区间

I上每一点都可导而定义在

I上的一个新函数.两者的区别两者的联系一个是数值,另一个是函数.

在某点

x0处的导数

即是导函数

在

x0处的函数值.用定义计算导数Chapter2第一部分:用定义求导数注:用导数的定义求函数

f(x)的导数分为三步:(1)求增量：(2)算比值：(3)取极限：

练习例3求函数

的导数.

解

即

练习例4求函数

的导数.

解

因为

时,所以

练习例5设

存在,求极限

解

练习例6若函数

f(x)可导,求.

解

导数的几何意义Chapter3第一部分:导数的几何意义

割线的斜率为:例如

切线问题设函数y=f(x)的图像如图所示,是其上的一点,求曲线在点处切线的斜率k.

切线的斜率为:第一部分:导数的几何意义导数的几何意义:曲线y=f(x)在点处的切线斜率若,曲线过上升;若,曲线过下降;若,切线与x轴平行;若,切线与x轴垂直.第一部分:导数的几何意义曲线

y=f(x)在点

处的切线方程为法线方程为

练习例7若曲线

y=x3在(x0,y0)处切线斜率等于3,求点(x0,y0)的坐标.

解

由题意得,即

解得

把

x0=1代入

y=x3,得

y0=1.把

x0=-1代入

y=x3,得

y0=-1.综上得,点(x0,y0)的坐标为(1,1)和(-1,-1).

练习例8抛物线

y=x2在何处切线与Ox轴正向夹角为,并求该处的切线方程.

解

由题意得,即

解得

把

代入

y=x2,得

所以

y=x2在点

处切线与Ox轴正向夹角为,且此处的切线为函数的可导性与连续性的关系Chapter4第一部分：函数的可导性与连续性的关系定理2若函数

y=f(x)在点x0处可导,则它在x0处连续.

证

因为函数

y=f(x)在点x0处可导,故有其中,从而

所以,函数

y=f(x)在点x0处连续.第一部分：函数的可导性与连续性的关系定理2若函数

y=f(x)在点x0处可导,则它在x0处连续.注：该定理的逆命题不成立.即函数在某点连续,但在该点不一定可导.例如,在例5中函数

f(x)=|x|在x=0处连续但不可导.例9设

问a,b取何值时,函数

f(x)在x=0处可导.解

f(x)在x=0处可导,其必要条件是

f(x)在x=0处连续,即因为所以

b=1.

练习

练习例9设

问a,b取何值时,函数

f(x)在x=0处可导.解

又若要

f(x)在x=0处可导,必有

a=1.所以,当a=1,b=1时,