线性代数（财经类） 课件 3.3向量组的线性相关性

§3.3向量组的线性相关性向量组的线性相关与线性无关

定义：给定向量组A：a1,a2,…,am

，如果存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1

+k2a2

+…+kmam

=0（零向量）则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的．

向量组

线性相关例如：

线性无关备注

给定向量组A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一．若向量组只包含一个向量：当

a

是零向量时，线性相关；当

a不是零向量时，线性无关．说明：

备注

a,b

线性相关当且仅当a,b

的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线．说明：a,b

,c线性相关的几何意义是这三个向量共面．说明：向量组A：a1,a2,…,am线性相关，通常是指m≥2的情形.向量组线性相关性的判定向量组A：a1,a2,…,am线性相关 存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齐次线性方程组Ax=0有非零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m． 向量组A

中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示．向量组线性无关性的判定向量组A：a1,a2,…,am线性无关

如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．

m

元齐次线性方程组Ax=0只有零解．

矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数

m．

向量组A

中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线性表示．例：已知试讨论向量组a1,a2,a3

及向量组a1,a2

的线性相关性．例题

解：

可见R(a1,a2,a3

)=2<3，故向量组a1,a2,a3

线性相关；

同时，R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关．例：已知向量组a1,a2,a3

线性无关，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解题思路：转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题．例题

解法1：转化为齐次线性方程组的问题．已知，记作B=AK．设Bx=0，则(AK)x=A(Kx)=0．因为向量组a1,a2,a3

线性无关，所以Kx=0．又|K|=2≠0，那么Kx=0只有零解

xi

=0，从而向量组b1,b2,b3线性无关．例题

解法2：转化为矩阵的秩的问题．已知，记作B=AK．因为|K|=2

≠

0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量组a1,a2,a3

线性无关，R(A)=3，从而R(B)=3，向量组b1,b2,b3线性无关．例题

定理

向量组

1

2

s(s

2)线性相关的充分必要条件是

其中至少有一个向量是其余s

1个向量的线性组合

证明：必要性

因为

1

2

s线性相关

故存在一组不全为零的数k1

k2

ks使

k1

1

k2

2

ks

s

0成立

不妨设k1

0

于是即

1为

2

3

s的线性组合

充分性如果

1

2

s中至少有一个向量是其余s

1个向量的线性组合

不妨设

1

k2

2

k3

3

ks

s因此存在一组不全为零的数

1

k2

k3

ks使(

1)

1

k2

2

k3

3

ks

s

0成立

即

1

2

s线性相关

相关定理

举例

设有向量组

1

(1

1

1

0)

2

(1

0

1

0)

3

(0

1

0

0)

因为

1

2

3

0

故

1

2

3线性相关

由

1

2

3

0可得

1

2

3

2

1

3

3

1

2相关定理

定理：

如果向量组

1

2

s

线性相关

而

1

2

s线性无关

则向量

可由向量组

1

2

s线性表示且表示法唯一

证

因为

1

2

s

线性相关因而存在一组不全为零的数k1

k2

ks及k

使k1

1

k2

2

ks

s

k0成立其中必有k0否则上式成为

k1

1

k2

2

ks

s0且k1

k2

ks不全为零这与

1

2

s线性无关矛盾因此k0

故即

可由向量组

1

2

s线性表示

先证明

可由

1

2

s线性表示相关定理

证

再证表示法唯一如果

h1

1

h2

2

hs

s

且

l1

1

l2

2

ls

s则有

(h1

l1)

1

(h2

l2)

2

(hs

ls)

s

0成立

由

1

2

s线性无关可知

h1

l1

h2

l2

hs

ls

0即h1

l1

h2

l2

hs

ls

所以表示法是唯一的

相关定理

举例

任何一个向量

(a1

a2

an)都可由初始单位向量组

1

(1

0

0)

2

(0

1

0)

n

(0

0

1)唯一地线性表示

即

a1

1

a2

2

an

n相关定理

定理设有两个向量组

1

2

s(A)及

1

2

t

(B)向量组(B)可由向量组(A)线性表示

如果s

t

则向量组(B)线性相关按已知

存在s

t矩阵A使

(

1

2

t)

(

1

2

s)A

因为s

t

所以齐次线性方程组Ax

0有非零解

设它的一个非零解为

(k1

k2

kt)T

则

A

0从而

(

1

2

t)

(

1

2

s)A

0即

k1

1

k2

2

kt

t

0这说明向量组(B)线性相关

证明

相关定理

推论2

设向量组(A)与向量组(B)等价

如果(A)

(B)都是线性无关的

则s

t