线性代数（财经类） 课件 3.1线性方程组的消元法

§3.1线性方程组的消元法线性方程组的一般形式和矩阵形式A称为方程组的系数矩阵

b称为方程组的常数项矩阵

x称为n元未知量矩阵

线性方程组的一般形式和矩阵形式

线性方程组的增广矩阵

线性方程组与增广矩阵是一一对应的

线性方程组的一般形式和矩阵形式

行阶梯形矩阵消元法解线性方程消元法解线性方程方程组的解x1

1

x2

3

x3

2行最简形矩阵消元法解线性方程

可以看出用消元法解线性方程组的过程

实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程

解线性方程组时

为了书写简便

只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可

消元法解线性方程

对方程组的增广矩阵施以初等行变换

相当于把原方程组变换成一个新的方程组

前后两个方程组显然是同解的

消元法解线性方程阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵

如果矩阵自上而下的各行中

每一非零行的第一个非零元素的下方全是零

元素全为零的行(如果有的话)都在非零行的下边

则称该矩阵为阶梯形矩阵

阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵

如果矩阵自上而下的各行中

每一非零行的第一个非零元素的下方全是零

元素全为零的行(如果有的话)都在非零行的下边

则称该矩阵为阶梯形矩阵

如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1

且它所在列的其他元素全是0

则称该矩阵为简化的阶梯形矩阵（最简形矩阵）

阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵阶梯形方程组与阶梯形矩阵

对线性方程组进行变换相当于对其增广矩阵作相应的变换

当原方程组化成一个阶梯形方程组时

其增广矩阵同时化成了阶梯形矩阵

反之当增广矩阵化成了阶梯形矩阵时

原方程组化成一个阶梯形方程组

阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵阶梯形方程组解的情况分析

阶梯形矩阵与阶梯形方程组有下列对应关系阶梯形方程组解阶梯形方程组解的情况分析

设原方程组已化为下列阶梯形方程组

这是因为满足前r个方程的任何一组数k1

k2

kn

都不能满足“0

dr

1”这个方程

所以方程组无解

1

如果dr

1

0

则原方程组无解

阶梯形方程组解阶梯形方程组解的情况分析

设原方程组已化为下列阶梯形方程组

1

如果dr

1

0

则原方程组无解

在这种情况下有r(A)

r(A

b)

在这种情况下有r(A)

r(A

b)

n

2

如果dr

1

0且r

n

则原方程组有唯一解

3

如果dr

1

0且r

n

则原方程组有无穷多个解

在这种情况下有r(A)

r(A

b)

n

阶梯形方程组解定理3

1(解的情况判定)

线性方程组Ax

b有解的充分必要条件是r(A)

r(A

b)

且当r(A

b)

n时方程组有唯一解

当r(A

b)

n时方程组有无穷多解

用消元法解线性方程组的一般步骤

第一步

对增广矩阵施以初等行变换

化成阶梯形矩阵

第二步

根据定理3.1判断方程组是否有解

第三步

如果方程组有解

则对上述阶梯形矩阵继续进行初等行变换

化成行简化的阶梯形矩阵

第四步

写出方程组的解

解的情况判定

解

对增广矩阵施以初等行变换

化为阶梯形矩阵

因为r(A¦b)

r(A)

2

4

故方程组有无穷多解

例题

解

对增广矩阵施以初等行变换

化为阶梯形矩阵

例题方程组的全部解为其中c1

c2为任意常数

例题所以原方程组无解

r(A¦b)

r(A)

因为r(A)

3

r(A¦b)

4

练习第一步：判定是否有解1.写出（A¦b）2.只进行初等行变换化为阶梯形；3.查看r(A)=r(A¦b)?即阶梯形中虚线左边非零行行数与整个阶梯形矩阵非零行行数是否相等？---若相等且等于未知量的个数，则有解且是唯一解；

若相等但小于未知量的个数，则有无穷多解；

若不相等即r(A)＜r(A¦b)，则方程无解第二步：求方程解将阶梯形矩阵化为行最简形矩阵，计算得一般解。解的情况判定小结齐次线性方程组

齐次线性方程组的一般形式为

齐次线性方程组的矩阵形式为Ax

O

说明

齐次线性方程组Ax

O恒有解

因为它至少有零解

定理3

2

齐次线性方程组Ax

O有非零解的充分必要条件是

r(A)

n

齐次线性方程组

因为r(A)

2

4

所以方程组有非零解

得出原方程组的同解方程组方程组的全部解为其中c1

c2为任意常数

例题小结用消元法解线性方程组的一般步骤

第一步

对增广矩阵施以初等行变换

化成阶梯